Hilbertの公理系

同義語：Hilbert's axiomsヒルベルトの公理系Hilbertの幾何学の公理

概要

前提知識: 三角形の合同条件, 平行線公準（高校数学）

図に頼らずに平面幾何を組み立てる

Euclid『原論』は、5 つの公準と 5 つの共通概念から平面幾何を組み立てた（Hit18 §1.2、pp. 3–4）。しかし『原論』の証明は、図を見れば明らかな事実をところどころ黙って使っている。「三角形の 1 辺と交わり、どの頂点も通らない直線は、残りの 2 辺のどちらかとも交わる」「直線は平面を 2 つの側に分ける」といった点の並び方（順序）の事実は、5 つの公準のどれからも出てこない。
Hilbert は 1899 年の『幾何学の基礎』で、点・直線・「上にある」・「間にある」・「合同」を定義しない言葉（無定義語）とし、それらが満たすべき性質を公理として並べた（Hil02 §1、p. 2）。図は理解を助けるだけで、証明は公理からの推論だけで進む。この公理の体系を Hilbert の公理系 という。点や直線が「本当は何か」は問わない。公理を満たすものなら何でも点・直線とみなしてよく、座標平面の点でも、上半平面の点でも、数の組でもよい。
この記事では平面の幾何に限り、公理を 5 つの群に分けて述べ、次のことを証明する。

結合と順序の公理（とくに Pasch の公理）から、直線が平面をちょうど 2 つの側に分けることが従う。→ thm-ha-separation
合同の公理から、高校で認めて使った合同条件「2 辺とその間の角」「1 辺とその両端の角」と、二等辺三角形の底角が等しいことが従う。→ thm-ha-sas、thm-ha-asa
合同の公理の最後の 1 つ（2 辺とその間の角から残りの角が決まること）は、ほかの公理から証明できない。→ ex-ha-sas-fails
さらに、公理を 1 つずつ外した模型を表にまとめ、平行線の公理を外したものが非Euclid幾何学へ、すべての公理を満たすものが Euclid幾何学へつながることを見る。

結合と順序の公理

以下、点の全体を $\Pi$ とし、直線は $\Pi$ の部分集合とする。点 $A$ が直線 $\ell$ の元であることを「$A$ は $\ell$ の上にある」「$\ell$ は $A$ を通る」という。点の 3 つ組についての関係「$B$ は $A$ と $C$ の 間にある」が与えられているとし、これを $A*B*C$ と書く。

結合の公理と順序の公理

I 結合の公理
(I1) 相異なる 2 点 $A$、$B$ に対し、その両方を通る直線がちょうど 1 本ある。これを直線 $AB$ と書く。
(I2) どの直線の上にも少なくとも 2 点ある。
(I3) 1 本の直線の上にない 3 点がある。
II 順序の公理
(II1) $A*B*C$ ならば、$A$、$B$、$C$ は 1 本の直線の上にある相異なる 3 点で、$C*B*A$ でもある。
(II2) 相異なる 2 点 $A$、$B$ に対し、$A*B*C$ となる点 $C$ がある。
(II3) 1 本の直線の上にある相異なる 3 点のうち、ほかの 2 点の間にあるものはちょうど 1 つである。
(II4)（Pasch の公理）1 本の直線の上にない 3 点 $A$、$B$、$C$ と、そのどれも通らない直線 $\ell$ について、$\ell$ が線分 $AB$ の点を通るならば、$\ell$ は線分 $AC$ か線分 $BC$ の点を通る。

相異なる 2 点 $A$、$B$ の線分 $AB$ とは、$A$、$B$ と、$A$ と $B$ の間にある点の全体である。(II4) の $\ell$ は頂点を通らないので、「線分 $AB$ の点を通る」は「$A$ と $B$ の間にある点を通る」と同じである。(I1) により、相異なる 2 本の直線の共有点は高々 1 つである。
(II4) は M. Pasch の 1882 年の講義録による（Hil02 p. 4 の脚注）。

