類体論の第一不等式

1。$L_w/K_v$ は Galois 拡大なので $(L_w^\times)^{G_w}=K_v^\times$、$N_{G_w}=N_{L_w/K_v}$ である。$L_w/K_v$ は局所体の次数 $n_v$ の巡回拡大なので、局所体のノルム群 の記事の定理「巡回拡大のノルム群の指数」により $(K_v^\times:N_{L_w/K_v}L_w^\times)=n_v$ である。$\hat H^{-1}$ は $N_{L_w/K_v}(x)=1$ となる $x$ を $\tau(y)/y$（$\tau$ は $G_w$ の生成元）の形の元で割ったものであり、Hilbertの定理90 の記事の定理「Hilbertの定理90（巡回版）」によりこれは自明である。
2。$n_v=1$ なら $G_w$ は自明な群で、自明な群の Tate コホモロジーは消える（$N_{G_w}$ は恒等写像なので $\hat H^0=A/A$、$\hat H^{-1}=\ker(\mathrm{id})$）。よって $h=1=n_v$ である。$n_v=2$ なら $K_v=\mathbb{R}$、$L_w=\mathbb{C}$ で、Tateコホモロジー の記事の例「複素数体の乗法群」により $\hat H^0\cong\mathbb{Z}/2$、$\hat H^{-1}=1$ なので、$h=2=n_v$ である。
3。$v$ は不分岐なので $e(L_w/K_v)=1$ で、1 と同じ定理により $(\mathcal{O}_v^\times:N_{L_w/K_v}U_w)=1$ である。$U_w^{G_w}=U_w\cap K_v=\mathcal{O}_v^\times$ なので $\hat H^0(G_w,U_w)=1$ である。次に、付値 $v_w\colon L_w^\times\to\mathbb{Z}$ は $G_w$ の作用で変わらないので、$G_w$ 加群の短完全列 $1\to U_w\to L_w^\times\xrightarrow{v_w}\mathbb{Z}\to0$（$\mathbb{Z}$ には自明に作用）がある。Herbrand商 の記事の命題「置換加群のHerbrand商」により $h(G_w,\mathbb{Z})=n_v$ で、1 により $h(G_w,L_w^\times)=n_v$ なので、同じ記事の定理「Herbrand商の乗法性」から $h(G_w,U_w)=n_v/n_v=1$ である。$\hat H^0(G_w,U_w)=1$ だったので $\hat H^{-1}(G_w,U_w)=1$ である。$\square$

段 1（直積への分解）。$v$ ごとに $J_{L,v}:=\prod_{w\mid v}L_w^\times$、$U_{L,v}:=\prod_{w\mid v}U_w$ とおくと、これらは $G$ 部分加群で、
$$ J_{L,S}=\prod_{v\in S}J_{L,v}\times\prod_{v\notin S}U_{L,v} $$
である。直積 $M=\prod_iM_i$ では、$G$ 不変元、$N_G$ の像、$N_G$ の核、$(\sigma-1)$ の像がすべて成分ごとに決まるので、$\hat H^i(G,M)=\prod_i\hat H^i(G,M_i)$（$i=0,-1$）である。
段 2（Shapiro の補題）。$w_0\mid v$ を固定し、$G/G_{w_0}$ の代表系を $\rho$ とすると、$v$ の上の素点は $\rho w_0$ でちょうど 1 回ずつ現れ、$L_{\rho w_0}^\times=\rho(L_{w_0}^\times)$ である。よって $J_{L,v}=\prod_\rho\rho(L_{w_0}^\times)$、$U_{L,v}=\prod_\rho\rho(U_{w_0})$ であり、(F3) により $\hat H^i(G,J_{L,v})\cong\hat H^i(G_{w_0},L_{w_0}^\times)$、$\hat H^i(G,U_{L,v})\cong\hat H^i(G_{w_0},U_{w_0})$ である。
段 3（1 の証明）。$v\notin S$ は分岐しない有限素点なので、lem-fi-local の 3 により $\hat H^i(G,U_{L,v})=1$ である。よって段 1・段 2 から $\hat H^i(G,J_{L,S})\cong\prod_{v\in S}\hat H^i(G_w,L_w^\times)$（有限個の直積なので直和）である。lem-fi-local の 1・2 により右辺は $i=-1$ で自明、$i=0$ で位数 $\prod_{v\in S}n_v$ である。
段 4（2 の証明）。$J_L$ は、$S$ を上の条件を満たす有限集合の全体で動かしたときの $J_{L,S}$ の和集合である。$b\in\ker N_G$ なら $b$ はある $J_{L,S}$ に属し、1 により $b\in(\sigma-1)J_{L,S}\subset(\sigma-1)J_L$ なので $\hat H^{-1}(G,J_L)=1$ である。(F1) により $J_L^G=J_K$、$N_G=N_{L/K}$ なので $\hat H^0(G,J_L)=J_K/N_{L/K}J_L$ である。$a\in J_K$ をとり、$a\in J_{K,S}$ となる $S$ をとる。$a\in N_{L/K}J_L$ なら、ある $S'\supset S$ について $a\in N_{L/K}J_{L,S'}$ であり、1 の同型（(F1) により、$v$ 成分の類を $K_v^\times/N_{L_w/K_v}L_w^\times$ の中でとる写像）で $a$ の類が消えるので、すべての $v$ で $a_v\in N_{L_w/K_v}L_w^\times$ である。逆にすべての $v$ で $a_v$ が局所ノルムなら、1 の同型により $a\in N_{L/K}J_{L,S}$ である（$v\notin S$ では $a_v$ は単数で、lem-fi-local の 3 により単数のノルムである）。$\square$

