モンスター群

前提知識: 散在型単純群, モジュラー形式, 指標(表現論)

モンスター群（Monster group）とは、26 個の散在型単純群のうち最大の有限単純群 $\mathbb{M}$ である。位数は
$$ |\mathbb{M}|=2^{46}\cdot3^{20}\cdot5^{9}\cdot7^{6}\cdot11^{2}\cdot13^{3}\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot41\cdot47\cdot59\cdot71=808017424794512875886459904961710757005754368000000000 $$
で、約 $8\times10^{53}$ である。Fischer と Griess が 1973 年に独立に存在を予想し、Griess が 1980 年に構成した。楕円モジュラー関数 $j$ の係数と $\mathbb{M}$ の既約表現の次数の間の関係（ムーンシャイン）でも知られる。
この記事では、存在・一意性・ムーンシャイン予想の解決は引用にとどめ、一般の証明はしない。記事の中で証明するのは、$\mathbb{M}$ の構造に現れる超特殊 $2$ 群の性質、$J=j-744$ の特徴づけと Leech 格子との関係、McKay–Thompson 級数の基本性質と、そこから $2$ つの対合の類を見分ける議論である。

定義

有限群 $E$ の中心を $Z(E)$、交換子部分群を $[E,E]$ と書く（交換子部分群）。$Z(E)=[E,E]$ の位数が $2$ である有限群を超特殊 $2$ 群（extraspecial $2$-group）という。prop-mon-extra で示すように位数は $2^{1+2n}$ の形で、これを $2^{1+2n}$ と書く。
Leech格子 $\Lambda$ の自己同型群を $\mathrm{Co}_0$、その中心 $\{\pm1\}$ による商を $\mathrm{Co}_1$ と書く。$\mathrm{Co}_1$ は Conway の散在型単純群である。

$\mathbb{M}$ の基本的なデータは次のとおりである。

散在型単純群のうち 20 個は $\mathbb{M}$ の部分群の商として現れる（Mathieu 群 $M_{24}$ から Leech 格子を経て $\mathbb{M}$ に至る階層。Gan06 §5.3）。残りの $J_1,J_3,Ru,O'N,Ly,J_4$ の 6 個は pariah と呼ばれる（同所）。

超特殊 2 群

発見と構成

発見の経緯

Fischer は $\{3,4\}$ 互換群の研究から Baby Monster に到達し、1973 年に Fischer と Griess が Baby Monster と Monster を見いだした。その部分群の構造は Thompson、原田耕一郎（Koichiro Harada）、Conway、Norton らが調べ、1979 年までにムーンシャインの数値的な関係が現れた（Sol01 p. 336）。当時、大きな散在型単純群は置換群として計算機で構成されていたが、Monster は大きすぎて、その方法の手に負えなかった。Griess は 1980 年 1 月に、計算機を使わない構成を発表した（Sol01 p. 341）。
その後の構成の整理は Tits と Conway による（GL12 §1.1）。GL12 は頂点作用素代数の理論による新しい存在証明を与え、HS25 は Griess 代数の上の計算で位数を決定している。
$\mathbb{M}$ には簡潔な表示もある。$1$ つの頂点から $5$ 個の頂点の鎖が $3$ 本伸びる $16$ 頂点の木 $G_{555}$ の Coxeter 群に $1$ つの関係式を加えた群は、$\mathbb{M}$ の輪積 $\mathbb{M}\wr C_2$（Bimonster、位数 $2\lvert\mathbb{M}\rvert^2$）である。これは Conway の予想で、Ivanov の仕事をもとに Norton が証明した（Gan06 §2.1）。

構成の考え方

Griess の構成は、$196884$ 次元の空間に $2^{1+24}\mathrm{Co}_1$ の形の群を作用させ、それを保つ可換な非結合的代数の構造（Griess 代数）を入れ、この群に含まれない自己同型を作って、生成される群が中心化群の条件を満たす有限単純群であることを示すものである（Sol01 p. 341、GL12 §1.1）。$\mathbb{M}$ の次数 $196883$ の表現は、Griess 代数から不変な $1$ 次元を除いたものである（Gan06 §2.1 は残りの $196883$ 次元の部分を Griess 代数と呼んでいる）。
$196884$ という数は、$\mathbb{M}$ の部分群 $C=2^{1+24}_+.\mathrm{Co}_1$ で見ると $3$ つの部分に分かれる（HS25 §2.1）。