公理を満たす小さな例と満たさない例

3 点 $\{A,B,C\}$ と 3 本の直線 $\{A,B\}$、$\{B,C\}$、$\{C,A\}$ は (I1)〜(I3) を満たす。しかし「間にある」をどう決めても (II2) が成り立たない。1 本の直線に 2 点しかないので、$A*B*C$ となる 3 点が 1 本の直線の上にない。(II2) は、どの直線にも 3 点以上あることを要求している。
座標平面 $\mathbb R^2$ で、直線を普通の直線、$A*B*C$ を「$A\ne C$ で、$B=(1-t)A+tC$ となる $0< t< 1$ がある」と決めると、(I1)〜(II4) がすべて成り立つ（ex-ha-cartesian で確かめる）。

直線は平面を 2 つに分ける

直線 $\ell$ の上にない 2 点 $A$、$B$ について、$A=B$ であるか、線分 $AB$ が $\ell$ と共有点をもたないとき、$A\sim_\ell B$ と書く。

平面の分離

公理 (I1)〜(II4) を仮定する。直線 $\ell$ について、$\sim_\ell$ は $\ell$ の上にない点全体の上の同値関係で、同値類はちょうど 2 つある。$\ell$ の上にない 2 点 $A$、$B$ が異なる同値類に属することと、線分 $AB$ が $\ell$ と交わることは同値である。

同値類を $\ell$ の側という。$A\sim_\ell B$ のとき $A$、$B$ は $\ell$ の 同じ側 にあり、そうでないとき 反対側 にある。これは Hil02 の定理 5（p. 5）にあたる。

