三角形の射影定理

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ とおく。$c=AB=\sqrt{25+144}=13$、$b=CA=\sqrt{81+144}=15$、$a=BC=14$ である。$A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $H(5,0)$ で、$BH=5$、$CH=9$ である。
直角三角形 $ABH$ で $\cos B=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac5{13}$、直角三角形 $ACH$ で $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac9{15}=\dfrac35$ なので
$$ c\cos B=13\cdot\frac5{13}=5=BH,\qquad b\cos C=15\cdot\frac35=9=CH $$
である。したがって
$$ a=\underbrace{b\cos C}_{CH=9}+\underbrace{c\cos B}_{BH=5}=14 $$
が成り立つ（図 1）。

$B(0,0)$、$C(3,0)$、$A\left(-\dfrac52,\dfrac{5\sqrt3}2\right)$ とおく。$c=AB=\sqrt{\dfrac{25}4+\dfrac{75}4}=5$、$b=CA=\sqrt{\left(\dfrac{11}2\right)^2+\dfrac{75}4}=\sqrt{\dfrac{196}4}=7$、$a=3$ で、$B=120^\circ$ である。
垂線の足は $H\left(-\dfrac52,0\right)$ で、辺 $BC$ の外、$B$ の先にある（図 2）。$BH=\dfrac52$、$CH=\dfrac{11}2$ で、今度は $a=CH-BH=\dfrac{11}2-\dfrac52=3$ と引き算になる。一方、余弦で書くと $\cos B=\cos120^\circ=-\dfrac12$、直角三角形 $ACH$ で $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{11/2}7=\dfrac{11}{14}$ なので
$$ b\cos C+c\cos B=7\cdot\frac{11}{14}+5\cdot\left(-\frac12\right)=\frac{11}2-\frac52=3=a $$
である。$c\cos B=-\dfrac52$ が負になって、引き算を自動的に表している。

1. 3 辺が $a=6$、$b=c=5$ の二等辺三角形。$A$ から $BC$ に下ろした垂線は $BC$ の中点を通り、$BH=CH=3$ である。$\cos B=\cos C=\dfrac35$ で、$b\cos C+c\cos B=3+3=6=a$ である。残りの式も確かめる。高さは $AH=\sqrt{25-9}=4$ で、余弦定理（高校数学） により $\cos A=\dfrac{25+25-36}{50}=\dfrac7{25}$ なので、$c\cos A+a\cos C=5\cdot\dfrac7{25}+6\cdot\dfrac35=\dfrac75+\dfrac{18}5=5=b$ である。
2. $C=90^\circ$、$a=3$、$b=4$、$c=5$ の直角三角形。$\cos C=0$ なので 1 つ目の式は $a=c\cos B$、2 つ目の式は $b=c\cos A$ となり、どちらも直角三角形での余弦の定義 $\cos B=\dfrac35$、$\cos A=\dfrac45$ そのものである。3 つ目の式は $c=a\cos B+b\cos A=3\cdot\dfrac35+4\cdot\dfrac45=\dfrac95+\dfrac{16}5=5$ で、斜辺が $C$ から下ろした垂線の足で $\dfrac95$ と $\dfrac{16}5$ に分かれることを表している（三平方の定理（高校数学） の Euclid の証明に出てきた長さ $HB$、$AH$ である）。

ex-pf-357 の三角形（$a=3$、$b=7$、$c=5$）で、$\cos B=-\dfrac12$、$\cos C=\dfrac{11}{14}$ だった。$\cos A$ は (P) の 2 つ目の式 $b=c\cos A+a\cos C$ から
$$ 7=5\cos A+3\cdot\frac{11}{14},\qquad 5\cos A=7-\frac{33}{14}=\frac{65}{14},\qquad \cos A=\frac{13}{14} $$
と求まる。3 つ目の式も確かめると $a\cos B+b\cos A=-\dfrac32+\dfrac{13}2=5=c$ で合っている。(L) の 2 つ目は $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\dfrac12\right)=34+15=49$ で、$b=7$ と一致する。