$300$ の中の単位行列が不変な $1$ 次元で、残りが $196883=299+98280+98304$ である。$z$ の跡は $300+98280-98304=276$ で、ex-mon-order2 の $T_{2B}$ の係数と一致する。$z$ が $-1$ で働く部分の次元が $4096$ の倍数になることは、prop-mon-faithful の一般論である。
その後、Griess 代数は頂点作用素代数である Moonshine 加群 $V^\natural=\bigoplus_{n\ge0}V_n$ の重さ $2$ の部分 $V_2$ として理解された（Gan06 §2.1・§4.2、GL12 §1）。

ムーンシャイン

$J$ 関数

モジュラー形式 の命題「$j$ 関数」の $j$ について $J=j-744$ とおく。$q=e^{2\pi i\tau}$ である。

この式は、Leech 格子のノルム $4$ の元の個数 $196560$ が $196884$ に近い理由を説明する（Gan06 §3.4）。ただし式の中に $\mathbb{M}$ は現れず、$196883$ と $\mathbb{M}$ の関係までは説明しない。
McKay は $196884=1+196883$ に気づいた（Gan06 §1）。$J$ の次の係数でも同じ形の関係が成り立つ（Gan06 §3、Bor98）。右辺の数は $\mathbb{M}$ の既約表現の次数である。
$$ 196884=1+196883,\qquad 21493760=1+196883+21296876, $$
$$ 864299970=2\cdot1+2\cdot196883+21296876+842609326 $$

McKay–Thompson 級数

この関係は、$\mathbb{M}$ の次数付き表現 $V=\bigoplus_{n\ge0}V_n$ で $\sum_n\dim V_n\,q^{n-1}=J$ となるものの存在を示唆する。ただし次元だけでは $V$ は決まらない（ex-mon-counterexamples の 4 行目）。そこで Thompson は、$g\in\mathbb{M}$ ごとの次数付きの跡
$$ T_g=q^{-1}\sum_{n\ge0}\operatorname{tr}(g\mid V_n)\,q^n $$
を調べることを提案した。これを McKay–Thompson 級数という（Gan06 §3.1）。

Conway–Norton 予想

$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と通約的な $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ の部分群 $G$ について、$G\backslash\mathfrak{H}$ にカスプを足して得られるコンパクト Riemann 面の種数が $0$ のとき、$G$ を種数 $0$ の群という。さらに $G$ がある $\Gamma_0(N)$ を含み、平行移動 $\tau\mapsto\tau+t$ が $G$ に入るのは $t\in\mathbb{Z}$ のときに限るとする。このとき、そのコンパクト Riemann 面の上の有理型関数の全体は $1$ つの関数の有理関数として書け、その生成元を $q^{-1}+\sum_{n\ge1}a_nq^n$ の形に正規化したものを $G$ の主モジュラー関数（Hauptmodul）という（Gan06 §2.2）。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の主モジュラー関数は prop-mon-j の $J$ である。

関連する観察

ムーンシャインの周辺には、次のような観察がある。

• $E_8$ との関係：2A の対合の $2$ 個の積は、$1A,2A,2B,3A,3C,4A,4B,5A,6A$ の $9$ 個の類のどれかに入り、元の位数は $1,2,2,3,3,4,4,5,6$ である。McKay は、この $9$ 個の数がアフィン $E_8$ 図形の頂点の標識に一致することに気づいた（Gan06 §3.2）。辺の群論的な意味は知られていない（同所）。
• 係数の関係式：$J=\sum c(n)q^n$ の係数は、$c(4)=c(3)+(c(1)^2-c(1))/2$ を満たす。数値では $20245856256=864299970+(196884^2-196884)/2$ である（Bor98）。このような関係を公理にしたものが複製可能関数で、証明の手順 3 に現れる。
• 一般化されたムーンシャイン：$T_{2A}$ の係数 $4372$ から $1$ を引いた $4371$ は、Baby Monster の最小の非自明な既約表現の次数であり、2A の中心化群はその $2$ 重被覆である。Norton はこれを、元 $g$ ごとに中心化群の中心拡大が働く次数付き加群があるという予想に広げた（Bor98、Gan06 §5.1）。

反例：条件を外すと

関連項目

• 前提: 散在型単純群, モジュラー形式, 指標(表現論)
• 道具: Leech格子, 交換子部分群, j不変量
• 比較: Mathieu群, 単純群