算額の円内接多角形の定理

円 $x^2+y^2=25$ の上に $A(-5,0)$、$B(3,-4)$、$C(5,0)$、$D(0,5)$ をとる。内接円の半径は $r=\dfrac{2S}{(\text{周の長さ})}$（$S$ は面積）で求める（三角形の内心と傍心 の $r=\dfrac Ss$、$s$ は周の半分）。
(1) 対角線 $AC$ で分ける。$AC$ は直径なので、三角形 $ABC$ は $B$ が直角、三角形 $CDA$ は $D$ が直角である。直角三角形の内接円の半径は $\dfrac{(\text{直角をはさむ 2 辺の和})-(\text{斜辺})}2$ である。$AB=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt5$、$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$、$CD=DA=5\sqrt2$ なので
$$ r_{ABC}=\frac{4\sqrt5+2\sqrt5-10}2=3\sqrt5-5\fallingdotseq1.7082,\qquad r_{CDA}=\frac{5\sqrt2+5\sqrt2-10}2=5\sqrt2-5\fallingdotseq2.0711 $$
で、和は $3\sqrt5+5\sqrt2-10\fallingdotseq3.7793$ である。
(2) 対角線 $BD$ で分ける。$BD=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$ である。面積は、三角形 $BCD$ が $\dfrac12\lvert 2\cdot9-4\cdot(-3)\rvert=15$、三角形 $DAB$ が $45-15=30$（四角形の面積は (1) の 2 つの直角三角形の面積 $20+25=45$）である。よって
$$ r_{BCD}=\frac{2\cdot15}{2\sqrt5+5\sqrt2+3\sqrt{10}}\fallingdotseq1.4265,\qquad r_{DAB}=\frac{2\cdot30}{5\sqrt2+4\sqrt5+3\sqrt{10}}\fallingdotseq2.3527 $$
で、和は $\fallingdotseq3.7793$ である。
2 通りの和は、小数第 4 位まで一致する。

1. 凸四角形 $ABCD$ の三角形分割は、対角線 $AC$ を選ぶか $BD$ を選ぶかの 2 通りである。両方を選ぶと 2 本が内部で交わるので、三角形分割ではない。
2. 凸五角形では、1 つの頂点から出る 2 本の対角線を選ぶ分け方が、頂点の選び方に応じて 5 通りある。
3. 凸六角形の三角形分割は $C_4=14$ 通りある。

ex-jpn-start の四角形 $ABCD$ で、$O(0,0)$ から各辺までの距離は、辺の中点までの距離に等しい（外心から弦に下ろした垂線の足は弦の中点）。辺 $CD$ の中点は $\left(\dfrac52,\dfrac52\right)$、$DA$ の中点は $\left(-\dfrac52,\dfrac52\right)$、$AB$ の中点は $(-1,-2)$、$BC$ の中点は $(4,-2)$ なので
$$ \delta_{CD}=\delta_{DA}=\frac{5\sqrt2}2,\qquad \delta_{AB}=\sqrt5,\qquad \delta_{BC}=2\sqrt5 $$
である。$O$ は四角形の内部にあるので、4 つとも正である。

ex-jpn-start の四角形で、ex-jpn-signed の値を使うと
$$ \delta_{AB}+\delta_{BC}+\delta_{CD}+\delta_{DA}-2R=\sqrt5+2\sqrt5+\frac{5\sqrt2}2+\frac{5\sqrt2}2-10=3\sqrt5+5\sqrt2-10 $$
で、ex-jpn-start の (1) の和 $(3\sqrt5-5)+(5\sqrt2-5)$ とちょうど一致する。
対角線 $BD$ で分ける場合を、段 2・段 3 に沿って追う。直線 $BD$ は $3x+y=5$ で、$O$ からの距離は $\dfrac5{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}2$ である。$O$ では $3x+y=0<5$、$A$ では $-15<5$、$C$ では $15>5$ なので、$O$ は $A$ と同じ側にある。三角形 $DAB$ から見た符号つき距離は $+\dfrac{\sqrt{10}}2$、三角形 $BCD$ から見ると $-\dfrac{\sqrt{10}}2$ である（図 3）。Carnot の定理から
$$ r_{BCD}=2\sqrt5+\frac{5\sqrt2}2-\frac{\sqrt{10}}2-5\fallingdotseq1.4265,\qquad r_{DAB}=\sqrt5+\frac{5\sqrt2}2+\frac{\sqrt{10}}2-5\fallingdotseq2.3527 $$
で、ex-jpn-start の (2) の値と合う。足すと $\pm\dfrac{\sqrt{10}}2$ が消えて $3\sqrt5+5\sqrt2-10$ になる。