Pasch の公理を 3 回使う

反射律と対称律は定義から明らかである。最後の主張は $\sim_\ell$ の定義そのものである。
段 1（同じ直線の上にない 3 点の推移律）。$A\sim_\ell B$、$B\sim_\ell C$ で、$A$、$B$、$C$ が 1 本の直線の上にないとする。線分 $AC$ が $\ell$ と交わったとすると、$\ell$ は $A$、$B$、$C$ のどれも通らないので、(II4) により $\ell$ は線分 $AB$ か線分 $BC$ と交わり、仮定に反する。よって $A\sim_\ell C$ である。
段 2（補助の点）。$\ell$ の上にない点 $A$ と、$A$ を通る直線 $m\ne\ell$ をとる。$\ell$ の上にあって $m$ の上にない点 $D$ がある（(I2) により $\ell$ には 2 点以上あり、$\ell\cap m$ は高々 1 点）。(II2) により $D*A*E$ となる点 $E$ をとる。直線 $AD$ は $\ell$ と $D$ だけを共有し、(II3) により $D$ は $A$ と $E$ の間にないので、線分 $AE$ は $\ell$ と交わらない。$E$ は $\ell$ の上になく（$E\ne D$）、$m$ の上にもない（直線 $AD$ と $m$ の共有点は $A$ だけで、$E\ne A$）。こうして、$A\sim_\ell E$ で $E\notin m$ となる点 $E$ が得られた。
段 3（1 本の直線の上にある 3 点の推移律）。$A\sim_\ell B$、$B\sim_\ell C$ で、$A$、$B$、$C$ が相異なり 1 本の直線 $m$ の上にあるとする（2 点が一致する場合は明らか）。$m\ne\ell$ である。段 2 の点 $E$ をとると、$E$、$A$、$B$ は 1 本の直線の上にないので、段 1 を $E\sim_\ell A$、$A\sim_\ell B$ に使って $E\sim_\ell B$、さらに $E\sim_\ell B$、$B\sim_\ell C$ に使って $E\sim_\ell C$ を得る。最後に $A\sim_\ell E$、$E\sim_\ell C$ に段 1 を使えば $A\sim_\ell C$ である。
段 4（直線は三角形の 3 辺すべてとは交わらない）。1 本の直線の上にない $A$、$B$、$C$ と、どの頂点も通らない直線 $\ell$ が、3 辺 $AB$、$AC$、$BC$ とそれぞれ点 $P$、$Q$、$R$ で交わったとする。辺どうしの共有点は頂点だけなので、$P$、$Q$、$R$ は相異なり、どれも $\ell$ の上にある。(II3) により 1 つがほかの 2 つの間にある。頂点の名前を付け替えれば、$P*Q*R$ としてよい。3 点 $P$、$B$、$R$ は 1 本の直線の上にない（直線 $PB$ は直線 $AB$ で、直線 $BC$ との共有点は $B$ だけ）。直線 $AC$ は $P$、$B$、$R$ のどれも通らず、線分 $PR$ の点 $Q$ を通るので、(II4) により線分 $PB$ か線分 $BR$ と交わる。ところが線分 $PB$ は直線 $AB$ に含まれ、直線 $AC$ との共有点は $A$ だけで、$A*P*B$ と (II3) から $A$ は線分 $PB$ の上にない。同じく、線分 $BR$ は直線 $BC$ に含まれ、$B*R*C$ から $C$ は線分 $BR$ の上にない。これは矛盾である。
段 5（同値類は高々 2 つ）。$A\not\sim_\ell B$、$A\not\sim_\ell C$ のとき $B\sim_\ell C$ を示す。$A$、$B$、$C$ が 1 本の直線の上にないなら、$\ell$ は辺 $AB$、$AC$ と交わるので、段 4 により辺 $BC$ とは交わらない。$A$、$B$、$C$ が 1 本の直線 $m$ の上にあるなら、段 2 の点 $E$ をとる。$E\sim_\ell B$ なら推移律から $A\sim_\ell B$ となるので $E\not\sim_\ell B$、同じく $E\not\sim_\ell C$ で、$E$、$B$、$C$ は 1 本の直線の上にないから、前半により $B\sim_\ell C$ である。
段 6（同値類は少なくとも 2 つ）。(I3) により $\ell$ の上にない点 $A$ がある。$\ell$ の点 $P$ をとり、(II2) により $A*P*B$ となる点 $B$ をとる。直線 $AP$ と $\ell$ の共有点は $P$ だけで $B\ne P$ なので $B\notin\ell$ であり、線分 $AB$ は $\ell$ と $P$ で交わるから $A\not\sim_\ell B$ である。$\square$

直線の上の点も、1 点で 2 つに分かれる。点 $O$ と $O$ と異なる点 $A$ について、直線 $OA$ の点 $X$ のうち $O$ が $X$ と $A$ の間にないものの全体を 半直線 $OA$ という。

半直線と直線の側

点 $O$ を通る直線 $n$ の、$O$ 以外の点 $X$、$Y$ について、「$X=Y$ または $O$ が $X$ と $Y$ の間にない」は同値関係で、同値類はちょうど 2 つある。半直線 $OA$ は、$O$ と、$A$ を含む同値類とを合わせたものである。とくに、$B$ が半直線 $OA$ の $O$ 以外の点なら半直線 $OB$ と $OA$ は等しく、$O$ を通る $n$ 以外のどの直線 $m$ についても、$A$ と $B$ は $m$ の同じ側にある。

平面の分離を直線に制限する

要点：$O$ を通る別の直線 $m$ をとると、問題の関係は $\sim_m$ を $n$ に制限したものになる。

詳しい証明を開く

(I3) により $n$ の上にない点があるので、それと $O$ を通る直線 $m\ne n$ がある。$n$ と $m$ の共有点は $O$ だけなので、$n$ の $O$ 以外の 2 点 $X$、$Y$ について、線分 $XY$ が $m$ と交わることと $O$ が $X$ と $Y$ の間にあることは同値である。よって問題の関係は $\sim_m$ を $n\setminus\{O\}$ に制限したもので、thm-ha-separation により同値関係である。その同値類は $m$ の 2 つの側との共通部分なので高々 2 つで、(II2) で $A*O*A'$ となる $A'$ をとれば $A$ と $A'$ は別の類に入るから、ちょうど 2 つである。この議論は $O$ を通る $n$ 以外のどの直線 $m$ でも同じなので、最後の主張も従う。$\square$

