Eulerの直方体

同義語：オイラーの直方体Euler brick

概要

前提知識: ピタゴラス数と円の有理点, 空間図形の計量, 合同式の計算規則, Heron三角形

高校での出発点：直方体の対角線

縦・横・高さが $a,b,c$ の直方体には、3 種類の面の対角線と、空間の対角線がある。三平方の定理から、面の対角線の長さは
$$ \sqrt{a^2+b^2},\qquad \sqrt{a^2+c^2},\qquad \sqrt{b^2+c^2} $$
で、空間の対角線の長さは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ である（空間図形の計量）。3 辺が整数でも、対角線はふつう整数にならない。

3 辺が $3,4,12$ の直方体

面の対角線の 2 乗は
$$ 3^2+4^2=25=5^2,\qquad 3^2+12^2=153,\qquad 4^2+12^2=160 $$
で、整数になるのは $5$ だけである。$153=9\cdot17$、$160=16\cdot10$ は平方数でない。空間の対角線の 2 乗は $9+16+144=169=13^2$ で、空間の対角線は $13$ になる。

ex-ebr-start では、面の対角線 3 本のうち 2 本が整数でなかった。3 本とも整数にできるだろうか。

3 辺が $44,117,240$ の直方体

面の対角線の 2 乗を計算すると
$$ 44^2+117^2=1936+13689=15625=125^2, $$
$$ 44^2+240^2=1936+57600=59536=244^2, $$
$$ 117^2+240^2=13689+57600=71289=267^2 $$
で、面の対角線は $125$、$244$、$267$ と 3 本とも整数である。一方、空間の対角線の 2 乗は $1936+13689+57600=73225$ で、$270^2=72900<73225<73441=271^2$ なので平方数でない。空間の対角線は整数でない。

縦 44・横 117・高さ 240 の直方体では、3 種類の面の対角線 125、244、267 が整数になるが、空間の対角線（破線）は整数にならない
図 1 は ex-ebr-start2 の直方体である。この記事では、3 辺と面の対角線 3 本がすべて整数の直方体について、次の問いに答える。

このような直方体はどうやって作れるか。→ thm-ebr-saunderson
3 辺にはどんな性質があるか。→ thm-ebr-div

空間の対角線まで整数にできるか。→ rem-ebr-perfect

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
面の対角線を三平方の定理で求める	3 組のピタゴラス数	3 つの 2 次式を同時に平方数にする
ピタゴラス数 $(u,v,w)$ から式を作る	媒介変数による構成	曲面の有理点の族
$3$ や $16$ で割った余り	辺の約数の性質	合同式による障害

言葉の準備：Euler の直方体

Euler の直方体

正の整数 $a,b,c$ で、
$$ a^2+b^2,\qquad a^2+c^2,\qquad b^2+c^2 $$
がすべて平方数であるものの組を、3 辺とする直方体を Euler の直方体 という。3 辺が $a,b,c$ の Euler の直方体を、単に「Euler の直方体 $(a,b,c)$」ともいう。

定義は、3 つの組 $(a,b)$、$(a,c)$、$(b,c)$ がどれもピタゴラス数の直角をはさむ 2 辺になる、ということと同じである。

Euler の直方体の例と、そうでない例

ex-ebr-start2 の $(44,117,240)$ は Euler の直方体である。
$(44,117,240)$ を $2$ 倍した $(88,234,480)$ も Euler の直方体で、面の対角線は $250,488,534$ である。一般に、Euler の直方体の 3 辺を同じ正の整数 $k$ 倍すると、面の対角線も $k$ 倍になり、また Euler の直方体である。
$(3,4,12)$ は Euler の直方体でない（ex-ebr-start）。

3 辺の最大公約数が $1$ の Euler の直方体を 原始的 という。どの Euler の直方体も、3 辺を最大公約数で割ると原始的な Euler の直方体になる（$a^2+b^2=d^2$ なら、最大公約数 $k$ で割って $\left(\dfrac ak\right)^2+\left(\dfrac bk\right)^2=\left(\dfrac dk\right)^2$ となる。左辺は整数なので、$\dfrac dk$ は 2 乗が整数の有理数であり、整数である）。

