Lucasの円

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,4)$ とする。$\angle A=90^\circ$ なので、外接円は斜辺 $BC$ を直径とする円で、中心 $O(2,2)$、半径 $R=2\sqrt2$ である。
(1) 斜辺 $BC$ の上の内接正方形は 1 辺 $\dfrac{4\sqrt2}3$ で、辺 $AB$、$CA$ の上の頂点は $S\left(\dfrac43,0\right)$、$T\left(0,\dfrac43\right)$ である（三角形に内接する正方形 の最初の例）。3 点 $A$、$S$、$T$ を通る円を考える。$\angle SAT=90^\circ$ なので、この円は $ST$ を直径とする円で、中心は $ST$ の中点 $O_A\left(\dfrac23,\dfrac23\right)$、半径は
$$ R_A=\frac12ST=\frac12\cdot\frac{4\sqrt2}3=\frac{2\sqrt2}3 $$
である。
(2) 辺 $CA$ の上の内接正方形は、直角の頂点 $A$ に置いた 1 辺 $2$ の正方形 $(0,0)$、$(0,2)$、$(2,2)$、$(2,0)$ である。辺 $AB$ の上の頂点は $(2,0)$、辺 $BC$ の上の頂点は $(2,2)$ である。3 点 $B(4,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$ を通る円は、$(2,0)$ での角が $90^\circ$ なので、$B$ と $(2,2)$ を結ぶ線分を直径とする。中心は $O_B(3,1)$、半径は $R_B=\dfrac12\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt2$ である。
(3) 同じように、辺 $AB$ の上の内接正方形（(2) と同じ正方形）の頂点 $(0,2)$、$(2,2)$ と $C$ を通る円は、中心 $O_C(1,3)$、半径 $R_C=\sqrt2$ である。
3 つの円の中心の距離と半径の和を比べると
$$ O_AO_B=\sqrt{\left(3-\frac23\right)^2+\left(1-\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac{49+1}9}=\frac{5\sqrt2}3=\frac{2\sqrt2}3+\sqrt2=R_A+R_B $$
で、$O_BO_C=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2=R_B+R_C$、$O_CO_A=\dfrac{5\sqrt2}3=R_C+R_A$ である。さらに外接円の中心 $O$ からの距離は
$$ OO_A=\sqrt{\left(\frac43\right)^2+\left(\frac43\right)^2}=\frac{4\sqrt2}3=2\sqrt2-\frac{2\sqrt2}3=R-R_A,\qquad OO_B=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2=R-R_B $$
で、$OO_C=\sqrt2=R-R_C$ である。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ では $a=14$、$h_a=12$ で、$s_a=\dfrac{14\cdot12}{26}=\dfrac{84}{13}$ である。$S_a$ は線分 $BA$ を $\dfrac{84}{13}:\left(12-\dfrac{84}{13}\right)=7:6$ に内分する点、$T_a$ は線分 $CA$ を同じ比に内分する点で
$$ S_a\left(\frac{35}{13},\frac{84}{13}\right),\qquad T_a\left(\frac{119}{13},\frac{84}{13}\right) $$
である。$S_aT_a=\dfrac{84}{13}=s_a$ で、高さ $\dfrac{84}{13}$ と等しい。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ では、外接円の中心は $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$、半径は $R=\dfrac{65}8$ である。$abc=14\cdot15\cdot13=2730$、$\dfrac1R=\dfrac8{65}$ である。
(1) $A$ 円：$\dfrac1{R_A}=\dfrac8{65}+\dfrac{2\cdot196}{2730}=\dfrac8{65}+\dfrac{28}{195}=\dfrac{24+28}{195}=\dfrac{52}{195}=\dfrac4{15}$ で、$R_A=\dfrac{15}4=3.75$ である。相似比で見ると $k_A=\dfrac{12}{14+12}=\dfrac6{13}$、$R_A=\dfrac6{13}\cdot\dfrac{65}8=\dfrac{15}4$ で一致する。中心は
$$ O_A=A+k_A(O-A)=\left(5+\frac6{13}\cdot2,\ 12-\frac6{13}\cdot\frac{63}8\right)=\left(\frac{77}{13},\frac{435}{52}\right) $$
である。
(2) $B$ 円：$R_B=\dfrac{455}{131}=3.4732\ldots$、(3) $C$ 円：$R_C=\dfrac{1365}{337}=4.0504\ldots$ である。