1 本の直線の上にない 3 点 $A$、$O$、$B$ について、2 本の半直線 $OA$、$OB$ の組を角 $\angle AOB$ という。直線 $OA$ について $B$ と同じ側にあり、かつ直線 $OB$ について $A$ と同じ側にある点の全体を角の内部という。1 本の直線の上にない 3 点 $A$、$B$、$C$ と 3 本の線分 $AB$、$BC$、$CA$ を 三角形 $ABC$ という。

合同の公理

線分の間の関係「合同」と、角の間の関係「合同」が与えられているとし、どちらも $\cong$ と書く。線分 $AB$ は集合なので $AB$ と $BA$ は同じものである。

合同の公理

III 合同の公理
(III1) 線分 $AB$ と、点 $A'$ を始点とする半直線 $r$ に対し、$r$ の上に $AB\cong A'B'$ となる点 $B'\ne A'$ がちょうど 1 つある。どの線分も自分自身と合同である。
(III2) $AB\cong A'B'$ かつ $AB\cong A''B''$ ならば $A'B'\cong A''B''$ である。
(III3) $A*B*C$、$A'*B'*C'$、$AB\cong A'B'$、$BC\cong B'C'$ ならば $AC\cong A'C'$ である。
(III4) 角 $\angle BAC$ と、半直線 $A'B'$ と、直線 $A'B'$ の一方の側が与えられると、その側の点 $C'$ で $\angle B'A'C'\cong\angle BAC$ となるものがあり、そのような半直線 $A'C'$ はちょうど 1 本である。どの角も自分自身と合同である。
(III5) $\angle\alpha\cong\angle\beta$ かつ $\angle\alpha\cong\angle\gamma$ ならば $\angle\beta\cong\angle\gamma$ である。
(III6) 三角形 $ABC$、$A'B'C'$ で $AB\cong A'B'$、$AC\cong A'C'$、$\angle BAC\cong\angle B'A'C'$ ならば、$\angle ABC\cong\angle A'B'C'$ である。

(III1) と (III2) から、$AB\cong A'B'$ なら（$AB\cong AB$ と合わせて）$A'B'\cong AB$ であり、$AB\cong CD$、$CD\cong EF$ なら $CD\cong AB$ と $CD\cong EF$ から $AB\cong EF$ である。よって線分の合同は同値関係で、同じく (III4) と (III5) から角の合同も同値関係である（Hil02 §7、pp. 10–11）。(III6) を三角形 $ACB$、$A'C'B'$ に使えば、同じ仮定から $\angle ACB\cong\angle A'C'B'$ も得られる。
(III6) は、高校で合同条件「2 辺とその間の角」として認めたもの（三角形の合同条件の注意「この記事で認めて使う事実」）より弱い。結論に残りの辺 $BC\cong B'C'$ が入っていない。その分を (III1) の「ちょうど 1 つ」と (III4) の「ちょうど 1 本」で補えることが、次の定理である。

2 辺とその間の角

公理 I〜III を仮定する。

三角形 $ABC$、$A'B'C'$ で $AB\cong A'B'$、$AC\cong A'C'$、$\angle BAC\cong\angle B'A'C'$ ならば、$BC\cong B'C'$、$\angle ABC\cong\angle A'B'C'$、$\angle ACB\cong\angle A'C'B'$ である。
三角形 $ABC$ で $AB\cong AC$ ならば、$\angle ABC\cong\angle ACB$ である（二等辺三角形の底角は等しい）。