主定理 1：ピタゴラス数から作る

面の対角線を 3 本とも整数にするには、ピタゴラス数を 3 組同時にそろえる必要がある。1 組のピタゴラス数 $(u,v,w)$ から、3 組がそろう辺を作る公式がある。

ピタゴラス数から Euler の直方体を作る

正の整数 $u,v,w$ が $u^2+v^2=w^2$ を満たすとき、
$$ a=u\,\lvert4v^2-w^2\rvert,\qquad b=v\,\lvert4u^2-w^2\rvert,\qquad c=4uvw $$
とおくと、$a,b,c$ は正の整数で、$(a,b,c)$ は Euler の直方体である。面の対角線は
$$ \sqrt{a^2+b^2}=w^3,\qquad \sqrt{a^2+c^2}=u(4v^2+w^2),\qquad \sqrt{b^2+c^2}=v(4u^2+w^2) $$
である。

方針：3 つの和をそれぞれ展開し、平方の形にまとめる。2 つは「$(X-Y)^2+4XY=(X+Y)^2$」の形、残りの 1 つは $u^2+v^2=w^2$ を 2 回使う。
段 1（$a,b$ が正）。$4v^2-w^2=0$ だとすると $w=2v$ で、$u^2=w^2-v^2=3v^2$ となる。すると $\left(\dfrac uv\right)^2=3$ で、$\sqrt3$ が有理数になってしまう。$\sqrt3$ は無理数なので、$4v^2\ne w^2$ である。同じく $4u^2\ne w^2$ である。よって $a>0$、$b>0$ であり、$c=4uvw>0$ である。
段 2（$a^2+c^2$）。$X=4v^2$、$Y=w^2$ とおくと、
$$ a^2+c^2=u^2(4v^2-w^2)^2+16u^2v^2w^2=u^2\bigl((X-Y)^2+4XY\bigr)=u^2(X+Y)^2=\bigl(u(4v^2+w^2)\bigr)^2 $$
である。ここで $(X-Y)^2+4XY=X^2-2XY+Y^2+4XY=X^2+2XY+Y^2=(X+Y)^2$ を使った。
段 3（$b^2+c^2$）。段 2 の $u$ と $v$ を入れかえると、$b^2+c^2=\bigl(v(4u^2+w^2)\bigr)^2$ である。
段 4（$a^2+b^2$）。それぞれ展開すると
$$ u^2(4v^2-w^2)^2=16u^2v^4-8u^2v^2w^2+u^2w^4,\qquad v^2(4u^2-w^2)^2=16u^4v^2-8u^2v^2w^2+v^2w^4 $$
で、足すと
$$ a^2+b^2=\underbrace{16u^2v^2(u^2+v^2)}_{=16u^2v^2w^2}-16u^2v^2w^2+\underbrace{(u^2+v^2)w^4}_{=w^6}=w^6=(w^3)^2 $$
である。$u^2+v^2=w^2$ を 2 か所で使った。$\square$

$(3,4,5)$ から作る

$u=3$、$v=4$、$w=5$ とすると、$4v^2-w^2=64-25=39$、$4u^2-w^2=36-25=11$ なので
$$ a=3\cdot39=117,\qquad b=4\cdot11=44,\qquad c=4\cdot3\cdot4\cdot5=240 $$
で、ex-ebr-start2 の直方体 $(117,44,240)$ が得られる。面の対角線は
$$ w^3=125,\qquad u(4v^2+w^2)=3\cdot89=267,\qquad v(4u^2+w^2)=4\cdot61=244 $$
で、ex-ebr-start2 の計算と一致する。$u$ と $v$ を入れかえて $(4,3,5)$ から作ると、$a$ と $b$ が入れかわるだけである。