$B(0,0)$、$C(8,0)$、$A(-2,3)$ では $a=8$、$b=\sqrt{109}$、$c=\sqrt{13}$、面積 $12$ で、外接円は中心 $O\left(4,\dfrac{29}6\right)$、半径 $R=\dfrac{\sqrt{1417}}6$ である。相似比は
$$ k_A=\frac{3}{8+3}=\frac3{11},\qquad k_B=\frac{h_b}{b+h_b}=\frac{24}{109+24}=\frac{24}{133},\qquad k_C=\frac{h_c}{c+h_c}=\frac{24}{13+24}=\frac{24}{37} $$
である（$h_b=\dfrac{24}{\sqrt{109}}$、$h_c=\dfrac{24}{\sqrt{13}}$ で、分母と分子に $\sqrt{109}$、$\sqrt{13}$ を掛けた）。例えば $A$ 円の中心は $O_A=A+\dfrac3{11}(O-A)=\left(-\dfrac4{11},\dfrac72\right)$、半径は $R_A=\dfrac3{11}R=\dfrac{\sqrt{1417}}{22}$ である。
辺 $BC$ の上の正方形の 1 辺は $\dfrac{24}{11}$ で、左下の頂点は $\left(-\dfrac{16}{11},0\right)$ にあり、辺 $BC$ からはみ出す。それでも $S_a$、$T_a$ は辺 $AB$、$CA$ の上にあり、lem-luc-ratio はそのまま成り立つ。

ex-luc-start の直角二等辺三角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,4)$ で、正方形の代わりに「縦の長さが横の長さの $2$ 倍の長方形」を使う。辺 $BC$ に横の辺を置いた長方形の、辺 $AB$、$CA$ の上の頂点を $S'$、$T'$ とし、$A$、$S'$、$T'$ を通る円を作る。$B$、$C$ についても同じように作る。
横の長さを $w$ とすると、上の辺は $BC$ から距離 $2w$ のところにあり、切り口の長さ $\dfrac{a(h_a-2w)}{h_a}$ が $w$ に等しいので $w=\dfrac{ah_a}{h_a+2a}$ である。$A$ から見た比は $\dfrac{h_a-2w}{h_a}=\dfrac{h_a}{h_a+2a}$ になる。
(1) $A$ の円：$a=4\sqrt2$、$h_a=2\sqrt2$ で比は $\dfrac{2\sqrt2}{2\sqrt2+8\sqrt2}=\dfrac15$、中心 $\left(\dfrac25,\dfrac25\right)$、半径 $\dfrac{2\sqrt2}5$ である。
(2) $B$ の円：辺 $CA$ の長さ $4$、高さ $4$ で比は $\dfrac4{4+8}=\dfrac13$、中心 $B+\dfrac13(O-B)=\left(\dfrac{10}3,\dfrac23\right)$、半径 $\dfrac{2\sqrt2}3$ である。
2 つの中心の距離は
$$ \sqrt{\left(\frac{10}3-\frac25\right)^2+\left(\frac23-\frac25\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{44}{15}\right)^2+\left(\frac4{15}\right)^2}=\frac{\sqrt{1952}}{15}=2.945\ldots $$
で、半径の和 $\dfrac{2\sqrt2}5+\dfrac{2\sqrt2}3=\dfrac{16\sqrt2}{15}=1.508\ldots$ より大きい。2 円は離れていて、接しない。一方、どの円も $A$ などを中心とする相似拡大で外接円を移した円なので、外接円には接したままである（prf-luc-tangent の段 1・2 は、比が $0$ と $1$ の間なら同じように使える）。
一般に、縦が横の $r$ 倍の長方形を使うと、prf-luc-mutual の段 5 の等式は $r^2abc^2=4R^2h_ah_b=abc^2$ に変わり、$r=1$ のときしか成り立たない。3 つの円が接するのは、正方形を使ったときだけである。

ex-luc-start の直角二等辺三角形で、斜辺 $BC$ の上の内接正方形の 4 頂点は $S\left(\dfrac43,0\right)$、$T\left(0,\dfrac43\right)$、$\left(\dfrac83,\dfrac43\right)$、$\left(\dfrac43,\dfrac83\right)$ である。この 4 点を通る円は、正方形の中心 $\left(\dfrac43,\dfrac43\right)$ を中心とする半径 $\dfrac43$ の円である。外接円の中心 $O(2,2)$ までの距離は
$$ \sqrt{\left(2-\frac43\right)^2+\left(2-\frac43\right)^2}=\frac{2\sqrt2}3=0.942\ldots $$
で、半径の差 $2\sqrt2-\dfrac43=1.495\ldots$ より小さい。この円は外接円の内側にあって、外接円に接しない（2円の位置関係と共通接線）。頂点 $A$ を通らない円は、$A$ を中心とする相似拡大で外接円を移した円ではないので、thm-luc-tangent の議論は使えず、実際に接しない。