コンマ圏
概要
コンマ圏（comma category）とは、二つの関手 $F\colon A\to C$、$G\colon B\to C$ の値を結ぶ射 $F(a)\to G(b)$ を対象とし、それらを保つ可換四角形を射とする圏 $(F\downarrow G)$ である。スライス圏や射の圏を特殊例として含み、普遍射をコンマ圏の始対象として表す。随伴 $F\dashv G$ は二つのコンマ圏 $(F\downarrow\mathrm{id})$ と $(\mathrm{id}\downarrow G)$ の射影と両立する同型と同じものである。
定義
二つの 関手 の値を結ぶ射を集めると、関手同士の間にある構造を一つの圏として扱える。コンマ圏は、スライス圏、射の圏、自由対象の普遍性を同じ形式に整理する構成である。
関手 $F\colon A\to C$, $G\colon B\to C$ に対する コンマ圏 (comma category) $(F\downarrow G)$ を次で定める。
- 対象は $(a,b,\alpha)$。ここで $a\in A$, $b\in B$, $\alpha\colon F(a)\to G(b)$。
- $(a,b,\alpha)$ から $(a',b',\alpha')$ への射は、$u\colon a\to a'$, $v\colon b\to b'$ の組で
$$ G(v)\circ\alpha=\alpha'\circ F(u) $$
を満たすもの。 - 恒等射は $(\operatorname{id}_a,\operatorname{id}_b)$、合成は成分ごとの合成。
記号の左側から右側へ、$F(a)\to G(b)$ が向く。$A,B,C$ が小さい場合はコンマ圏も小さい。大きな圏の場合は対象と射の大きさを同じ集合論的枠内で管理する。この定義は Mac98 Chapter II §6（pp. 45–47）、Rie16 Exercise 1.3.vi（p. 23）による。
図式で書けば、対象は $C$ の中の一本の射 $\alpha\colon F(a)\to G(b)$ であり、射 $(u,v)$ は次の四角形が可換になることを要求する。
$$
\begin{CD}
F(a) @>{\alpha}>> G(b)\\
@V{F(u)}VV @VV{G(v)}V\\
F(a') @>{\alpha'}>> G(b')
\end{CD}
$$
四角形が可換とは $G(v)\circ\alpha=\alpha'\circ F(u)$ ということである。
上の対象、射、恒等射、合成は圏をなす。すなわち、可換条件を満たす射の組の合成は再び可換条件を満たし、$(\operatorname{id}_a,\operatorname{id}_b)$ は単位律を満たし、合成は結合律を満たす。
$(u,v)$, $(u',v')$ が続けて合成できるなら
$$
G(v'v)\alpha=G(v')\alpha'F(u)
=\alpha''F(u')F(u)=\alpha''F(u'u).
$$
よって合成も可換条件を満たす。単位律・結合律は $A,B$ のものから従う。この計算では $F,G$ が合成を保つことを使っている。$\blacksquare$
対象 $(a,b,\alpha)$ を $a$ へ送る関手 $P\colon(F\downarrow G)\to A$ と、$b$ へ送る関手 $Q\colon(F\downarrow G)\to B$ を射影という。射 $(u,v)$ はそれぞれ $u$、$v$ へ送る。
関手 $(P,Q)\colon(F\downarrow G)\to A\times B$、$(a,b,\alpha)\mapsto(a,b)$、$(u,v)\mapsto(u,v)$ は忠実である。一方、対象の上では単射とは限らず、充満とも限らない。
コンマ圏の射は、可換条件を満たす組 $(u,v)$ そのものである。$(a,b,\alpha)$ から $(a',b',\alpha')$ への二つの射の像 $(u,v)$ が等しければ、射として等しい。したがって $(P,Q)$ は忠実である。同じ $(a,b)$ の上に $\operatorname{Hom}_C(F(a),G(b))$ の元の数だけ対象があるので、対象の上では単射とは限らない。また $A\times B$ の射 $(u,v)$ が可換条件を満たさなければ、コンマ圏の射の像にならないので、充満とも限らない。$\blacksquare$
この忠実性により、コンマ圏の射の等式は成分ごとの等式として確かめてよい。コンマ圏の対象が「射という余分なデータ」を持ち、射は「そのデータとの両立という条件」を満たすもの、という構造がここに表れている。
同じ定義に収まる例