違う点をとって角の写し方の一意性に反することを示す

角については (III6) とその直後の注意のとおりである。残りの辺を示す。(III1) により、半直線 $B'C'$ の上に $BC\cong B'D'$ となる点 $D'\ne B'$ をとる。$D'=C'$ を示せばよい。
段 1（$D'$ での角）。cor-ha-ray により半直線 $B'D'$ と $B'C'$ は等しいので、角 $\angle A'B'D'$ と $\angle A'B'C'$ は同じものである。$D'$ は直線 $B'C'$ の上にあって $B'$ と異なり、$A'$ はこの直線の上にないので、$A'$、$B'$、$D'$ は三角形をなす。三角形 $BAC$ と $B'A'D'$ で、$BA\cong B'A'$、$BC\cong B'D'$、$\angle ABC\cong\angle A'B'C'=\angle A'B'D'$ なので、(III6)（頂点 $B$ を (III6) の $A$ の役に置く）により $\angle BAC\cong\angle B'A'D'$ である。
段 2（2 本の半直線は同じ）。仮定 $\angle BAC\cong\angle B'A'C'$ と段 1 から、角の合同が同値関係であることにより $\angle B'A'D'\cong\angle B'A'C'$ である。cor-ha-ray により $D'$ と $C'$ は直線 $A'B'$ の同じ側にある。(III4) の一意性（角 $\angle B'A'C'$ を半直線 $A'B'$ のこの側に写す半直線はちょうど 1 本）により、半直線 $A'D'$ と $A'C'$ は等しい。
段 3（$D'=C'$）。$D'$ は直線 $A'C'$ の上にあり、直線 $B'C'$ の上にもある。2 本の直線は相異なる（$A'$ は直線 $B'C'$ の上にない）ので、共有点は $C'$ だけである。よって $D'=C'$ で、$BC\cong B'C'$ である。
三角形 $ABC$ と、頂点の対応を $A\mapsto A$、$B\mapsto C$、$C\mapsto B$ とした同じ三角形 $ACB$ に (III6) を使う。$AB\cong AC$、$AC\cong AB$（合同は対称）、$\angle BAC\cong\angle CAB$（同じ角）なので、$\angle ABC\cong\angle ACB$ である。$\square$

2 の証明は、三角形を「裏返した自分自身」と比べるもので、三角形の合同条件の補題「二等辺三角形の底角は等しい」と同じ着想である。

1 辺とその両端の角

公理 I〜III を仮定する。三角形 $ABC$、$A'B'C'$ で $BC\cong B'C'$、$\angle ABC\cong\angle A'B'C'$、$\angle ACB\cong\angle A'C'B'$ ならば、$AB\cong A'B'$、$AC\cong A'C'$、$\angle BAC\cong\angle B'A'C'$ である。

長さを写した点が元の頂点に一致する

(III1) により、半直線 $B'A'$ の上に $BA\cong B'A''$ となる点 $A''\ne B'$ をとる。cor-ha-ray により、角 $\angle A''B'C'$ は $\angle A'B'C'$ と同じで、$A''$ は直線 $B'C'$ について $A'$ と同じ側にある。
三角形 $BAC$ と $B'A''C'$ で $BA\cong B'A''$、$BC\cong B'C'$、$\angle ABC\cong\angle A''B'C'$ なので、thm-ha-sas の 1 により $\angle BCA\cong\angle B'C'A''$ である。仮定 $\angle BCA\cong\angle B'C'A'$ と合わせて $\angle B'C'A''\cong\angle B'C'A'$ で、$A''$ と $A'$ は直線 $B'C'$ の同じ側にあるから、(III4) の一意性により半直線 $C'A''$ と $C'A'$ は等しい。$A''$ は直線 $B'A'$ と直線 $C'A'$ の両方の上にあり、この 2 本は相異なるので共有点は $A'$ だけである。よって $A''=A'$ で $BA\cong B'A'$ である。あとは thm-ha-sas の 1 を三角形 $BAC$、$B'A'C'$ に使えばよい。$\square$

