外測度

空集合の列は $\emptyset$ を覆うので $\mu^*(\emptyset)=0$ である。$A\subset B$ なら $B$ の被覆は $A$ の被覆でもあるので、下限をとる範囲が広がり $\mu^*(A)\le\mu^*(B)$ である。$C\in\mathcal{C}$ は $C,\emptyset,\emptyset,\ldots$ で覆えるので $\mu^*(C)\le\rho(C)$ である。
可算劣加法性を示す。$A=\bigcup_kA_k$ とし、右辺 $\sum_k\mu^*(A_k)$ が有限の場合を考えればよい（無限なら示すことはない）。$\varepsilon>0$ をとる。各 $k$ について、$A_k$ の被覆 $(C_{k,j})_{j\in\mathbb{N}}$ で $\sum_j\rho(C_{k,j})\le\mu^*(A_k)+\varepsilon2^{-k-1}$ となるものがある（下限の定義）。すべての $k$ について一斉に選び（可算選択公理）、全単射 $\pi\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ で並べ直すと、$(C_{k,j})_{k,j}$ は $A$ の被覆になる。非負の項の和は並べ方によらないので
$$ \mu^*(A)\le\sum_{k}\sum_{j}\rho(C_{k,j})\le\sum_k\Bigl(\mu^*(A_k)+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\Bigr)=\sum_k\mu^*(A_k)+\varepsilon $$
である。$\varepsilon\to0$ として主張を得る。$\square$

段 1（空集合・補集合・零集合）。$\mu^*(E\cap\emptyset)+\mu^*(E\setminus\emptyset)=0+\mu^*(E)$ なので $\emptyset\in\mathcal{M}$ である。$E\cap(X\setminus A)=E\setminus A$、$E\setminus(X\setminus A)=E\cap A$ なので、定義の条件は $A$ と $X\setminus A$ について同じであり、$\mathcal{M}$ は補集合で閉じる。$\mu^*(N)=0$ なら、任意の $E$ について単調性から $\mu^*(E\cap N)=0$、$\mu^*(E\setminus N)\le\mu^*(E)$ なので、逆向きの不等式が成り立ち $N\in\mathcal{M}$ である。
段 2（2 つの和）。$A,B\in\mathcal{M}$、$E\subset X$ とする。$A$ の可測性を $E$ に、$B$ の可測性を $E\setminus A$ に使うと
$$ \mu^*(E)=\mu^*(E\cap A)+\mu^*\bigl((E\setminus A)\cap B\bigr)+\mu^*\bigl(E\setminus(A\cup B)\bigr) $$
である。$E\cap(A\cup B)=(E\cap A)\cup\bigl((E\setminus A)\cap B\bigr)$ なので、劣加法性から右辺の最初の 2 項の和は $\mu^*\bigl(E\cap(A\cup B)\bigr)$ 以上であり、$A\cup B\in\mathcal{M}$ を得る。段 1 と合わせて、$\mathcal{M}$ は有限個の和・共通部分・差で閉じる。
段 3（有限個の分割）。互いに交わらない $A_0,\dots,A_n\in\mathcal{M}$ と $B_n:=A_0\cup\cdots\cup A_n$ について、任意の $E$ で $\mu^*(E\cap B_n)=\sum_{k=0}^n\mu^*(E\cap A_k)$ である。$n$ についての帰納法による：$A_n$ の可測性を集合 $E\cap B_n$ に使うと、$(E\cap B_n)\cap A_n=E\cap A_n$、$(E\cap B_n)\setminus A_n=E\cap B_{n-1}$ なので $\mu^*(E\cap B_n)=\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap B_{n-1})$ となる。
段 4（互いに交わらない可算個）。$A_0,A_1,\ldots\in\mathcal{M}$ が互いに交わらず、$A:=\bigcup_kA_k$ とする。段 2 より $B_n\in\mathcal{M}$ であり、$E\setminus B_n\supset E\setminus A$ だから、段 3 と単調性により
$$ \mu^*(E)=\mu^*(E\cap B_n)+\mu^*(E\setminus B_n)\ge\sum_{k=0}^n\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\setminus A) $$
である。$n\to\infty$ とし、可算劣加法性を使うと
$$ \mu^*(E)\ge\sum_{k\in\mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\setminus A)\ge\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)\qquad(*) $$
となり、$A\in\mathcal{M}$ である。($*$) を集合 $E\cap A$ に使うと $(E\cap A)\cap A_k=E\cap A_k$、$(E\cap A)\setminus A=\emptyset$ なので $\mu^*(E\cap A)\ge\sum_k\mu^*(E\cap A_k)$ であり、逆向きは可算劣加法性なので 2 の等式を得る。$E=X$ とすれば $\mu(A)=\sum_k\mu(A_k)$、すなわち $\mu$ の可算加法性である。
段 5（一般の可算個）。$A_0,A_1,\ldots\in\mathcal{M}$ に対し $A'_k:=A_k\setminus(A_0\cup\cdots\cup A_{k-1})$ とおくと、段 2 により $A'_k\in\mathcal{M}$ であり、$A'_k$ は互いに交わらず和は $\bigcup_kA_k$ に等しい。段 4 により $\bigcup_kA_k\in\mathcal{M}$ である。以上で 1・2 が示された。
3 の後半：$\mu$-零集合 $N\in\mathcal{M}$ の部分集合 $N'$ は $\mu^*(N')\le\mu^*(N)=0$ なので、段 1 により $N'\in\mathcal{M}$ である。$\square$

1 ⇒ 2：$r:=d(A,B)>0$ とし、$U:=\{x\in X\mid d(x,a)< r\text{ となる }a\in A\text{ がある}\}$ とおく。$U$ は開球の和なので開集合で、$A\subset U$、$U\cap B=\emptyset$ である。1 より $U$ は可測なので、$E:=A\cup B$ で試すと $\mu^*(A\cup B)=\mu^*(E\cap U)+\mu^*(E\setminus U)=\mu^*(A)+\mu^*(B)$ である。
2 ⇒ 1：$\mathcal{M}(\mu^*)$ は σ-代数（thm-outer-measure-caratheodory）で、$\mathcal{B}$ は閉集合全体を含む最小の σ-代数なので、閉集合 $F$ が可測であることを示せばよい。$\mu^*(E)<\infty$ とし、$\mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap F)+\mu^*(E\setminus F)$ を示す。$n\ge1$ について
$$ E_n:=\Bigl\{x\in E\setminus F\ \Big|\ d(x,F)\ge\frac1n\Bigr\} $$
とおく（$d(x,F):=d(\{x\},F)$）。$d(E\cap F,E_n)\ge1/n>0$ なので、距離外測度の条件と単調性から
$$ \mu^*(E\cap F)+\mu^*(E_n)=\mu^*\bigl((E\cap F)\cup E_n\bigr)\le\mu^*(E) $$
である。あとは $\lim_n\mu^*(E_n)=\mu^*(E\setminus F)$ を示せばよい。
$E_n$ は増加列で、$F$ は閉集合なので $x\notin F$ なら $d(x,F)>0$ であり、$\bigcup_nE_n=E\setminus F$ である。$D_k:=E_{k+1}\setminus E_k$（$k\ge1$）とおくと $E\setminus F=E_n\cup\bigcup_{k\ge n}D_k$ なので
$$ \mu^*(E_n)\le\mu^*(E\setminus F)\le\mu^*(E_n)+\sum_{k\ge n}\mu^*(D_k) $$
である。$\sum_k\mu^*(D_k)<\infty$ を示せば、右端の和は $n\to\infty$ で $0$ に近づき、主張が従う。