強連続半群

要点：各座標では $e^{t\lambda_k}\to1$、$(e^{h\lambda_k}-1)/h\to\lambda_k$ であり、和との交換を優収束定理で正当化する。

2 ⇒ 1：$A$ が有界なら $e^{tA}$ は生成作用素が $A$ の $C_0$ 半群である（Hille–吉田の定理 の例「有界作用素の指数関数」）。生成作用素が等しい $C_0$ 半群は等しいので $T(t)=e^{tA}$ であり、$\|e^{tA}-I\|\le\sum_{n\ge1}t^n\|A\|^n/n!=e^{t\|A\|}-1\to0$ である。
1 ⇒ 2：半群の法則と $\|T(t+h)-T(t)\|\le\|T(t)\|\,\|T(h)-I\|$ から、$t\mapsto T(t)$ は作用素ノルムについて右連続である。左側も $\|T(t)-T(t-h)\|\le\|T(t-h)\|\,\|T(h)-I\|\le Me^{\omega t}\|T(h)-I\|$ なので、作用素ノルムについて連続であり、$\mathcal{L}(X)$ に値をとる Riemann 積分 $V_\tau:=\int_0^\tau T(s)\,ds$ が定まる。
$$ \Bigl\|\frac1\tau V_\tau-I\Bigr\|\le\frac1\tau\int_0^\tau\|T(s)-I\|\,ds\le\sup_{0\le s\le\tau}\|T(s)-I\| $$
なので、$\tau>0$ を小さくとればこれは $1$ より小さく、Neumann 級数により $\frac1\tau V_\tau$、したがって $V_\tau$ は $\mathcal{L}(X)$ で可逆である。$h>0$ について、$T(h)T(s)=T(s+h)$ を積分して
$$ \bigl(T(h)-I\bigr)V_\tau=\int_h^{\tau+h}T(s)\,ds-\int_0^\tau T(s)\,ds=\int_\tau^{\tau+h}T(s)\,ds-\int_0^hT(s)\,ds $$
である。右から $V_\tau^{-1}$ を掛けて $h$ で割ると、作用素ノルムの連続性により
$$ \frac{T(h)-I}{h}=\Bigl(\frac1h\int_\tau^{\tau+h}T(s)\,ds-\frac1h\int_0^hT(s)\,ds\Bigr)V_\tau^{-1}\longrightarrow\bigl(T(\tau)-I\bigr)V_\tau^{-1}\qquad(h\to0+) $$
が作用素ノルムで成り立つ。よってすべての $x\in X$ で生成作用素の極限が存在し、$A=(T(\tau)-I)V_\tau^{-1}$ は有界である。最後の主張は 2 ⇒ 1 の議論による。$\square$

要点：$k=1$ は差分商の計算で、$k\ge2$ は $k-1$ の式に $R(\lambda,A)$ を掛けて積分の順序を入れ替える。評価は $\int_0^\infty s^{k-1}e^{-(\lambda-\omega)s}ds=(k-1)!/(\lambda-\omega)^k$ による。