3 辺が等しい三角形が合同であること（Hil02 定理 16、p. 14）と、すべての直角が合同であること（同定理 15、pp. 13–14）も、公理 I〜III から証明できる。後者は『原論』では第 4 公準として認められていたもので、Hilbert はこれを定理として証明した。どちらもこの記事では証明しない。

平行線の公理と連続の公理

IV 平行線の公理
(IV) 直線 $\ell$ と $\ell$ の上にない点 $P$ に対し、$P$ を通り $\ell$ と共有点をもたない直線は高々 1 本である。
V 連続の公理
(V1)（Archimedes の公理）線分 $AB$ と半直線 $CD$ について、半直線 $CD$ の上に点 $C=D_0,D_1,D_2,\dots$ を、$D_{k-1}D_k\cong AB$ かつ $D_{k-1}*D_k*D_{k+1}$ となるようにとると、ある $n$ について $D_n=D$ であるか $C*D*D_n$ である。
(V2)（完備性の公理）公理 I〜IV と (V1) を満たしたまま、点と直線をさらに付け加えて、もとの「上にある」「間にある」「合同」の関係を延ばした体系を作ることはできない。

共有点をもたない 2 直線を平行という。$P$ を通り $\ell$ に平行な直線が少なくとも 1 本あることは、公理 I〜III から証明できる（Hil02 §10、p. 19。錯角を等しくとる作図で、平行線公準（高校数学）の定理「錯角が等しい 2 直線は交わらない」と同じ内容）。そのため (IV) は「高々 1 本」とだけ述べれば十分で、(IV) は平行線公準の Playfair の形にあたる。公理 I〜III と (V1) は満たすが (IV) を満たさない平面の代表が双曲平面である。長さと角を実数で測る平面（平行線公準の中立平面）では、同記事の主定理により、平行線がどこでも 1 本か、どこでも無数かのどちらかしかない。(V1) を外すと事情が変わり、平行線が無数にあるのに三角形の内角の和が 2 直角に等しい平面（半 Euclid 幾何）や、2 直角より大きい平面（非 Legendre 幾何）が作れる。これは Hilbert の勧めで M. Dehn が得た結果である（Hil02 pp. 80–82）。
(V1) は「どんなに短い線分でも、くり返し並べればどんなに長い線分も越える」という主張で、長さを実数で測れることの基礎になる。Saccheri–Legendreの定理の証明はこの性質を使う（同注意「Archimedes の性質を使ったところ」）。(V2) は Hilbert が仏訳版で付け加えたもので、直線の点と実数を 1 対 1 に対応させることを可能にする（Hil02 p. 16）。
公理の番号は本によって違う。Hil02 は空間の公理も含み、III が平行線、IV が合同（IV,1–6）である（§1、p. 2）。この記事の (II1)〜(II4) は II,1・II,2 の後半・II,3・II,5 にあたり、(III1)〜(III6) は IV,1–6、(IV) は III にあたる。Lee18 pp. 142–143 も、ほぼ同じ形で平面の公理をまとめている。

模型と公理の独立性

無定義語に具体的な意味を与え、すべての公理が成り立つようにしたものを公理系の模型という（Lee18 p. 143）。模型が 1 つあれば、公理から矛盾は出ない（矛盾が出るなら、模型の中でも矛盾が起きる）。ある公理だけが成り立たない模型があれば、その公理はほかの公理から証明できない（証明できるなら、模型の中でも成り立つはずである）。これが公理の 独立性 の示し方である。

座標平面

$\mathbb R^2$ で、直線と「間にある」を ex-ha-small の 2 のとおりに決め、線分の合同を「普通の長さが等しい」、角の合同を「普通の角の大きさが等しい」と決める。この解釈で公理 I〜IV と (V1) が成り立つ。Euclid幾何学の定理「座標平面は Euclid 平面である」で中立平面の公理 (A1)〜(A5) と平行線公準を確かめたので、次のように従う。

