表現環

$W:=\mathrm{Hom}_F(N,M)$ とし、$g\in G$ に対し線形写像 $T_g\colon W\to W$ を $T_g(u):=\rho_M(g)\,u\,\rho_N(g)^{-1}$ で定め、$P:=\int_GT_g\,dg$（行列の成分ごとの積分）とおく。$T_hT_g=T_{hg}$ と Haar 測度の左不変性から $T_hP=\int_GT_{hg}\,dg=P$ なので、$P$ の像は $\mathrm{Hom}_G(N,M)$ に含まれる。逆に $u\in\mathrm{Hom}_G(N,M)$ ならすべての $g$ で $T_gu=u$ なので $Pu=u$ である。よって $P^2=P$ で、$P$ は $W$ から $\mathrm{Hom}_G(N,M)$ への射影である。$W=\operatorname{Im}P\oplus\ker P$ に合わせた基底では $P$ は $\operatorname{diag}(I,0)$ なので、$\operatorname{tr}P=\dim_F\mathrm{Hom}_G(N,M)$ である。

一方、$M$・$N$ の基底をとり、$W$ の基底として行列単位 $E_{ij}$ を使う。$T_g(E_{ij})=\rho_M(g)E_{ij}\rho_N(g^{-1})$ の $E_{ij}$ の係数は $\rho_M(g)_{ii}\,\rho_N(g^{-1})_{jj}$ なので、$\operatorname{tr}T_g=\chi_M(g)\,\chi_N(g^{-1})$ である。跡は成分の有限和なので積分と交換し、$\operatorname{tr}P=\int_G\chi_M(g)\chi_N(g^{-1})\,dg$ を得る。$\square$

1：$F=\mathbb C$ では コンパクト群 の定理「ユニタリ化と完全可約性」の 2 である。$F=\mathbb R$ でも、実内積を Haar 測度で平均すると不変な実内積が得られ、不変部分空間の直交補空間は不変なので、次元についての同じ帰納法で既約表現の直和に分かれる。

2：1 により、既約表現の類は $R_F(G)$ を生成する。互いに同型でない既約表現 $S_1,\dots,S_m$ と整数 $a_1,\dots,a_m$ について $\sum_ia_i[S_i]=0$ とする。指標をとると $\sum_ia_i\chi_{S_i}=0$ である。これに $\chi_{S_j}(g^{-1})$ を掛けて積分すると、lem-rr-inner により $\sum_ia_i\dim_F\mathrm{Hom}_G(S_j,S_i)=0$ である。既約表現 の定理「Schur の補題」の 1 により $i\ne j$ では $\mathrm{Hom}_G(S_j,S_i)=0$ なので、$a_j\dim_F\mathrm{End}_G(S_j)=0$ である。$\mathrm{End}_G(S_j)$ は恒等写像を含み次元が正なので、$a_j=0$ である。

3：$x\in R_F(G)$ を 2 の基底で $x=\sum_ia_i[S_i]$ と書く。$\chi(x)=0$ なら、2 と同じ計算で $a_j\dim_F\mathrm{End}_G(S_j)=0$ となり、$x=0$ である。表現 $M,N$ の指標が等しければ $[M]=[N]$ である。1 の既約分解 $M\cong\bigoplus_iS_i^{m_i}$、$N\cong\bigoplus_iS_i^{n_i}$ をとると、2 により $m_i=n_i$ なので $M\cong N$ である。

4：$S'$ に不変な内積をとると $\rho_{S'}(g)$ はユニタリなので、$\chi_{S'}(g^{-1})=\overline{\chi_{S'}(g)}$ である。よって積分は lem-rr-inner により $\dim_{\mathbb C}\mathrm{Hom}_G(S',S)$ に等しい。$S\not\cong S'$ なら Schur の補題の 1 によりこれは $0$、$S\cong S'$ なら Schur の補題の 2（$\mathbb C$ は代数閉体）により $\mathrm{End}_G(S)=\mathbb C$ で $1$ である。$\square$

1：$\mathbb T^n$ は可換なので、既約表現 $S$ について各 $\rho_S(\theta)$ は表現の射であり、Schur の補題によりスカラー倍である。よって $S$ のどの直線も不変で、$\dim S=1$ である（群の表現 の系「可換群の既約表現は 1 次元」と同じ議論）。1 次元の表現は連続な準同型 $\mathbb T^n\to\mathbb C^\times$ で、像はコンパクトな部分群なので絶対値は $1$ である。$\mathbb T^n$ から単位円周への連続な準同型はちょうど $\chi_k$ で、$k$ が違えば異なる（Pontryagin双対 の定理「整数・円周・実数の双対群」と命題「直積の双対群」）。1 次元の表現は、同じ準同型を与えるときに限り同型である。