$\lambda:=k/t$ とおく。$\lambda>\omega$ なので prop-scs-resolvent-power により
$$ \Bigl(I-\frac tkA\Bigr)^{-k}x=\lambda^kR(\lambda,A)^kx=\int_0^\infty p_k(s)\,T(s)x\,ds,\qquad p_k(s):=\frac{(k/t)^k\,s^{k-1}e^{-ks/t}}{(k-1)!} $$
である。$p_k$ は $[0,\infty)$ 上の確率密度で、Gamma 関数の積分 $\int_0^\infty s^me^{-as}ds=m!/a^{m+1}$ から
$$ \int_0^\infty s\,p_k(s)\,ds=t,\qquad\int_0^\infty(s-t)^2p_k(s)\,ds=\frac{t^2}{k},\qquad\int_0^\infty e^{2\omega s}p_k(s)\,ds=\Bigl(1-\frac{2\omega t}{k}\Bigr)^{-k}\ (k>2\omega t) $$
である。最後の値は $k\to\infty$ で $e^{2\omega t}$ に収束するので、$C:=e^{\omega t}+1$ とおくと、ある $k_0>2\omega t$ があって $k\ge k_0$ なら $C^2$ 以下とできる。$\int p_k=1$ なので
$$ \Bigl(I-\frac tkA\Bigr)^{-k}x-T(t)x=\int_0^\infty p_k(s)\bigl(T(s)x-T(t)x\bigr)\,ds $$
である。$\eta>0$ に対し、軌道の連続性から $|s-t|<\delta$ で $\|T(s)x-T(t)x\|<\eta$ となる $\delta>0$ をとる。$|s-t|<\delta$ の部分の積分のノルムは $\eta$ 以下である。残りの部分は $\|T(s)x-T(t)x\|\le M(e^{\omega s}+e^{\omega t})\|x\|$ と Cauchy–Schwarz の不等式、Chebyshev の不等式 $\int_{|s-t|\ge\delta}p_k\le\delta^{-2}\int(s-t)^2p_k=t^2/(k\delta^2)$ から
$$ \int_{|s-t|\ge\delta}p_k(s)\,M\bigl(e^{\omega s}+e^{\omega t}\bigr)\|x\|\,ds\le M\|x\|\bigl(C+e^{\omega t}\bigr)\frac{t}{\sqrt k\,\delta} $$
で押さえられ（$k\ge\max(k_0,t^2/\delta^2)$ のとき。このとき $t^2/(k\delta^2)\le t/(\sqrt k\,\delta)$ である）、$k\to\infty$ で $0$ に近づく。よって差のノルムの上極限は $\eta$ 以下であり、$\eta$ は任意である。$\square$

一意性と表示：$u$ を解とし、$0< t\le\tau$ を固定して $\varphi(s):=T(t-s)u(s)$（$0\le s\le t$）とおく。Hille–吉田の定理 の命題「発展方程式の古典解」の証明と同じ計算で、$\varphi$ は $[0,t]$ で連続、$(0,t)$ で微分可能で $\varphi'(s)=T(t-s)\bigl(u'(s)-Au(s)\bigr)=T(t-s)f(s)$ である。$\psi(s):=\varphi(s)-\int_0^sT(t-\sigma)f(\sigma)\,d\sigma$ は $(0,t)$ で導関数が $0$ なので、各 $\phi\in X^*$ について $\phi\circ\psi$ の実部と虚部に平均値の定理を使い、Hahn–Banach の定理で $\psi(t)=\psi(0)$ を得る。これは $u(t)=T(t)x+\int_0^tT(t-s)f(s)\,ds$ にほかならない。よって解は高々 1 つで、あれば Duhamel の公式で与えられる。
存在：$T(t)x$ は $u'=Au$、$u(0)=x$ の解なので、$v(t):=\int_0^tT(t-s)f(s)\,ds$ が $v\in C^1$、$v(t)\in D(A)$、$v'=Av+f$、$v(0)=0$ をみたすことを示せばよい。$f$ を $s>\tau$ で $f(\tau)+(s-\tau)f'(\tau)$、$s<0$ で $f(0)+sf'(0)$ と延ばすと $\mathbb{R}$ 上の $C^1$ 級関数になるので、初めから $f\in C^1(\mathbb{R};X)$ としてよい（$v$ の値は $[0,\infty)$ 上の $f$ だけで決まる）。
段 1（$v$ は $C^1$ 級）．変数を $r=t-s$ に替えると $v(t)=\int_0^tT(r)f(t-r)\,dr$ である。これを $t$ で微分して
$$ v'(t)=T(t)f(0)+\int_0^tT(r)f'(t-r)\,dr $$
を得る。右辺は $t$ について連続である。