$(5,12,13)$ から作る

$u=5$、$v=12$、$w=13$ とすると、$4v^2-w^2=576-169=407$、$4u^2-w^2=100-169=-69$ なので、絶対値をとって
$$ a=5\cdot407=2035,\qquad b=12\cdot69=828,\qquad c=4\cdot5\cdot12\cdot13=3120 $$
である。面の対角線は $w^3=2197$、$u(4v^2+w^2)=5\cdot745=3725$、$v(4u^2+w^2)=12\cdot269=3228$ である。

平方数になることを数で確かめる計算を開く

$2035^2+828^2=4141225+685584=4826809=2197^2$、$2035^2+3120^2=4141225+9734400=13875625=3725^2$、$828^2+3120^2=685584+9734400=10419984=3228^2$ である。

thm-ebr-saunderson の公式は、Dic05b の p. 497 に N. Saunderson の 1740 年の代数の本の解法として記録されていて、$3,4,5$ から $117,44,240$ を得る例も書かれている。同じ頁の最初には、P. Halcke が 1719 年の本で与えた解として $44,240,117$ が挙がっている。

主定理 2：$3$ の倍数の辺と $4$ の倍数の辺

ex-ebr-start2 の $(44,117,240)$ では、$3$ の倍数の辺が $117$ と $240$、$4$ の倍数の辺が $44$ と $240$ で、どちらも 2 本ずつある。これが一般に成り立つことを示す。道具は、1 組のピタゴラス数についての次の補題である。

ピタゴラス数の直角をはさむ辺

正の整数 $x,y,z$ が $x^2+y^2=z^2$ を満たすならば、
(R1) $x,y$ の少なくとも一方は $3$ の倍数である。
(R2) $x,y$ の少なくとも一方は $4$ の倍数である。

(i) 整数の 2 乗を $3$ で割った余りは、$(3m)^2=9m^2$、$(3m\pm1)^2=3(3m^2\pm2m)+1$ より、$0$ か $1$ である。$x,y$ がどちらも $3$ の倍数でないとすると、$x^2\equiv1$、$y^2\equiv1\pmod3$ なので $z^2=x^2+y^2\equiv2\pmod3$ となり、$z^2$ の余りが $0$ か $1$ であることに反する。
(ii) 整数の 2 乗を $16$ で割った余りを調べる。

$k$ が奇数のとき：$k=2m+1$ とすると $k^2=4m(m+1)+1$ で、$m(m+1)$ は連続する 2 整数の積なので偶数である。よって $k^2\equiv1\pmod8$ で、$16$ で割った余りは $1$ か $9$ である。
$k$ が「$4$ で割って $2$ 余る数」のとき：$k=2j$（$j$ は奇数）とすると $k^2=4j^2$ で、$j^2=8i+1$ と書けるので $k^2=32i+4\equiv4\pmod{16}$ である。

$k$ が $4$ の倍数のとき：$k=4j$ とすると $k^2=16j^2\equiv0\pmod{16}$ である。
よって整数の 2 乗を $16$ で割った余りは $0,1,4,9$ のどれかである。
$x,y$ がどちらも $4$ の倍数でないとする。すると $x,y$ はそれぞれ「奇数」か「$4$ で割って $2$ 余る数」で、2 乗の余りは奇数なら $1$ か $9$、そうでなければ $4$ である。和 $x^2+y^2$ の余りは次の表のとおりである。

$x,y$ の種類	$x^2,y^2$ の余り	$x^2+y^2$ の余り
奇数と奇数	$1$ か $9$ と $1$ か $9$	$2$ か $10$
奇数と「$4$ で割って $2$ 余る数」	$1$ か $9$ と $4$	$5$ か $13$
「$4$ で割って $2$ 余る数」どうし	$4$ と $4$	$8$

どの場合も余りは $0,1,4,9$ のどれでもないので、$x^2+y^2$ は平方数 $z^2$ になりえない。これは矛盾なので、$x,y$ の少なくとも一方は $4$ の倍数である。$\square$

補題を小さいピタゴラス数で確かめる

$(3,4,5)$：$3$ の倍数は $3$、$4$ の倍数は $4$ で、別の辺である。
$(5,12,13)$：$12$ が $3$ の倍数でも $4$ の倍数でもある。1 つの辺が両方を担ってもよい。
$(6,8,10)$：$3$ の倍数は $6$、$4$ の倍数は $8$ である。原始的でないピタゴラス数でも補題は成り立つ。