2：1 と thm-rr-basis の 2 により、$[\chi_k]$（$k\in\mathbb Z^n$）は $R(\mathbb T^n)$ の基底である。$\chi_k\otimes\chi_l\cong\chi_{k+l}$ なので $[\chi_k][\chi_l]=[\chi_{k+l}]$ であり、$[\chi_k]=\alpha^k$ が従う。単項式 $\alpha^k$ は Laurent 多項式環の基底なので、2 を得る。

3：1 次元の表現の類 $\ell$ は線元なので、$\psi^m(\ell)=\ell^m$ である（Adams演算 の命題「Adams演算の基本性質」の 3）。同じ命題の 2 により $\psi^m$ は加法的なので、負の係数を含む $f$ についても $\psi^m(f)=\sum_kc_k(\alpha^k)^m$ である。

4：$\chi_k$ の複素共役は $\chi_{-k}$ であり、直和とテンソル積の複素共役は複素共役の直和とテンソル積である。$\square$

1：単射性は prop-rr-restriction の 1 による。制限は直和・テンソル積・外冪と可換なので λ準同型である。2：$i\circ c_w\vert_T=c_w\circ i$ なので、prop-rr-restriction の 2 により $(c_w\vert_T)^*i^*=i^*c_w^*=i^*$ である。3：thm-rr-torus により $R(T)$ は 1 次元の表現の類（線元）の整数係数の一次結合の全体で、$1$ は線元、線元の積は線元である。λ環 の命題「検証原理」を 1 の $i^*$ に当てると $R(G)$ は λ環であり、Adams演算 の定理「$\lambda$ 環のAdams演算」の 1・2 が当てはまる。$\square$

1：$(M\oplus N)\otimes\mathbb C\cong(M\otimes\mathbb C)\oplus(N\otimes\mathbb C)$、$(M\otimes_{\mathbb R}N)\otimes\mathbb C\cong(M\otimes\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}(N\otimes\mathbb C)$、$\bigwedge^k_{\mathbb C}(M\otimes\mathbb C)\cong(\bigwedge^k_{\mathbb R}M)\otimes\mathbb C$ は、基底を対応させる線形同型で、$G$ の作用と可換である（最後のものは $(v_1\otimes z_1)\wedge\cdots\wedge(v_k\otimes z_k)\mapsto(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)\otimes z_1\cdots z_k$）。

2：$M\otimes\mathbb C$ を実表現とみたものは、$(v,w)\mapsto v\otimes1+w\otimes i$ により $M\oplus M$ と同型である。

3：thm-rr-basis の 2 を $F=\mathbb R$ で使うと $RO(G)$ は自由アーベル群なので、捩れをもたない。$c(x)=0$ なら $2x=r(c(x))=0$ なので $x=0$ である。

4：$v\otimes z\mapsto v\otimes\bar z$ は $M\otimes\mathbb C$ からその複素共役の表現への複素線形な同型で、$G$ の作用と可換である。$\square$

1． $a:=e_{2j-1}$、$b:=e_{2j}$ とおくと $\omega_j(\theta)=a\,(-\cos2\pi\theta\,a+\sin2\pi\theta\,b)$ は長さ $1$ のベクトル 2 つの積なので $\mathrm{Spin}(n)$ に属する。$(ab)^2=-1$ なので $\omega_j(\theta)\omega_j(\theta')=\omega_j(\theta+\theta')$ であり、$i\ne j$ の $e_{2i-1}e_{2i}$ と $e_{2j-1}e_{2j}$ は可換なので、$\omega$ は準同型である。Spin群 の例「平面の回転の持ち上げと半角」の計算（添字を付け替えたもの）により、$\phi(\omega_j(\theta))$ は第 $j$ 平面を角 $4\pi\theta$ だけ回し、ほかの $e_k$ を固定する。よって $\phi\circ\omega(\theta)=D(2\theta)$ である。$\omega(\theta)=1$ なら $D(2\theta)=1$ なので各 $\theta_j\in\{0,\frac12\}$ であり、$\omega_j(\frac12)=-1$ から $\omega(\theta)=(-1)^{(\frac12\text{ の個数})}$ となるので、$\ker\omega$ は主張のとおりである。