$F$、$G$ がともに一点圏 $1$ からの関手で、それぞれ対象 $b$、$a$ を選ぶとき、$(b\downarrow a)$ の対象は射 $b\to a$ であり、射は恒等射しかない（$1$ の射は恒等射だけなので、可換条件から $\alpha'=\alpha$ となる）。したがって $(b\downarrow a)$ は Hom 集合 $\operatorname{Hom}_C(b,a)$ を離散圏とみたものである（Mac98 Chapter II §6、p. 47）。名前の「コンマ」は、Hom 集合の記法 $(b,a)$ のコンマに由来する。
$P\colon A\to\operatorname{Set}$ を共変関手とする。$(1\downarrow P)$ の対象は $(a,x)$, $x\in P(a)$ であり、射 $(a,x)\to(a',x')$ は $P(u)(x)=x'$ を満たす $u\colon a\to a'$ である。ここで左の $1$ は一点集合を値とする関手を表す。単に集合 $P(a)$ を並べるのでなく、元が関手の作用でどう運ばれるかを記録する。
普遍射と始対象
自由群の例を一般化すると、普遍射の定義そのものがコンマ圏の言葉で言い換えられる。
関手 $G\colon D\to C$ と対象 $c\in C$ を取る。$c$ から $G$ への 普遍射 とは、対象 $d\in D$ と射 $u\colon c\to G(d)$ の対 $(d,u)$ で、任意の $d'\in D$ と射 $h\colon c\to G(d')$ に対し、$G(k)\circ u=h$ を満たす $k\colon d\to d'$ がただ一つ存在するものをいう。$c$ を一対象一射の圏 $1$ からの関手とみなすとき、$(d,u)$ が $c$ から $G$ への普遍射であることと、$(d,u)$ がコンマ圏 $(c\downarrow G)$ の始対象であることは同値である。
$(c\downarrow G)$ の対象は、$1$ の唯一の対象と $d'\in D$ と射 $h\colon c\to G(d')$ の三つ組であり、$1$ の成分は省いて $(d',h)$ と書ける。$(d,u)$ から $(d',h)$ への射は、$1$ の唯一の射（恒等射）と $k\colon d\to d'$ の組で、可換条件 $G(k)\circ u=h\circ\operatorname{id}$、すなわち $G(k)\circ u=h$ を満たすものである。従って $(d,u)$ から $(d',h)$ への射は、$G(k)\circ u=h$ を満たす $k\colon d\to d'$ と一対一に対応する。
$(d,u)$ が始対象であるとは、任意の対象 $(d',h)$ への射がただ一つ存在することである。上の対応により、これは任意の $d'$ と $h\colon c\to G(d')$ に対して $G(k)\circ u=h$ を満たす $k$ がただ一つ存在することと同じであり、普遍射の定義そのものである。
この言い換えは Mac98 Chapter III §1（pp. 55–56）による。始対象は同型を除いて一意なので、普遍射も同型を除いて一意である。
普遍射は 随伴関手 $F\dashv G$ の単位 $\eta_c\colon c\to GF(c)$ の各成分として現れる。実際、随伴の全単射 $\Phi$ は $\Phi(k)=G(k)\circ\eta_c$ と書ける（随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」）ので、$h\colon c\to G(d')$ に対して $G(k)\circ\eta_c=h$ を満たす $k$ は $k=\Phi^{-1}(h)$ ただ一つである。すなわち $(F(c),\eta_c)$ は $(c\downarrow G)$ の始対象である。逆に、すべての $c$ に普遍射があれば左随伴 $F$ が構成できる（Mac98 Chapter IV §1, Theorem 2、p. 83）。したがって「$G$ が左随伴をもつ」ことは「すべてのコンマ圏 $(c\downarrow G)$ が始対象をもつ」ことと同じであり、始対象をもたないコンマ圏が一つでもあれば左随伴は存在しない。
体と体の準同型（単位元を保つ環準同型）の圏 $\mathbf{Field}$ と忘却関手 $U\colon\mathbf{Field}\to\mathbf{Set}$ を考える。空集合 $\emptyset$ に対するコンマ圏 $(\emptyset\downarrow U)$ の対象は、体 $K$ と空写像 $\emptyset\to U(K)$ の組であり、射は体の準同型そのものである（空写像についての可換条件は自動的に成り立つ）。したがって $(\emptyset\downarrow U)$ は $\mathbf{Field}$ と同型であり、その始対象は $\mathbf{Field}$ の始対象である。
