コンマ圏
概要
コンマ圏（comma category）とは、二つの関手の値を結ぶ射を対象とし、それらを保つ可換四角形を射とする圏である。スライス圏や射の圏を特殊例として含み、普遍射を始対象や終対象の言葉で表現できる。
定義
二つの 関手 の値を結ぶ射を集めると、関手同士の間にある構造を一つの圏として扱える。コンマ圏は、スライス圏、射の圏、自由対象の普遍性を同じ形式に整理する構成である。
関手 $F\colon A\to C$, $G\colon B\to C$ に対する コンマ圏 (comma category) $(F\downarrow G)$ を次で定める。
- 対象は $(a,b,\alpha)$。ここで $a\in A$, $b\in B$, $\alpha\colon F(a)\to G(b)$。
- $(a,b,\alpha)$ から $(a',b',\alpha')$ への射は、$u\colon a\to a'$, $v\colon b\to b'$ の組で
$$ G(v)\circ\alpha=\alpha'\circ F(u) $$
を満たすもの。 - 恒等射は $(\operatorname{id}_a,\operatorname{id}_b)$、合成は成分ごとの合成。
記号の左側から右側へ、$F(a)\to G(b)$ が向く。$A,B,C$ が小さい場合はコンマ圏も小さい。大きな圏の場合は対象と射の大きさを同じ集合論的枠内で管理する。標準的な構成は Richter §5.1 にある。
上の対象、射、恒等射、合成は圏をなす。すなわち、可換条件を満たす射の組の合成は再び可換条件を満たし、$(\operatorname{id}_a,\operatorname{id}_b)$ は単位律を満たし、合成は結合律を満たす。
$(u,v)$, $(u',v')$ が続けて合成できるなら
$$
G(v'v)\alpha=G(v')\alpha'F(u)
=\alpha''F(u')F(u)=\alpha''F(u'u).
$$
よって合成も可換条件を満たす。単位律・結合律は $A,B$ のものから従う。この計算では $F,G$ が合成を保つことを使っている。
同じ定義に収まる例
対象 $c$ を、一対象一射の圏 $1$ から $C$ への関手とも書く。このとき $(\operatorname{id}_C\downarrow c)=C_{/c}$、$(c\downarrow\operatorname{id}_C)=C_{c/}$ である。第1式では対象が $x\to c$、射の条件が $q u=p$ になり、第2式では対象が $c\to x$、条件が $u p=q$ になる。
$P\colon A\to\operatorname{Set}$ を共変関手とする。$(1\downarrow P)$ の対象は $(a,x)$, $x\in P(a)$ であり、射 $(a,x)\to(a',x')$ は $P(u)(x)=x'$ を満たす $u\colon a\to a'$ である。ここで左の $1$ は一点集合を値とする関手を表す。単に集合 $P(a)$ を並べるのでなく、元が関手の作用でどう運ばれるかを記録する。
普遍性と向き
自由群の例を一般化すると、普遍射の定義そのものがコンマ圏の言葉で言い換えられる。
関手 $G\colon D\to C$ と対象 $c\in C$ を取る。$c$ から $G$ への 普遍射 とは、対象 $d\in D$ と射 $u\colon c\to G(d)$ の対 $(d,u)$ で、任意の $d'\in D$ と射 $h\colon c\to G(d')$ に対し、$G(k)\circ u=h$ を満たす $k\colon d\to d'$ がただ一つ存在するものをいう。$c$ を一対象一射の圏 $1$ からの関手とみなすとき、$(d,u)$ が $c$ から $G$ への普遍射であることと、$(d,u)$ がコンマ圏 $(c\downarrow G)$ の始対象であることは同値である。
$(c\downarrow G)$ の対象は、$1$ の唯一の対象と $d'\in D$ と射 $h\colon c\to G(d')$ の三つ組であり、$1$ の成分は省いて $(d',h)$ と書ける。$(d,u)$ から $(d',h)$ への射は、$1$ の唯一の射（恒等射）と $k\colon d\to d'$ の組で、可換条件 $G(k)\circ u=h\circ\operatorname{id}$、すなわち $G(k)\circ u=h$ を満たすものである。従って $(d,u)$ から $(d',h)$ への射は、$G(k)\circ u=h$ を満たす $k\colon d\to d'$ と一対一に対応する。
$(d,u)$ が始対象であるとは、任意の対象 $(d',h)$ への射がただ一つ存在することである。上の対応により、これは任意の $d'$ と $h\colon c\to G(d')$ に対して $G(k)\circ u=h$ を満たす $k$ がただ一つ存在することと同じであり、普遍射の定義そのものである。
普遍射は 随伴関手 $F\dashv G$ の単位 $\eta_c\colon c\to GF(c)$ の各成分として現れ、逆に各 $c$ に普遍射があれば左随伴 $F$ が構成できる。この対応の詳細は 随伴関手 の記事に譲る。
圏 $T$ から $(F\downarrow G)$ への関手を指定することは、二つの関手 $a\colon T\to A$, $b\colon T\to B$ と自然変換 $\alpha\colon F a\Rightarrow G b$ を指定することに等しい。
関手 $H$ を二つの射影と合成すれば $a,b$ を得る。$H(t)$ の第3成分を $\alpha_t$ とすると、$H(w)$ がコンマ圏の射である条件が、各 $w\colon t\to t'$ に対する自然性の式である。逆にこの三つのデータから $H(t)=(a(t),b(t),\alpha_t)$, $H(w)=(a(w),b(w))$ と定める。自然性によって射の条件が成り立ち、関手性は成分ごとに従う。二構成は厳密に逆である。
この対応は $T=[n]$ に限らない。「各対象で射がある」だけでは自然変換にならず、$T$ 内のすべての射に沿う整合条件が必要なことを明示している。
向きを全部反転すると
$$
(F\downarrow G)^{\mathrm{op}}
\cong(G^{\mathrm{op}}\downarrow F^{\mathrm{op}})
$$
となる。右辺では $B^{\mathrm{op}}$ と $A^{\mathrm{op}}$ の役割が入れ替わる。対象の射 $F(a)\to G(b)$ を $C^{\mathrm{op}}$ で読めば $G(b)\to F(a)$ になり、可換式も反転するためである。
$C=[1]$ とし、$F\colon1\to C$ が $0$、$G\colon1\to C$ が $1$ を選ぶとする。厳密な 引き戻し $1\times_C1$ は対象の等式 $0=1$ を要求するため空だが、$(F\downarrow G)$ には射 $0\to1$ に対応する対象が一つある。また $(G\downarrow F)$ は空である。したがってコンマ圏は対称な構成でもない。
豊穣圏・∞圏への補足
通常のコンマ圏は、射の圏 $C^{[1]}$ と $A\times B$ を始点・終点に沿って引き戻すことで構成できる。この形は∞圏への拡張にも適している。ただし∞圏では可換式を単にホモトピー圏での等式に置き換えるだけでは足りない。四角形を埋めるホモトピーと、パラメータを動かしたときの高次の整合条件が必要である。
単体的豊穣圏の射の単体集合に厳密な等式を課す方法もあるが、それが局所Kan性やホモトピー不変性を保つかは別に確認する。局所Kanな単体的豊穣圏から整合的脈体を取り、準圏の関手対象 $C^{\Delta^1}$ を用いるコンマ構成と比較するのが一つの方法である。コンマ圏(∞圏) ではこの構成を全単体次数で定義する。豊穣圏でのコンマ構成は コンマ圏(豊穣圏) で扱う。
関連項目
参考文献
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