可微分多様体
概要
可微分多様体（differentiable manifold）とは、位相多様体（Hausdorff かつ第 2 可算な局所 Euclid 空間）に、座標変換がすべて $C^r$ 級（$1\le r\le\infty$ または実解析的）であるアトラスの極大なもの（微分構造）を指定したものである。微分可能多様体・微分多様体ともいい、$r=\infty$ のとき滑らかな多様体という。座標変換が微分可能なので、写像の微分可能性・接ベクトル・ベクトル場・微分形式・Riemann 計量が座標によらずに定まり、微分幾何学と微分トポロジーの基本的対象になる。Euclid 空間・球面・射影空間・トーラスが基本例で、開部分集合と直積で閉じ、滑らかな 1 の分割をもち、Whitney の定理により Euclid 空間に埋め込める。同じ位相多様体上の微分構造は微分同相とは限らず、エキゾチック球面がその例である。
前提知識: 多様体, Euclid空間, 開集合, 同相写像, 連続写像, 微分
定義
以下、$\mathbb{R}^n$ の開集合 $W$ から $\mathbb{R}^m$ への写像 $f$ が $C^r$ 級（$r$ は自然数）であるとは、$f$ の各成分が $W$ 上で $r$ 回連続微分可能（微分）であることをいい、すべての $r$ について $C^r$ 級であるとき $C^\infty$ 級または滑らか（smooth）であるという。各点のまわりで収束する冪級数（冪級数）で表されるとき $C^\omega$ 級または実解析的（real analytic）であるという。$C^0$ 級は連続を意味し、$0\le r\le s\le\omega$ のとき $C^s$ 級ならば $C^r$ 級である。$C^r$ 級写像の合成は $C^r$ 級である（連鎖律）。
$M$ を $n$ 次元位相多様体（多様体。Hausdorff かつ第 2 可算な $n$ 次元局所 Euclid 空間）とし、$1\le r\le\infty$ または $r=\omega$ とする。$M$ のアトラス $\mathcal{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ が $C^r$ 級アトラス（atlas of class $C^r$、$C^r$ 級座標近傍系）であるとは、$U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ なるすべての $\alpha,\beta$ について座標変換
$$\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$$
が $C^r$ 級であることをいう（このとき逆写像 $\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1}$ も $C^r$ 級なので、座標変換は $C^r$ 級の同相写像である）。座標近傍 $(U,\varphi)$ と $(V,\psi)$ が $C^r$ 級で両立する（$C^r$-compatible）とは、$U\cap V=\emptyset$ であるか、または $\psi\circ\varphi^{-1}$ と $\varphi\circ\psi^{-1}$ がともに $C^r$ 級であることをいう。
二つの $C^r$ 級アトラス $\mathcal{A},\mathcal{B}$ が同値であるとは、$\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ が再び $C^r$ 級アトラスであること、すなわち $\mathcal{A}$ の座標近傍と $\mathcal{B}$ の座標近傍がすべて $C^r$ 級で両立することをいう。$C^r$ 級アトラス $\mathcal{A}$ に対し、$\mathcal{A}$ のすべての座標近傍と $C^r$ 級で両立する座標近傍の全体を $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ と書く。$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は $\mathcal{A}$ を含む $C^r$ 級アトラスであり、それ自身を含む $C^r$ 級アトラスが自分以外にないという意味で極大である（differentiable-manifold-prop-maximal-atlas）。これを $\mathcal{A}$ の定める極大アトラス（maximal atlas）または $C^r$ 級微分構造（differentiable structure of class $C^r$）という。
位相多様体 $M$ と $M$ の $C^r$ 級微分構造 $\mathcal{M}$ の組 $(M,\mathcal{M})$ を $C^r$ 級可微分多様体（differentiable manifold of class $C^r$）、$C^r$ 級微分多様体、微分可能多様体という。$r=\infty$ のとき滑らかな多様体（smooth manifold、$C^\infty$ 級多様体）、$r=\omega$ のとき実解析的多様体（real analytic manifold）という。微分構造は一つの $C^r$ 級アトラス $\mathcal{A}$ を与えれば $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ として定まるので、「アトラス $\mathcal{A}$ により $M$ を $C^r$ 級可微分多様体とみなす」という言い方をする。$\mathcal{M}$ に属する座標近傍を $(M,\mathcal{M})$ の滑らかな座標近傍（$C^r$ 級座標近傍）という。文脈から明らかなときは $\mathcal{M}$ を省いて $M$ と書く。
$M$ を $m$ 次元、$N$ を $n$ 次元の $C^r$ 級可微分多様体とし、$f\colon M\to N$ を連続写像とする。$f$ が $C^r$ 級（$r=\infty$ のとき滑らか）であるとは、$M$ の任意の滑らかな座標近傍 $(U,\varphi)$ と $N$ の任意の滑らかな座標近傍 $(V,\psi)$ について、$\mathbb{R}^m$ の開集合 $\varphi(U\cap f^{-1}(V))$ 上の写像