しかし $\mathbf{Field}$ には始対象がない。体の準同型 $\varphi\colon K\to L$ は $\varphi(n\cdot1)=n\cdot1$ を満たし、体の準同型は単射なので、$n\cdot1=0$ が $K$ で成り立つことと $L$ で成り立つことは同値であり、$K$ と $L$ の標数は等しい。始対象 $K$ があれば $K\to\mathbb{F}_2$ と $K\to\mathbb{Q}$ がともに存在し、$K$ の標数は $2$ と $0$ の両方になって矛盾する。よって $\emptyset$ から $U$ への普遍射はなく、$U$ は左随伴をもたない。「集合から自由に生成された体」は存在しない。
随伴とコンマ圏
コンマ圏を使うと、随伴を集合の全単射を使わずに、圏の同型として述べられる。これはコンマ圏が一般的な形で導入された動機でもある（Mac98 Chapter II の Notes、pp. 52–53）。
関手 $F\colon X\to A$、$G\colon A\to X$ に対し、次の二つのデータは一対一に対応する。
- 随伴 $F\dashv G$、すなわち両変数で自然な全単射 $\Phi_{x,a}\colon\operatorname{Hom}_A(Fx,a)\cong\operatorname{Hom}_X(x,Ga)$。
- 圏の同型 $\theta\colon(F\downarrow\operatorname{id}_A)\to(\operatorname{id}_X\downarrow G)$ で、両側の射影 $(P,Q)$ と両立するもの（$(P,Q)\circ\theta=(P,Q)$）。
対応は $\theta(x,a,f)=(x,a,\Phi_{x,a}(f))$、$\theta(u,v)=(u,v)$ で与えられる（Mac98 Chapter IV §1, Exercise 2、p. 86）。
左の圏 $(F\downarrow\operatorname{id}_A)$ の対象は $f\colon Fx\to a$ をもつ $(x,a,f)$、射 $(u,v)\colon(x,a,f)\to(x',a',f')$ は $v\circ f=f'\circ F(u)$ を満たす組である。右の圏 $(\operatorname{id}_X\downarrow G)$ の対象は $g\colon x\to Ga$ をもつ $(x,a,g)$、射は $G(v)\circ g=g'\circ u$ を満たす組である。
(1)から(2)。$\theta$ を上の式で定める。$(u,v)$ が左の圏の射なら、$\Phi$ の自然性から
$$
G(v)\circ\Phi(f)=\Phi(v\circ f)=\Phi(f'\circ F(u))=\Phi(f')\circ u
$$
となるので、$(u,v)$ は右の圏の射 $\theta(x,a,f)\to\theta(x',a',f')$ でもある。$\Phi^{-1}$ についても同じ計算ができるので、逆向きの対応 $(x,a,g)\mapsto(x,a,\Phi^{-1}(g))$、$(u,v)\mapsto(u,v)$ も関手であり、二つは互いに逆である。射影との両立は定義から明らかである。
(2)から(1)。$\theta$ は射影と両立するので、$(x,a)$ の上の対象を $(x,a)$ の上の対象へ送る。$(x,a)$ の上の左の対象は $\operatorname{Hom}_A(Fx,a)$ の元と、右の対象は $\operatorname{Hom}_X(x,Ga)$ の元と一対一に対応するので、$\theta$ は全単射 $\Phi_{x,a}\colon\operatorname{Hom}_A(Fx,a)\to\operatorname{Hom}_X(x,Ga)$ を定める（$\theta$ の逆も射影と両立するので全単射になる）。自然性を示す。$x$ の変数については、$u\colon x'\to x$ と $f\colon Fx\to a$ に対し $(u,\operatorname{id}_a)\colon(x',a,f\circ F(u))\to(x,a,f)$ は左の圏の射である。$\theta$ は射を $(u,\operatorname{id}_a)$ のまま送るので、これは右の圏の射 $(x',a,\Phi(f\circ F(u)))\to(x,a,\Phi(f))$ であり、その条件は $\Phi(f\circ F(u))=\Phi(f)\circ u$ である。$a$ の変数については、$v\colon a\to a'$ に対し $(\operatorname{id}_x,v)\colon(x,a,f)\to(x,a',v\circ f)$ が左の圏の射であり、その像の条件は $G(v)\circ\Phi(f)=\Phi(v\circ f)$ である。二つを合わせると両変数の自然性が得られる。
二つの構成が互いに逆であることは、どちらも対象の第3成分を $\Phi$ で読み替えるだけであることから従う。$\blacksquare$
この命題から、随伴は「射 $Fx\to a$ と射 $x\to Ga$ を、始点と終点を保ったまま同一視する方法」だと言える。Hom 集合を使わないので、Hom が集合でない状況や、Hom が構造を持つ状況（コンマ圏(豊穣圏)、コンマ圏(∞圏)）へ移すときの出発点になる。