原始的なピタゴラス数の偶奇（一方の辺だけが偶数）はピタゴラス数と円の有理点の補題「原始的なピタゴラス数の偶奇」にある。lem-ebr-legs はそれより細かく、$4$ の倍数まで言っている。

Euler の直方体の辺の約数

Euler の直方体 $(a,b,c)$ では、次が成り立つ。
(R1) 3 辺 $a,b,c$ のうち、少なくとも 2 辺は $3$ の倍数である。
(R2) 3 辺 $a,b,c$ のうち、少なくとも 2 辺は $4$ の倍数である。

(i) $3$ の倍数の辺が 1 本以下だったとする。すると、$3$ の倍数でない辺が 2 本以上あるので、そのうち 2 本を選ぶ。定義から、選んだ 2 本を 2 辺とする面の対角線は整数で、この 2 本は 1 組のピタゴラス数の直角をはさむ 2 辺になる。lem-ebr-legs の (i) により、その一方は $3$ の倍数である。これは 2 本とも $3$ の倍数でないことに反する。よって $3$ の倍数の辺は 2 本以上ある。
(ii) (i) の「$3$ の倍数」を「$4$ の倍数」に替え、lem-ebr-legs の (ii) を使えば、同じ議論で示せる。$\square$

証明のかなめは、Euler の直方体では「どの 2 辺を選んでも」面の対角線が整数になることである。面の対角線が 2 本だけ整数の直方体では、thm-ebr-div は成り立たないことがある（ex-ebr-cx-two）。

主定理 2 を例で確かめる

$(44,117,240)$：$3$ の倍数は $117=3\cdot39$ と $240=3\cdot80$、$4$ の倍数は $44=4\cdot11$ と $240=4\cdot60$ である。
$(85,132,720)$：$3$ の倍数は $132$ と $720$、$4$ の倍数も $132$ と $720$ である。$85$ は $3$ でも $4$ でも割り切れない。
thm-ebr-saunderson で作った直方体では、$c=4uvw$ はいつも $4$ の倍数である。$(2035,828,3120)$ では $3$ の倍数は $828$ と $3120$、$4$ の倍数も $828$ と $3120$ である。

thm-ebr-div から、Euler の直方体の 3 辺の積 $abc$ は $3^2\cdot4^2=144$ の倍数である（$3$ の倍数が 2 本で $3^2$、$4$ の倍数が 2 本で $4^2$ が積を割る）。$(44,117,240)$ では $abc=1235520=144\cdot8580$ である。

小さい Euler の直方体の表

3 辺がすべて $1500$ 未満の Euler の直方体は $17$ 個あり、そのうち原始的なものは $6$ 個である（$a< b< c<1500$ のすべての組について、3 つの和が平方数かを計算機で調べた）。原始的な 6 個を表にする。

3 辺	面の対角線	空間の対角線の 2 乗	$3$ の倍数の辺	$4$ の倍数の辺
$44,117,240$	$125,244,267$	$73225$	$117,240$	$44,240$
$240,252,275$	$348,365,373$	$196729$	$240,252$	$240,252$
$140,480,693$	$500,707,843$	$730249$	$480,693$	$140,480$
$85,132,720$	$157,725,732$	$543049$	$132,720$	$132,720$
$160,231,792$	$281,808,825$	$706225$	$231,792$	$160,792$
$1008,1100,1155$	$1492,1533,1595$	$3560089$	$1008,1155$	$1008,1100$