$$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U\cap f^{-1}(V))\to\psi(V)\subset\mathbb{R}^n$$
が $C^r$ 級であることをいう。この写像を $f$ の局所表示という。$N=\mathbb{R}$（恒等写像を座標とする）のとき $f$ を $M$ 上の $C^r$ 級関数といい、$M$ 上の $C^\infty$ 級関数の全体を $C^\infty(M)$ と書く。$C^r$ 級写像 $f\colon M\to N$ が全単射（全単射）で逆写像も $C^r$ 級であるとき、$f$ を $C^r$ 級微分同相写像（diffeomorphism of class $C^r$、微分同相写像）といい、微分同相写像が存在する二つの多様体は微分同相であるという。$C^r$ 級であることは各点のまわりの一組の座標近傍で確かめれば十分であり（differentiable-manifold-prop-smooth-map-local）、$C^r$ 級写像の合成は $C^r$ 級である。
位相多様体の定義に第 2 可算性を課すか、パラコンパクト性（パラコンパクト空間）を課すかは文献により異なる（多様体の記事の注意（定義の流儀））。「パラコンパクトかつ Hausdorff」を課す流儀（Spi99 Ch. 1）もある。本記事は多様体と同じく第 2 可算性を課す（Lee12 Ch. 1、War83 Ch. 1、Mat88 第 2 章と同じ流儀）。連結（連結空間）な多様体では両者は同値なので、連結成分が高々可算個であることだけが差である。
多くの文献は $r=\infty$ の場合だけを扱い、「多様体」で滑らかな多様体を意味する。$1\le r<\infty$ の $C^r$ 級構造は必ず $C^\infty$ 級（さらに $C^\omega$ 級）の両立するアトラスを含み、そのような $C^\infty$ 級構造は $C^r$ 級微分同相を除いて一意であるため（Whitney の定理、Hir76 Ch. 2 Theorem 2.9）、$r$ の値は $r\ge1$ である限り理論の骨格を変えない。一方 $r=0$（位相多様体）と $r\ge1$ の間には本質的な差がある（differentiable-manifold-rem-exotic）。
直感
位相多様体は「座標が貼られた空間」である。座標は目盛りつきの網目であり、一枚の座標で空間全体を覆えないので、複数の座標を貼り合わせて用いる。座標が重なる部分では、一方の座標から他方へ乗り換える規則（座標変換）が定まる。可微分多様体とは、この乗り換えの規則が微分可能であるような座標の貼り方を一つ選んだものである。乗り換えが微分可能であれば、「関数 $f$ が点 $x$ で微分可能か」「曲線の速度ベクトルは何か」といった問いの答えが、どの座標で計算しても一致する。したがって微分・接ベクトル・ベクトル場（ベクトル場）・微分形式といった微積分の道具を、座標によらない形で多様体上に持ち込める。
微分構造を「極大アトラス」として定義するのは、同じ微分の概念を与える無数のアトラスをひとまとめにするためである。$\mathbb{R}^n$ に恒等写像だけからなるアトラスを入れても、すべての開集合上の滑らかな座標をすべて加えても、どの関数が滑らかかは変わらない。極大アトラスはこの「変わらないもの」を一つの集合として固定したものである。
例
$\mathbb{R}^n$ は、恒等写像 $\mathrm{id}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ だけからなるアトラス $\{(\mathbb{R}^n,\mathrm{id})\}$ により $C^\omega$ 級（したがってすべての $r$ について $C^r$ 級）可微分多様体になる（座標変換は恒等写像だけである）。これを $\mathbb{R}^n$ の標準的な微分構造という。$\mathbb{R}^n$ の開集合はその開部分多様体（differentiable-manifold-prop-open-submanifold）として、とくに一般線形群（一般線形群）$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{n^2}$ は $n^2$ 次元の実解析的多様体になる。有限次元の実ベクトル空間（ベクトル空間）$V$ は、基底（基底）を一つ選んで得られる線形同型（線形同型）$V\to\mathbb{R}^n$ を座標として可微分多様体になり、基底の取り替えは線形写像（線形写像）なので、得られる微分構造は基底の選び方によらない。微分多様体とみなした $\mathbb{R}^n$ をアフィン空間（アフィン空間）と呼ぶこともある。
$n$ 次元球面（n次元球面）$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ は、北極 $N$ と南極 $S$ からの立体射影 $\varphi_N\colon S^n\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^n$、$\varphi_S\colon S^n\setminus\{S\}\to\mathbb{R}^n$ を座標とするアトラスにより $n$ 次元実解析的多様体になる。この 2 枚が $S^n$ の位相多様体としてのアトラスであることは多様体の記事の命題（球面の座標近傍）が所有し、そこで座標変換が
$$\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=\frac{u}{\|u\|^2}\qquad(u\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$$
と計算されている。各成分 $u_i/(u_1^2+\cdots+u_n^2)$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上で分母が消えない有理関数なので実解析的であり、$\varphi_N\circ\varphi_S^{-1}$ も同じ式で与えられる。よってこのアトラスは $C^\omega$ 級である。これを $S^n$ の標準的な微分構造という。半径 $r>0$ の球面 $\{x\mid\|x\|=r\}$ は拡大 $x\mapsto x/r$ により $S^n$ と微分同相である。