$K:=\ker\omega$ とおく。$\mathbb T^r=\mathbb R^r/\mathbb Z^r$ の $K$ による商は $\mathbb R^r/L$、$L:=\{\frac12a\mid a\in\mathbb Z^r,\ a_1+\cdots+a_r\text{ は偶数}\}$ で、$\mathbb Z^r\subset L\subset\frac12\mathbb Z^r$ なので $L$ は階数 $r$ の自由アーベル群であり、その基底を $\mathbb R^r$ の基底とみる線形同型により $\mathbb R^r/L\cong\mathbb T^r$ である。$\omega$ が誘導する $\mathbb T^r/K\to T'$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射準同型なので、位相群の同型である。よって $T'$ は $r$ 次元のトーラスである。$D(2\theta)$ は $T_{\mathrm{SO}}$ 全体を動くので $\phi(T')=T_{\mathrm{SO}}$ であり、$\ker\phi=\{\pm1\}$ は $-1=\omega_1(\frac12)$ により $T'$ に含まれるので、$\phi^{-1}(T_{\mathrm{SO}})=T'\ker\phi=T'$ である。

2． $g\in\mathrm{SO}(n)$ は、特殊直交群 の定理「直交する平面の回転の積」により、正規直交系 $u_1,v_1,\dots,u_m,v_m$（$m\le r$）の張る平面の回転の積である。$u_j,v_j$ を補って正規直交基底 $u_1,v_1,\dots,u_r,v_r(,w)$ とし（補った平面の回転角は $0$）、これを列とする直交行列を $Q$ とする。$\det Q=-1$ なら $v_1$ を $-v_1$ に、回転角 $\gamma_1$ を $-\gamma_1$ に替える（同じ回転を表す）。すると $Q\in\mathrm{SO}(n)$ で、$Q^{-1}gQ\in T_{\mathrm{SO}}$ である。$x\in\mathrm{Spin}(n)$ について、$\phi(x)=QtQ^{-1}$（$t\in T_{\mathrm{SO}}$、$Q\in\mathrm{SO}(n)$）と書き、$\phi(h)=Q$ となる $h\in\mathrm{Spin}(n)$ をとる（$\phi$ は全射。Spin群 の定理「Spin 群による回転群の二重被覆」）。$\phi(h^{-1}xh)=t$ なので、1 により $h^{-1}xh\in T'$ である。単射性は prop-rr-restriction の 1 による。

3． 1 により $T'\cong\mathbb T^r/K$ なので、$T'$ の 1 次元の表現は、$\mathbb T^r$ の 1 次元の表現 $\chi_k$ で $K$ の上で $1$ になるものと対応する。$\theta=\frac12\varepsilon\in K$（$\varepsilon\in\{0,1\}^r$、$\varepsilon$ の $1$ の個数は偶数）で $\chi_k(\theta)=(-1)^{k\cdot\varepsilon}$ である。$r\ge2$ なら $\varepsilon$ として第 $i$・第 $j$ 成分だけが $1$ のものをとると $k_i+k_j$ が偶数であることが必要で、逆に $k_i$ の偶奇がそろえば $k\cdot\varepsilon\equiv k_1(\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_r)\equiv0\pmod 2$ である。$r=1$ では $K=\{0\}$ で、$\Gamma=\mathbb Z$ と条件が一致する。よって 1 次元の表現は $k\in\Gamma$ と対応し、thm-rr-torus の 1・2 と同じ議論で $R(T')\cong\mathbb Z[\Gamma]$ である。

4． $\phi\circ\omega(\theta)=D(2\theta)$ なので、$\beta_j\circ\phi\circ\omega=\chi_k$（$k$ は第 $j$ 成分が $2$、ほかが $0$）であり、$\beta^m:=\beta_1^{m_1}\cdots\beta_r^{m_r}$ は $k=2m$ の類に写る。$m\mapsto2m$ は単射なので $B\to R(T')$ は単射で、像は $2\mathbb Z^r$ の群環である。$\Gamma$ は $2\mathbb Z^r$ と $(1,\dots,1)+2\mathbb Z^r$ の交わらない和なので、$\mathbb Z[\Gamma]$ は像と $\delta\cdot$（像）の直和であり、$\delta^2$ は $k=(2,\dots,2)$ の類、すなわち $\beta_1\cdots\beta_r$ の像である。$B[t]/(t^2-\beta_1\cdots\beta_r)$ の $B$ 上の基底 $1,t$ は $1,\delta$ に写るので、これは同型である。$\square$