言い換えを開く

(I1)〜(I3) は (A1)、(II1)・(II3) は (A2) の前半である。(II2) は $C=2B-A$ をとればよい。(II4) は (A2) の後半から従う。$\ell$ が線分 $AB$ と交われば $A$、$B$ は $\ell$ の反対側にあり、$C$ はそのどちらか一方と反対側にあるので、$\ell$ は線分 $AC$ か $BC$ と交わる。(III1)〜(III3) は (A3)、(III4)・(III5) は (A4)（角の合同は大きさが等しいこと）、(III6) は (A5)、(IV) は平行線公準である。(V1) は、$C*D_1*D_2*\cdots$ と (A3) から $D_n$ が半直線 $CD$ の上で $C$ からの長さ $n\cdot AB$ の点になることと、実数の Archimedes の性質から従う。

Hil02 §9、pp. 17–18 は、実数の代わりに次の例の体 $\Omega$ を使って同じ確かめを述べ、実数でも同じであるとしている。

反例：2 辺とその間の角から残りの辺が決まらない平面

$\mathbb R^2$ で、点・直線・「間にある」・角の合同は ex-ha-cartesian のとおりとし、線分の合同だけを次の「長さ」で決める（Hil02 §11、pp. 20–21 の例の平面版）。
$$ N(x,y)=\sqrt{(x+y)^2+y^2},\qquad PQ\cong P'Q'\iff N(Q-P)=N(Q'-P'). $$
$N(x,y)$ は、可逆な線形写像 $L(x,y)=(x+y,\,y)$ で移した点の普通の長さ $|L(x,y)|$ である。
段 1（成り立つ公理）。公理 I・II・(III4)・(III5)・(IV) は線分の合同を含まないので、ex-ha-cartesian と同じく成り立つ。直線 $\{P+tv\mid t\in\mathbb R\}$（$v\ne0$）の上では
$$ N\bigl((P+sv)-(P+tv)\bigr)=|s-t|\,N(v),\qquad N(v)=|Lv|>0 $$
なので、この「長さ」は直線ごとに媒介変数の差の正の定数倍である。よって、半直線の上に与えた「長さ」の点がちょうど 1 つあり（(III1)）、合同は「長さ」の相等なので (III2) が成り立ち、$A*B*C$ なら「長さ」は足し算になるので (III3) が成り立つ。

(V1) の確かめを開く

半直線の上に等しい「長さ」の点を並べると媒介変数が等差数列になるので、実数の Archimedes の性質により (V1) が成り立つ。

段 2（合同条件が崩れる）。$O=(0,0)$、$A=(1,0)$、$B=(0,1)$、$C=\left(\frac12,\frac12\right)$ とする。三角形 $OCA$ と $OCB$ で、辺 $CO$ は共通、$N(A-C)=N\left(\frac12,-\frac12\right)=\frac12=N\left(-\frac12,\frac12\right)=N(B-C)$ で $CA\cong CB$、角 $\angle OCA$ と $\angle OCB$ はどちらも普通の意味で直角なので合同である。ところが残りの辺は $N(A-O)=N(1,0)=1$、$N(B-O)=N(0,1)=\sqrt2$ で合同でない。
段 3（結論）。thm-ha-sas は公理 I〜III から証明したので、段 1 で (III6) 以外の公理がすべて成り立つこの平面で thm-ha-sas が崩れることは、(III6) が成り立たないことを意味する。よって (III6) はほかの公理から証明できない。$\square$

