群の位数

1：直積群の台集合は直積集合 $G\times H$ であり（群 の記事の命題「直積群」）、濃度の積は直積集合の濃度として定義される。
2：写像 $\mu\colon H\times K\to HK$、$(h,k)\mapsto hk$ は全射である。$hk\in HK$ の逆像が $|H\cap K|$ 個の元からなることを示す。$d\in H\cap K$ に対し $(hd,d^{-1}k)\in H\times K$ であり、$\mu(hd,d^{-1}k)=hk$ である。逆に $h'k'=hk$（$h'\in H$、$k'\in K$）なら、$d:=h^{-1}h'=kk'^{-1}$ は $H$ の元でも $K$ の元でもあるので $d\in H\cap K$ であり、$h'=hd$、$k'=d^{-1}k$ である。$d\mapsto(hd,d^{-1}k)$ は $d$ が第 1 成分から $d=h^{-1}(hd)$ と復元できるので単射であり、したがって $H\cap K$ から逆像 $\mu^{-1}(hk)$ への全単射である。$H\times K$ は $|HK|$ 個の逆像に分割され、各逆像の元の個数が $|H\cap K|$ なので、$|H|\,|K|=|HK|\,|H\cap K|$ である。$\square$

$n:=|G|$ とし、集合
$$ S:=\{(g_1,\dots,g_p)\in G^p\mid g_1g_2\cdots g_p=e\} $$
を考える。$g_1,\dots,g_{p-1}$ を任意に選ぶと $g_p=(g_1\cdots g_{p-1})^{-1}$ がただ 1 つに決まるので、$|S|=n^{p-1}$ であり、$p\mid n$ から $|S|$ は $p$ で割り切れる。
$S$ 上の巡回置換 $\sigma(g_1,g_2,\dots,g_p):=(g_2,\dots,g_p,g_1)$ を考える。$g_1g_2\cdots g_p=e$ なら $g_2\cdots g_pg_1=g_1^{-1}(g_1g_2\cdots g_p)g_1=e$ なので、$\sigma$ は $S$ をそれ自身に写し、$\sigma^p=\mathrm{id}_S$ である。$s\in S$ について $\sigma^j(s)=s$ となる $0< j< p$ があれば、$p$ は素数なので $aj+bp=1$ となる整数 $a,b$ があり、$\sigma(s)=\sigma^{aj+bp}(s)=s$ である。したがって $\sigma$ の軌道 $\{s,\sigma(s),\dots,\sigma^{p-1}(s)\}$ は、$\sigma(s)=s$ なら $1$ 個、そうでなければ相異なる $p$ 個の元からなる。
$S$ はこれらの軌道に分割されるので、$\sigma(s)=s$ を満たす $s$ の個数を $c$ とすると $|S|\equiv c\pmod p$ であり、$p\mid c$ である。$\sigma(s)=s$ は $s=(g,g,\dots,g)$ かつ $g^p=e$ ということである。$(e,\dots,e)$ はこれを満たすので $c\ge1$、したがって $c\ge p\ge2$ であり、$g^p=e$ となる $g\neq e$ が存在する。この $g$ の位数は $p$ の約数で $1$ でないので、$p$ である。$\square$

$|G|=p^a$ なら、各元の位数は $|G|$ を割るので $p$ の冪である。逆に $|G|$ が $p$ 以外の素数 $q$ で割り切れれば、thm-order-of-a-group-cauchy により位数 $q$ の元があり、その位数は $p$ の冪でない。$|G|$ の素因数が $p$ だけなら $|G|$ は $p$ の冪である（$|G|=1=p^0$ の場合を含む）。$\square$

$[n]:=\{1,2,\dots,n\}$ とする。位数 $n$ の群 $G$ に対して全単射 $\beta\colon[n]\to G$ を 1 つとり、$[n]$ 上の演算を $i\ast j:=\beta^{-1}(\beta(i)\beta(j))$ で定めると、$([n],\ast)$ は群であり、$\beta$ はその群から $G$ への同型である（群の公理は $\beta$ を通して $G$ から移る）。したがって位数 $n$ の群はすべて、台集合 $[n]$ 上の群と同型である。台集合 $[n]$ 上の二項演算は写像 $[n]\times[n]\to[n]$ であり、その個数は $n^{n^2}$ である。よって同型類の個数は $n^{n^2}$ 以下である。$\square$

$G$ の各元は $S\cup S^{-1}$ の元の有限個の積（空な積は $e$）として書ける（部分群 の記事の命題「生成される部分群の元の記述」）。$S\cup S^{-1}$ の番号付け $\mathbb{N}\to S\cup S^{-1}$（$S=\emptyset$ なら $G=\{e\}$ で主張は明らか）を 1 つ固定すると、自然数の有限列 $(i_1,\dots,i_r)$ に積 $s_{i_1}\cdots s_{i_r}$ を対応させる写像は、自然数の有限列全体から $G$ への全射である。自然数の有限列全体は可算であり（可算集合 の記事の例「自然数の有限列の全体」）、可算集合の像は高々可算である（同記事の系「像と単射による可算性の伝播」）。$\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は非可算なので（ex-order-of-a-group-infinite）、有限生成でない。$\square$