$V$ に最大値ノルム $\|x\|:=\max_t\lvert x_t\rvert$ を入れる。$G$ は座標を置換するだけなので $\|\tau x\|=\|x\|$ である。$\Gamma$ の $\mathbb{Z}$ 基底 $\gamma_1,\dots,\gamma_m$ をとり $b:=\sum_j\|\gamma_j\|$ とおくと、任意の $x\in V$ について $\|x-y\|\le b$ となる $y\in\Gamma$ がある（$x=\sum c_j\gamma_j$ と書き、$y=\sum\lfloor c_j\rfloor\gamma_j$ とする）。
$T$ の $G$ 軌道ごとに代表 $t_O$ を選び、その固定部分群を $G_O$ とする。実数 $c>\lvert G\rvert\,\lvert T\rvert\,b$ を固定し、$\|ce_{t_O}-y_O\|\le b$ となる $y_O\in\Gamma$ をとって
$$ w_{t_O}:=\sum_{\rho\in G_O}\rho\,y_O\in\Gamma $$
とおく。$w_{t_O}$ は $G_O$ で不変なので、軌道の元 $t=\tau t_O$ について $w_t:=\tau w_{t_O}$ は $\tau$ の選び方によらず、$\tau' w_t=w_{\tau't}$（$\tau'\in G$）を満たす。よって $e_t\mapsto w_t$ は $G$ 加群の準同型 $\mathbb{Z}[T]\to\Gamma$ を定める。
$y_O=ce_{t_O}+z_O$（$\|z_O\|\le b$）と書くと、$\rho\in G_O$ は $e_{t_O}$ を固定するので $w_{t_O}=c\lvert G_O\rvert e_{t_O}+z'_O$、$\|z'_O\|\le\lvert G\rvert b$ であり、$w_t=c\lvert G_O\rvert e_t+\tau z'_O$ である。$w_t$ を列とする $\lvert T\rvert$ 次の正方行列は、対角成分の絶対値が $c\lvert G_O\rvert-\lvert G\rvert b\ge c-\lvert G\rvert b$ 以上、各列の非対角成分の絶対値の和が $(\lvert T\rvert-1)\lvert G\rvert b$ 以下である。$c$ の選び方から $c-\lvert G\rvert b>(\lvert T\rvert-1)\lvert G\rvert b$ なので、この行列は列について狭義に対角優位で、正則である。よって $w_t$ は 1 次独立で、$\Gamma':=\bigoplus_t\mathbb{Z}w_t$ は $\Gamma$ と同じ階数 $\lvert T\rvert$ の部分群である。有限生成自由アーベル群の同じ階数の部分群は指数有限なので、$\Gamma'$ は $\Gamma$ で指数有限であり、$\mathbb{Z}[T]\to\Gamma'$ は同型である。$\square$