3 辺が 1500 未満の 17 個をすべて開く

3 辺	最大公約数	面の対角線	空間の対角線の 2 乗	3 の倍数の辺	4 の倍数の辺
$44,117,240$	$1$	$125,244,267$	$73225$	$117,240$	$44,240$
$240,252,275$	$1$	$348,365,373$	$196729$	$240,252$	$240,252$
$88,234,480$	$2$	$250,488,534$	$292900$	$234,480$	$88,480$
$480,504,550$	$2$	$696,730,746$	$786916$	$480,504$	$480,504$
$140,480,693$	$1$	$500,707,843$	$730249$	$480,693$	$140,480$
$85,132,720$	$1$	$157,725,732$	$543049$	$132,720$	$132,720$
$132,351,720$	$3$	$375,732,801$	$659025$	$132,351,720$	$132,720$
$160,231,792$	$1$	$281,808,825$	$706225$	$231,792$	$160,792$
$720,756,825$	$3$	$1044,1095,1119$	$1770561$	$720,756,825$	$720,756$
$176,468,960$	$4$	$500,976,1068$	$1171600$	$468,960$	$176,468,960$
$960,1008,1100$	$4$	$1392,1460,1492$	$3147664$	$960,1008$	$960,1008,1100$
$1008,1100,1155$	$1$	$1492,1533,1595$	$3560089$	$1008,1155$	$1008,1100$
$220,585,1200$	$5$	$625,1220,1335$	$1830625$	$585,1200$	$220,1200$
$1200,1260,1375$	$5$	$1740,1825,1865$	$4918225$	$1200,1260$	$1200,1260$
$280,960,1386$	$2$	$1000,1414,1686$	$2920996$	$960,1386$	$280,960$
$170,264,1440$	$2$	$314,1450,1464$	$2172196$	$264,1440$	$264,1440$
$264,702,1440$	$6$	$750,1464,1602$	$2636100$	$264,702,1440$	$264,1440$

どの行でも、空間の対角線の 2 乗は平方数でない。たとえば $196729$ は $443^2=196249$ と $444^2=197136$ の間にある。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
3 本目の面の対角線も整数	3 辺 $5,9,12$	$4$ の倍数の辺が 2 本以上
$u^2+v^2=w^2$	$(u,v,w)=(1,1,1)$ から $3,3,4$	面の対角線が 3 本とも整数
三角形が直角三角形（直方体の面の三角形）	3 本の面の対角線でできる三角形 $PQR$（直方体 $(44,117,240)$）	3 辺が整数なら面積も有理数

反例：面の対角線が 2 本だけ整数の直方体

共通の辺 $12$ をもつピタゴラス数 $(5,12,13)$ と $(9,12,15)$ を使い、3 辺を $5,9,12$ とする。
$$ 5^2+12^2=169=13^2,\qquad 9^2+12^2=225=15^2,\qquad 5^2+9^2=106 $$
で、$106$ は $10^2=100$ と $11^2=121$ の間にあるので平方数でない。面の対角線は 2 本だけ整数である。$4$ の倍数の辺は $12$ だけで、thm-ebr-div の (ii) の結論は成り立たない。
逆向きに使うこともできる。3 辺のうち $4$ の倍数が 1 本以下の直方体は、thm-ebr-div の (ii) により Euler の直方体でない。$5,9,12$ は、$5^2+9^2$ を計算しなくても、この理由で Euler の直方体でないと分かる。

図 2 は ex-ebr-cx-two の直方体である。
3 辺が 5, 9, 12 の直方体では、12 を含む 2 つの面の対角線 13 と 15 は整数だが、残りの面の対角線は根号 106 で整数でない

反例：ピタゴラス数でない 3 数から作る

thm-ebr-saunderson の式に、$u^2+v^2=w^2$ を満たさない $u=v=w=1$ を入れると、$4v^2-w^2=3$、$4u^2-w^2=3$ で
$$ a=3,\qquad b=3,\qquad c=4 $$
となる。$a^2+c^2=b^2+c^2=25=5^2$ は平方数だが、$a^2+b^2=18$ は平方数でない。thm-ebr-saunderson の証明で、段 2・段 3 は $u^2+v^2=w^2$ を使っていないので $a^2+c^2$、$b^2+c^2$ はいつも平方数になる。段 4 だけが $u^2+v^2=w^2$ を使っていて、ここが崩れる。