平行線公準の例「反例：距離 $|x|+|y|$ の平面」も、同じ役割を果たす平面である。

可算な模型と Archimedes 的でない模型

1 から出発して、四則演算と $\omega\mapsto\sqrt{1+\omega^2}$ を有限回施して得られる実数の全体を $\Omega$ とする。$\Omega$ は実数体の部分体で、可算集合である。$\Omega^2$ に ex-ha-cartesian と同じ式で直線・「間にある」・合同を入れると、公理 I〜IV と (V1) が成り立つ（Hil02 §9、pp. 17–18。直線を回転させる式に現れる $\sqrt{a^2+b^2}=a\sqrt{1+(b/a)^2}$ が $\Omega$ に入ることが要点である）。$\Omega^2$ は $\mathbb R^2$ に含まれ、関係を定める式は同じなので、$\Omega^2$ に点と直線を付け加えて公理 I〜IV と (V1) を満たす $\mathbb R^2$ まで延ばせる。よって $\Omega^2$ では (V2) が成り立たない。
$t$ の有理式から四則演算と $\omega\mapsto\sqrt{1+\omega^2}$ で得られる関数の全体 $\Omega(t)$ を、「$t$ が十分大きいところで $a-b>0$」のとき $a>b$ と順序づける。どの自然数 $n$ についても $t-n>0$ なので $n< t$ である。$\Omega(t)$ の 2 つ組を点とし (1) と同じ約束をすると、(V1) 以外の公理 I〜IV が成り立ち、長さ $1$ の線分を何回並べても長さ $t$ の線分を越えない（Hil02 §12、pp. 21–22）。(1)・(2) で公理が成り立つことは、この記事では証明しない。

例と反例

公理を 1 つだけ外した模型を表にまとめる。どの行も、外した公理以外の公理 I〜IV と (V1) は成り立っている（(V2) の行は (V1) まで）。(III6) の行はこの記事で確かめた。ほかの行の模型で公理が成り立つことは、この記事では証明しない（所在は各例と Hil02 §10、p. 19）。

外す公理	模型	成り立たなくなること
(IV) 平行線の公理	双曲平面（双曲幾何学、非Euclid幾何学の Beltrami–Klein モデル。Hil02 §10、p. 19 は球の内部を使う）	平行線の一意性、三角形の内角の和が 2 直角であること
(III6)	ex-ha-sas-fails の平面	合同条件「2 辺とその間の角」（thm-ha-sas）
(V1) Archimedes の公理	ex-ha-omega の 2 の平面 $\Omega(t)^2$	長さを実数で測ること
(V2) 完備性の公理	ex-ha-omega の 1 の平面 $\Omega^2$	直線の点と実数の 1 対 1 対応（$\Omega$ は可算）

Hil02 は、平行線の公理の独立性を示すために、球の内部に限った空間で、その球を自分自身に移す線形の変換によって合同を定めた（§10、p. 19）。これは平面では、円板の弦を直線とする Beltrami–Klein モデルにあたる（非Euclid幾何学の定理「Beltrami–Klein モデル」）。

公理から何が組み立てられるか

使う公理の範囲ごとに、証明できる主な事実を並べる。

使う公理	証明できること	所在
I・II	直線が平面を 2 つに分ける、単純多角形の内部と外部	thm-ha-separation、Hil02 定理 6（p. 6）
I〜III	合同条件、すべての直角は合同、平行線の存在	thm-ha-sas、thm-ha-asa、Hil02 定理 15・16（pp. 13–14）、§10（p. 19）
I〜III と (V1)	三角形の内角の和は 2 直角以下	Saccheri–Legendreの定理
I〜IV	錯角の定理、内角の和は 2 直角、3 点を通る円	Hil02 定理 19・20（p. 15）、Euclid幾何学
I〜IV（V なし）	線分の代数、Pascal（Pappus）の定理、比例と相似、座標	Hil02 §14–17（pp. 24–36）、Pappusの六角形定理

最後の行は、連続の公理を使わずに Euclid 幾何の全体を展開できるという Hilbert の主張にあたる。線分の掛け算を定義し、それが可換であることを Pascal の定理（今日の Pappus の六角形定理）から導いて、平面に座標を入れる（Pappusの六角形定理の注意「座標の掛け算の可換性」）。完備性の公理まで加えると、座標は実数全体を動き、平面の点と実数の組が 1 対 1 に対応する（Hil02 p. 16、§17、pp. 34–36）。