すべての三角形で $a(b\cos C-c\cos B)=b^2-c^2$ が成り立つことを示す。
prf-pf-equiv の段 2 の式（余弦定理を解いたもの）から
$$ b\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a},\qquad c\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a} $$
である。引くと
$$ b\cos C-c\cos B=\frac{(a^2+b^2-c^2)-(c^2+a^2-b^2)}{2a}=\frac{2b^2-2c^2}{2a}=\frac{b^2-c^2}a $$
で、両辺に $a$ を掛けて示す式を得る。
図で見ると、鋭角三角形では $b\cos C=CH$、$c\cos B=BH$、$a=CH+BH$ なので、左辺は $(CH+BH)(CH-BH)=CH^2-BH^2$ である。三平方の定理から $CH^2=b^2-AH^2$、$BH^2=c^2-AH^2$ なので、差は $b^2-c^2$ になる。
数値では、ex-pf-131415 の三角形で $a(b\cos C-c\cos B)=14\cdot(9-5)=56$、$b^2-c^2=225-169=56$ である。

三角形 $ABC$ で $b\cos C=c\cos B$ となるのは、$b=c$ のとき、かつそのときに限ることを示す。
($\Rightarrow$) $b\cos C=c\cos B$ なら、ex-pf-identity の恒等式の左辺が $0$ なので $b^2-c^2=0$ で、$b,c>0$ より $b=c$ である。図で言えば、thm-pf-main により $b\cos C=c\cos B=\dfrac a2>0$ で、垂線の足 $H$ が辺 $BC$ の中点にある。$AH$ は $BC$ の垂直二等分線になり、$AB=AC$ となる。
($\Leftarrow$) $b=c$ なら二等辺三角形の底角は等しいので $B=C$ で、$b\cos C=c\cos B$ である。
ex-pf-small の (1)（$a=6$、$b=c=5$）では $b\cos C=c\cos B=3$ である。ex-pf-131415 では $b\cos C=9$、$c\cos B=5$ で等しくなく、確かに $b\ne c$ である。このように、辺と角の関係式から三角形の形を決める問題は、次の 三角形の形状決定 で扱う。

ex-pf-357 の三角形（$a=3$、$B=120^\circ$）で、「底辺は垂線の足で 2 つに分かれるから $a=BH+CH$」とすると、$BH+CH=\dfrac52+\dfrac{11}2=8\ne3$ となって崩れる。同じく、余弦の値の代わりに絶対値を使って $b\lvert\cos C\rvert+c\lvert\cos B\rvert=\dfrac{11}2+\dfrac52=8$ としても合わない。垂線の足が辺の外に出るときは引き算になり、その引き算を表すのが $\cos B<0$ である。prf-pf-perp の段 3 がこの場合である。

原点を中心とする半径 $1$ の球面の上で、$C(1,0,0)$、$A\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0\right)$、$B\left(\dfrac1{\sqrt2},0,\dfrac1{\sqrt2}\right)$ を頂点とする三角形を考える。辺は球面に沿った大円の弧で、長さは中心角で測る。$CA$、$CB$ の長さは $\dfrac\pi4$、$C$ の角は直角で、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\dfrac12$ から斜辺は $c=\dfrac\pi3$ である（この三角形は 三平方の定理（高校数学） の反例と同じもの）。$A$、$B$ の角は、頂点での大円の弧の向きのなす角として計算すると、どちらも $\cos A=\cos B=\dfrac1{\sqrt3}$（約 $54.74^\circ$）である。
平面の射影定理が成り立つなら、$C=90^\circ$ なので $a=c\cos B$ となるはずだが
$$ c\cos B=\frac\pi3\cdot\frac1{\sqrt3}\approx0.6046,\qquad a=\frac\pi4\approx0.7854 $$
で一致しない。3 つ目の式 $c=a\cos B+b\cos A$ も、右辺 $\approx0.9069$、左辺 $\approx1.0472$ で合わない。prf-pf-perp は直角三角形の余弦の定義（隣辺と斜辺の比）を使ったが、球面の直角三角形では「隣辺÷斜辺」が角の余弦にならない。