反例：面の対角線でできる三角形は Heron 三角形とは限らない

直方体 $(44,117,240)$ の 1 つの頂点 $O$ から出る 3 辺の端を $P,Q,R$ とすると、三角形 $PQR$ の 3 辺は面の対角線 $125,244,267$ で、整数である。しかし面積は整数でも有理数でもない。$O$ で 3 つの辺が直角に交わる四面体 $OPQR$ では、de Guaの定理により
$$ (\triangle PQR)^2=\left(\frac{44\cdot117}2\right)^2+\left(\frac{117\cdot240}2\right)^2+\left(\frac{240\cdot44}2\right)^2=\frac{926501904}4 $$
である。$926501904=144\cdot6434041$ で、$2536^2=6431296<6434041<6436369=2537^2$ なので $6434041$ は平方数でない。面積は $6\sqrt{6434041}$ で無理数である。3 辺が整数でも Heron 三角形とは限らないことは Heron三角形で見たとおりで、Euler の直方体の対角線もその例になる。

Heron の公式で同じ値になることの確認を開く

3 辺 $125,244,267$ について $(125+244+267)(-125+244+267)(125-244+267)(125+244-267)=636\cdot386\cdot148\cdot102=3706007616$ で、これは $16\cdot\dfrac{926501904}4=3706007616$ と一致する。

図 3 は四面体 $OPQR$ である。
直方体の 1 つの頂点を切り落とすと、3 本の面の対角線 125、244、267 を辺とする三角形ができる（縮尺は正確でない）

大学数学で見る：完全直方体と新しい直方体の作り方

完全直方体

Euler の直方体で、空間の対角線 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ まで整数になるものを 完全直方体 という。MathWorld の頁 Wei26b には、奇数の辺を $10^{10}$ まで探しても完全直方体は見つかっていないと書かれている。存在しないことも証明されていない（この記事ではこれ以上の現状には立ち入らない）。表の 17 個でも、空間の対角線の 2 乗はどれも平方数でない。

辺を 2 つずつ掛けた直方体

$(a,b,c)$ が Euler の直方体ならば、$(ab,bc,ca)$ も Euler の直方体である。

$(ab)^2+(bc)^2=b^2(a^2+c^2)$ で、$a^2+c^2$ は平方数なので、右辺は平方数 $b^2$ と平方数の積で平方数である。同じく $(ab)^2+(ca)^2=a^2(b^2+c^2)$、$(bc)^2+(ca)^2=c^2(a^2+b^2)$ も平方数である。$\square$

$(44,117,240)$ から作る

$(44\cdot117,\ 117\cdot240,\ 240\cdot44)=(5148,28080,10560)$ で、3 数の最大公約数 $12$ で割ると原始的な Euler の直方体 $(429,2340,880)$ になる。面の対角線は $\sqrt{429^2+2340^2}=2379$、$\sqrt{429^2+880^2}=979$、$\sqrt{2340^2+880^2}=2500$ である。辺の 1 つが $1500$ を超えるので、表には入っていない。

prop-ebr-derived は Dic05b の p. 497 に Euler の方法の説明の中で記されている。MathWorld の頁 Wei26a には、thm-ebr-saunderson の公式はいつも Euler の直方体を与えるが、すべての Euler の直方体を与えるわけではないこと、Euler が 1770 年と 1772 年に少なくとも 2 通りの媒介変数の解を見つけたことが書かれている。3 つの 2 次式 $a^2+b^2$、$a^2+c^2$、$b^2+c^2$ を同時に平方数にする問題は、曲面の上の有理点を探す問題として大学の数論で扱われる。

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三角形で「3 辺と面積が有理数」を考えたのが Heron三角形である。直方体の 3 辺と面の対角線は、Heron 三角形の貼り合わせで使った「直角三角形 2 つが辺を共有する」形を 3 組に増やしたものになっている。
直角三角形の面積に注目すると合同数（高校数学）の問題になる。そこでは、余りの議論だけでは足りず、無限降下法を使う。
直方体の角を切り落とした四面体の面積の関係は de Guaの定理で扱う。
1 次の不定方程式や、余りで解がないことを示す方法は不定方程式の解法にまとめてある。