eの級数表示と無理数性

• $s_0=1$、$s_1=1+1=2$。
• $s_2=2+\frac12=2.5$。
• $s_3=2.5+\frac16=\frac83=2.666\ldots$。
• $s_4=\frac83+\frac1{24}=\frac{65}{24}=2.7083\ldots$。
• $s_5=\frac{65}{24}+\frac1{120}=\frac{163}{60}=2.71666\ldots$。
  わずか 6 項で、$e=2.71828\ldots$ と小数第 2 位まで一致している。

次の値は数値計算による。

$n=10$ で、$s_n$ の誤差は $a_n$ の誤差の 450 万分の 1 ほどである。

次の値は数値計算による（以下切り捨て）。右の列の比 $\frac{e-s_n}{e-s_{n+1}}$ は、項を 1 つ足したとき誤差が何分の 1 になるかを表す。

この表の比は、どれも $n+2$ より少しだけ大きい。たとえば $n=1$ から $n=2$ に進んでも、誤差は $0.718\ldots$ から $0.218\ldots$ へと 3 分の 1 ほどにしかならない。比が $10$ を超える（項を 1 つ足すと誤差が $10$ 分の $1$ より小さくなる）のは $n=8$ からで、その先は比がさらに大きくなる。

$u_k=\frac1{2^k}$ とすると、部分和は $S_0=1$、$S_1=1.5$、$S_2=1.75$、$S_3=1.875$ である。一般に等比数列の和の公式から
$$ S_n=\frac{1-(\frac12)^{n+1}}{1-\frac12}=2-\frac1{2^n} $$
であり、$n\to\infty$ で $2$ に近づく。よって $\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k}=2$ である。部分和と和の差はちょうど $\frac1{2^n}$ である。

$n\ge3$ のとき、$a_n$ の展開（rem-esi-premises の 2）から $k\le3$ の 4 項だけを残すと、残りの項は $0$ 以上なので
$$ a_n\ge1+1+\frac1{2!}\Bigl(1-\frac1n\Bigr)+\frac1{3!}\Bigl(1-\frac1n\Bigr)\Bigl(1-\frac2n\Bigr) $$
である。右辺は、$n=10$ で $2+0.45+0.12=2.57$、$n=100$ で $2+0.495+0.1617=2.6567$ である。$n\to\infty$ とすると、各かっこは $1$ に近づくので、右辺は $1+1+\frac12+\frac16=s_3=2.666\ldots$ に近づく。左辺は $e$ に近づくので、$e\ge s_3$ である。
同じことを $m=4,5,\dots$ で行えば $e\ge s_4$、$e\ge s_5$、… が得られる。

次の値は数値計算による。

どの $n$ でも $e-s_n$ は $\frac1{n!\,n}$ より少しだけ小さい。

誤差を $10^{-10}$ 未満にしたいとする。prop-esi-error の評価 $\frac1{n!\,n}$ は、$n=12$ で $1.7\ldots\times10^{-10}$、$n=13$ で $1.2\ldots\times10^{-11}$ である（数値計算）。よって $s_{13}$、すなわち 14 項の和で、$e$ を誤差 $10^{-10}$ 未満で計算できる。$a_n$ で同じ精度を得るには、$e-a_n$ がおよそ $\frac e{2n}$ なので（数値による観察。本記事では証明しない）、$n$ を $10^{10}$ 以上にしなければならない。

$e=\frac p2$（$p$ は整数）と書けたとする。$N:=2!\,(e-s_2)=2e-5$ を考えると、$2e=p$ は整数なので $N=p-5$ も整数である。一方 prop-esi-error で $n=2$ とすると $0< e-s_2<\frac1{2!\cdot2}=\frac14$ なので、$0< N<\frac12$ である。$0$ と $\frac12$ の間に整数はないので、矛盾である。実際、$2e-5=0.4365\ldots$ は整数でない（数値計算）。
$e=\frac p3$ と書けたとすると、$N:=3!\,(e-s_3)=6e-16=2p-16$ は整数であり、一方 $0< N<\frac1{3!\cdot3}\cdot3!=\frac13$ である。これも矛盾である（実際 $6e-16=0.3096\ldots$）。

$\frac{19}7=2.714285\ldots$ は、分母の小さい分数の中では $e$ に近い。この分数が $e$ でないことは、prop-esi-error から直接わかる。$s_7=\frac{685}{252}$ であり、$7!\,s_7=5040\cdot\frac{685}{252}=13700$ に対して $7!\cdot\frac{19}7=720\cdot19=13680$ なので、$\frac{19}7< s_7< e$ である（$s_7< e$ は prop-esi-error の左の不等式）。差は $e-\frac{19}7=0.00399\ldots$ である（数値計算）。

$a_n=\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ はどれも有理数（たとえば $a_2=\frac94$、$a_3=\frac{64}{27}$）であり、単調増加で $3$ で上から押さえられる。しかしその極限 $e$ は無理数である（thm-esi-irrational）。$s_n$ も同じで、どれも有理数（$s_3=\frac83$、$s_5=\frac{163}{60}$）だが、極限は無理数 $e$ である。
したがって、有理数全体だけを考えると、これらの数列は「単調で有界」を満たすのに、有理数の中に極限をもたない。単調収束定理（rem-esi-premises の 1）は有理数では成り立たない。$e$ という数を定義するには、実数が必要だったのである。

$T_n:=\sum_{k=1}^n\frac1n=\underbrace{\frac1n+\frac1n+\cdots+\frac1n}_{n\text{ 個}}$ を考える。各項 $\frac1n$ は $n\to\infty$ で $0$ に近づく。「各項の極限 $0$ を足して、$T_n\to0$」と考えると誤りで、実際にはすべての $n$ で $T_n=n\cdot\frac1n=1$ である。
項の数 $n$ が一緒に増えるので、小さな項がたくさん集まって $1$ になっている。thm-esi-series の証明の段 4 で、項の数を $m+1$ 個に固定してから $n\to\infty$ としたのは、この誤りを避けるためである。

ex-esi-geometric の等比級数 $\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k}=2$ は有理数である。部分和 $S_n=2-\frac1{2^n}$ は分母 $2^n$ の分数で、和との差はちょうど $\frac1{2^n}$ である。
thm-esi-irrational と同じように $N:=2^n\,(2-S_n)$ を作ると、$N=2^n\cdot\frac1{2^n}=1$ であり、整数 $1$ になって矛盾は起こらない。誤差が「分母の逆数」$\frac1{2^n}$ と同じ大きさにとどまり、$e$ の場合のように「分母の逆数の $\frac1q$ 倍未満」まで小さくならないからである。無理数性の証明には、近似が十分に速いことが欠かせない。