コンマ圏の普遍性と向き
圏 $T$ から $(F\downarrow G)$ への関手を指定することは、二つの関手 $a\colon T\to A$, $b\colon T\to B$ と自然変換 $\alpha\colon F a\Rightarrow G b$ を指定することに等しい。
関手 $H$ を二つの射影と合成すれば $a,b$ を得る。$H(t)$ の第3成分を $\alpha_t$ とすると、$H(w)$ がコンマ圏の射である条件が、各 $w\colon t\to t'$ に対する自然性の式である。逆にこの三つのデータから $H(t)=(a(t),b(t),\alpha_t)$, $H(w)=(a(w),b(w))$ と定める。自然性によって射の条件が成り立ち、関手性は成分ごとに従う。二構成は厳密に逆である。$\blacksquare$
この対応は $T=[n]$ に限らない。「各対象で射がある」だけでは自然変換にならず、$T$ 内のすべての射に沿う整合条件が必要なことを明示している。
向きを全部反転すると
$$
(F\downarrow G)^{\mathrm{op}}
\cong(G^{\mathrm{op}}\downarrow F^{\mathrm{op}})
$$
となる。右辺では $B^{\mathrm{op}}$ と $A^{\mathrm{op}}$ の役割が入れ替わる。対象の射 $F(a)\to G(b)$ を $C^{\mathrm{op}}$ で読めば $G(b)\to F(a)$ になり、可換式も反転するためである。
$C=[1]$ とし、$F\colon1\to C$ が $0$、$G\colon1\to C$ が $1$ を選ぶとする。厳密な 引き戻し $1\times_C1$ は対象の等式 $0=1$ を要求するため空だが、$(F\downarrow G)$ には射 $0\to1$ に対応する対象が一つある。また $(G\downarrow F)$ は空である。したがってコンマ圏は対称な構成でもない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 射の可換条件 | $(1\downarrow U)$（$U\colon\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$）で、$1\to U(\mathbb{Z})$ が $1$ を選ぶ対象から自分自身への射に群準同型 $n\mapsto kn$ をすべて許す | 普遍射（始対象）からの射の一意性 |
| 対象の等式から射への緩和 | $[1]$ の $0$ と $1$ を選ぶ関手の引き戻し（空）とコンマ圏（一点） | コンマ圏と厳密な引き戻しの一致 |
| 向きの対称性 | $(F\downarrow G)$ は一点、$(G\downarrow F)$ は空 | $(F\downarrow G)\cong(G\downarrow F)$ |
| 左随伴の存在 | $\mathbf{Field}\to\mathbf{Set}$ の $(\emptyset\downarrow U)$ | コンマ圏 $(c\downarrow G)$ の始対象の存在 |
| 射に沿う自然性 | $T=[1]=\{0\xrightarrow{w}1\}$、$A=B=1$、$C=\mathbf{Set}$ とし、$a,b\colon T\to1$ は唯一の関手、$F,G\colon1\to C$ は $X=\{0,1\}$ を選ぶ。型の合う成分 $\alpha_0=\operatorname{id}_X$、$\alpha_1=(0\leftrightarrow1)$ を置く | $G(bw)\alpha_0=\operatorname{id}_X\ne\alpha_1=\alpha_1F(aw)$。したがってこの対象の族は射影 $a,b$ をもつコンマ圏への関手に延びない（prop-comma-universal） |
豊穣圏・∞圏への補足
通常のコンマ圏は、射の圏 $C^{[1]}$ と $A\times B$ を始点・終点に沿って引き戻すことで構成できる。この形は∞圏への拡張にも適している。ただし∞圏では可換式を単にホモトピー圏での等式に置き換えるだけでは足りない。四角形を埋めるホモトピーと、パラメータを動かしたときの高次の整合条件が必要である。
単体的豊穣圏の射の単体集合に厳密な等式を課す方法もあるが、それが局所Kan性やホモトピー不変性を保つかは別に確認する。局所Kanな単体的豊穣圏から整合的脈体を取り、準圏の関手対象 $C^{\Delta^1}$ を用いるコンマ構成と比較するのが一つの方法である。コンマ圏(∞圏) ではこの構成を全単体次数で定義する。豊穣圏でのコンマ構成は コンマ圏(豊穣圏) で扱う。
関連項目
参考文献
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