半径 $1$ の円に内接する正六角形 $P_1P_2\cdots P_6$（$P_k$ は偏角 $60^\circ\times(k-1)$ の点）をとる。1 辺は $1$ である。
(1) 3 種類の三角形。三角形 $P_1P_2P_3$ は 2 辺 $1$、間の角 $120^\circ$、面積 $\dfrac{\sqrt3}4$、周 $2+\sqrt3$ なので、$r=\dfrac{2\cdot\frac{\sqrt3}4}{2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3(2-\sqrt3)}2=\sqrt3-\dfrac32\fallingdotseq0.2321$ である。三角形 $P_1P_3P_4$ は $P_1P_4$ が直径なので $P_3$ が直角で、直角をはさむ 2 辺は $\sqrt3$ と $1$、斜辺は $2$ なので、$r=\dfrac{\sqrt3+1-2}2=\dfrac{\sqrt3-1}2\fallingdotseq0.3660$ である。三角形 $P_1P_3P_5$ は 1 辺 $\sqrt3$ の正三角形で、$r=\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3}=\dfrac12$ である。
(2) $P_1$ から 3 本の対角線を引く分け方（図 4）。三角形は $P_1P_2P_3$、$P_1P_3P_4$、$P_1P_4P_5$、$P_1P_5P_6$ で、和は
$$ 2\left(\sqrt3-\frac32\right)+2\cdot\frac{\sqrt3-1}2=3\sqrt3-4\fallingdotseq1.1962 $$
である。
(3) 正三角形 $P_1P_3P_5$ を含む分け方（図 5）。三角形は $P_1P_3P_5$ と、$P_1P_2P_3$ と合同な 3 つで、和は
$$ \frac12+3\left(\sqrt3-\frac32\right)=3\sqrt3-4 $$
である。
(4) cor-jpn-formula では $6\cos30^\circ-6+2=3\sqrt3-4$ で、(2)(3) と一致する。

ex-jpn-start の四角形で、4 つの内心は（小数第 4 位まで）
$$ I_1(2.2361,\,-1.7082),\quad I_2(3.2643,\,-0.2817),\quad I_3(0,\,2.0711),\quad I_4(-1.0282,\,0.6445) $$
である。$I_1=(\sqrt5,\,5-3\sqrt5)$、$I_3=(0,\,5\sqrt2-5)$ は、直角三角形の内心が直角の頂点から 2 辺へ $r$ ずつ進んだ点であることから求まる。4 つの角で、隣り合う 2 辺のベクトルの内積を sympy で正確に計算すると、どれも $0$ になる。向かい合う辺の長さは $I_1I_2=I_3I_4\fallingdotseq1.7585$、$I_2I_3=I_4I_1\fallingdotseq4.0238$ である（図 6）。

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,4)$、$D(0,2)$ とする。$\angle A=90^\circ$ で、$\angle C$ は $\cos\angle C=\dfrac{\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}}{CB\cdot CD}=\dfrac{(0,-4)\cdot(-4,-2)}{4\cdot2\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$ から約 $63.4^\circ$ である。向かい合う角の和が $180^\circ$ でないので、この四角形は円に内接しない（円に内接する四角形）。
(1) 対角線 $AC$ で分ける。三角形 $ABC$ は直角をはさむ 2 辺が $4$ の直角二等辺三角形で、$r=\dfrac{8-4\sqrt2}2=4-2\sqrt2\fallingdotseq1.1716$ である。三角形 $CDA$ は面積 $4$、周 $4\sqrt2+2\sqrt5+2$ で、$r=\dfrac{8}{4\sqrt2+2\sqrt5+2}\fallingdotseq0.6596$ である。和は $\fallingdotseq1.8311$ である。
(2) 対角線 $BD$ で分ける。三角形 $DAB$ は直角をはさむ 2 辺が $4$ と $2$、斜辺が $2\sqrt5$ で、$r=\dfrac{6-2\sqrt5}2=3-\sqrt5$ である。三角形 $BCD$ は面積 $8$、周 $4+4\sqrt5$ で、$r=\dfrac{16}{4+4\sqrt5}=\dfrac4{1+\sqrt5}=\sqrt5-1$ である。和は $(3-\sqrt5)+(\sqrt5-1)=2$ である。
2 つの和は違う。prf-jpn-quad では、4 つの三角形が同じ外接円をもつこと（段 1）を使った。円に内接しない四角形では外心が三角形ごとに違い、対角線の項が打ち消し合わない。

ex-jpn-start の円に内接する四角形で、2 つの三角形の周の長さの和を比べる。どちらの分け方でも、四角形の 4 辺はちょうど 1 回、選んだ対角線は 2 回数えられるので
$$ (\text{周の長さの和})=(\text{四角形の周})+2\times(\text{選んだ対角線の長さ}) $$
である。$AC=10$、$BD=3\sqrt{10}\fallingdotseq9.487$ なので、和は $AC$ で分けると約 $47.559$、$BD$ で分けると約 $46.532$ で、違う。一方、面積の和はどちらも四角形の面積 $45$ で、いつも分け方によらない。内接円の半径の和が分け方によらないのは、面積の和のように当たり前ではない。