$T:=S_L$、$V:=\mathbb{R}^T$ とし、$G$ を上のとおり $V$ に作用させる。$\lambda\colon\mathcal{O}_{L,S}^\times\to V$、$\lambda(x):=\sum_{w\in T}\log\lvert x\rvert_w\,e_w$ は $G$ 準同型である。実際 $\tau\in G$ について
$$ \lambda(\tau x)=\sum_w\log\lvert\tau x\rvert_w\,e_w=\sum_w\log\lvert x\rvert_{\tau^{-1}w}\,e_w=\sum_u\log\lvert x\rvert_u\,e_{\tau u}=\tau\lambda(x) $$
である。(F2) により $\ker\lambda=\mu(L)$ は有限で、$\Lambda:=\lambda(\mathcal{O}_{L,S}^\times)$ は超平面 $V_0:=\{\sum_wx_w=0\}$ の完全格子である。
$e_0:=\sum_{w\in T}e_w$ とおく。$e_0$ は $G$ で固定され、$V_0$ に属さないので、$\Gamma:=\Lambda\oplus\mathbb{Z}e_0$ は $V$ の $G$ で安定な完全格子である（$\Lambda$ の基底に $e_0$ を加えると $V$ の基底になる）。短完全列 $0\to\mathbb{Z}e_0\to\Gamma\to\Lambda\to0$ と $1\to\mu(L)\to\mathcal{O}_{L,S}^\times\to\Lambda\to0$ に Herbrand商 の記事の定理「Herbrand商の乗法性」と定理「有限な加群のHerbrand商」を使い、$\mathbb{Z}e_0$ には $G$ が自明に作用するので同じ記事の命題「置換加群のHerbrand商」から $h(G,\mathbb{Z}e_0)=n$ となることを使うと、どちらかが定義される限り
$$ h(G,\Gamma)=n\cdot h(G,\Lambda)=n\cdot h(G,\mathcal{O}_{L,S}^\times) $$
である。
一方 lem-fi-lattice により、$\Gamma$ は $\mathbb{Z}[T]$ と同型な指数有限の $G$ 部分加群 $\Gamma'$ を含み、Herbrand商 の記事の系「有限指数の部分加群」により $h(G,\Gamma)=h(G,\Gamma')=h(G,\mathbb{Z}[T])$ である。$T$ は $v\in S$ の上の素点の集合 $T_v$ の非交和で、$T_v$ は $G$ 集合として $G/G_w$ と同型なので、$\mathbb{Z}[T]=\bigoplus_{v\in S}\mathbb{Z}[G/G_w]$ であり、同じ記事の命題「置換加群のHerbrand商」と乗法性から
$$ h(G,\mathbb{Z}[T])=\prod_{v\in S}\lvert G_w\rvert=\prod_{v\in S}n_v $$
である。これは定義されているので、上の式の各項も定義され、$h(G,\mathcal{O}_{L,S}^\times)=\frac1n\prod_{v\in S}n_v$ を得る。$\square$

分解しない素点の集合 $T$ が有限だとする。$G$ は位数 $p^r$ の巡回群なので、指数 $p$ の部分群 $H$ はただ 1 つで、$G$ の真部分群はすべて $H$ に含まれる。$M:=L^H$ は次数 $p$ の巡回拡大 $M/K$ である。$v\notin T$ なら $G_w\ne G$ なので $G_w\subset H$ であり、$v$ の $M/K$ での分解群 $G_wH/H$ は自明である。すなわち $v\notin T$ は $M$ で完全分解し、$v$ の上の $M$ の素点 $u$ について $M_u=K_v$ である。
$M/K$ について $N_{M/K}C_M=C_K$ を示す。$a\in J_K$ とする。$v\in T$ について、局所ノルム群 $N_v:=N_{M_u/K_v}M_u^\times$ は $K_v^\times$ の開部分群である（有限素点では 局所類体論 の記事の命題「ノルム群は開部分群」の (c)、無限素点では $N_v$ は $\mathbb{R}_{>0}$ または $K_v^\times$ 全体）。弱近似定理（大域類体論 の記事の注意「使う事実」の (G3)）により、有限個の開集合 $a_v^{-1}N_v$（$v\in T$）のすべてに同時に属する $\alpha\in K^\times$ がとれる。すると $v\in T$ では $\alpha a_v\in N_v$ であり、$v\notin T$ では $M_u=K_v$ なので $\alpha a_v$ は自明に局所ノルムである。prop-fi-ideles の 2 を巡回拡大 $M/K$ に当てはめると $\alpha a\in N_{M/K}J_M$ となり、$a$ の類は $N_{M/K}C_M$ に属する。よって $(C_K:N_{M/K}C_M)=1< p$ となり、thm-fi-main に反する。$\square$

$M$ を $L/K$ の Galois 閉包、$\Gamma:=\operatorname{Gal}(M/K)$、$H:=\operatorname{Gal}(M/L)$ とする。$M$ で分岐しない $\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}$ について、Frobenius元 の記事の定理「分解の型と Frobenius 元の巡回型」により、$\mathfrak{p}$ が $L$ で完全分解することは $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\bigcap_{\tau\in\Gamma}\tau H\tau^{-1}$ と同値である。$M$ は Galois 閉包なので、この共通部分（$\Gamma$ の正規部分群で $H$ に含まれる最大のもの）は自明であり、条件は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}=1$、すなわち $\mathfrak{p}$ が $M$ で完全分解することと同値である（同記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 3）。よって仮定は $M$ についても成り立つ。
$M\ne K$ と仮定し、$\Gamma$ の素数位数 $p$ の元 $\sigma$ をとって $K':=M^{\langle\sigma\rangle}$ とおく。$M/K'$ は次数 $p$ の巡回拡大である。$K$ で完全分解する素イデアルの上の $K'$ の素イデアルは $M$ で完全分解し、例外の有限個の $\mathfrak{p}$ の上の $K'$ の素イデアルは有限個なので、$K'$ の有限個を除くすべての素イデアルが $M$ で完全分解する。次数 $p$ の拡大で完全分解しない素イデアルは分解しない素イデアルなので、$M/K'$ で分解しない素点は有限個（無限素点を加えても有限個）となり、cor-fi-nonsplit に反する。よって $M=K$、したがって $L=K$ である。$\square$