実射影空間（射影空間）$\mathbb{R}P^n=(\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{R}^\times$ は、$i=0,\dots,n$ に対するアフィン座標近傍 $U_i=\{[a_0:\cdots:a_n]\mid a_i\neq0\}$ と
$$\varphi_i([a_0:\cdots:a_n])=\Bigl(\frac{a_0}{a_i},\dots,\widehat{\frac{a_i}{a_i}},\dots,\frac{a_n}{a_i}\Bigr)$$
により $n$ 次元実解析的多様体になる。$(U_i,\varphi_i)$ が位相多様体としてのアトラスであることは射影空間の記事の命題（アフィン座標近傍と多様体構造）が所有する。座標変換 $\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$ は、$x_j\neq0$ の領域で各成分が $x_k/x_j$ または $1/x_j$ の形の有理関数なので実解析的である。複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ も同じ座標により実 $2n$ 次元の実解析的多様体（さらに複素多様体）になる。
可微分多様体の直積は可微分多様体である（differentiable-manifold-prop-product）。とくに $n$ 次元トーラス（トーラス）$T^n=S^1\times\cdots\times S^1$ は $n$ 次元実解析的多様体である。
$M=\mathbb{R}$ に、恒等写像による標準的なアトラス $\mathcal{A}=\{(\mathbb{R},\mathrm{id})\}$ と、$\chi(t):=t^3$ による一枚のアトラス $\mathcal{B}=\{(\mathbb{R},\chi)\}$ を考える。$\chi$ は $\mathbb{R}$ の同相写像なので $\mathcal{B}$ は位相多様体 $\mathbb{R}$ のアトラスであり、座標変換が一つしかないので $C^\infty$ 級アトラスである。しかし $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ は同値でない。座標変換 $\mathrm{id}\circ\chi^{-1}(s)=s^{1/3}$ が $s=0$ で微分可能でないからである。
満たす性質は「$\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ はいずれも同じ位相多様体の $C^\infty$ 級アトラスである」ことであり、満たさない性質は「$\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ が同値である」ことである。破れる含意は「同じ位相多様体上の二つの $C^\infty$ 級アトラスは常に同値である」であり、一つの位相多様体が複数の微分構造をもちうることを示す。ただしこの二つの微分構造は微分同相である：$\chi\colon(\mathbb{R},\mathcal{M}(\mathcal{B}))\to(\mathbb{R},\mathcal{M}(\mathcal{A}))$ の局所表示は $\mathrm{id}\circ\chi\circ\chi^{-1}=\mathrm{id}$ であり、逆写像の局所表示も恒等写像なので、$\chi$ は微分同相写像である。「異なる微分構造」と「微分同相でない微分構造」は区別しなければならない（differentiable-manifold-rem-exotic）。
性質
$M$ を位相多様体、$\mathcal{A}$ を $M$ の $C^r$ 級アトラスとする。
- $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は $\mathcal{A}$ を含む $C^r$ 級アトラスである。
- $\mathcal{C}$ が $\mathcal{A}$ を含む $C^r$ 級アトラスならば $\mathcal{C}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ である。したがって $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は $\mathcal{A}$ を含む唯一の極大な $C^r$ 級アトラスである。
- 二つの $C^r$ 級アトラス $\mathcal{A},\mathcal{B}$ が同値であることと $\mathcal{M}(\mathcal{A})=\mathcal{M}(\mathcal{B})$ とは同値である。
- $\mathcal{A}$ の座標近傍は互いに両立するので $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ であり、とくに $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ の定義域は $M$ を覆う。$(U,\varphi),(V,\psi)\in\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が両立することを示す。$U\cap V=\emptyset$ なら示すことはない。$p\in U\cap V$ とし、$p\in U_\alpha$ なる $(U_\alpha,\varphi_\alpha)\in\mathcal{A}$ をとる。$W:=U\cap V\cap U_\alpha$ は $p$ の開近傍で、$\varphi(W)$ 上では
$$\psi\circ\varphi^{-1}=(\psi\circ\varphi_\alpha^{-1})\circ(\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1})$$
が成り立つ。$(U,\varphi)$ と $(V,\psi)$ はいずれも $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ と両立するので、右辺の二つの写像はそれぞれ $\varphi(W)\to\varphi_\alpha(W)$、$\varphi_\alpha(W)\to\psi(W)$ の $C^r$ 級写像であり、合成も $C^r$ 級である。$C^r$ 級であることは各点の近傍で確かめれば十分な局所的性質であり、$p\in U\cap V$ は任意だったから、$\psi\circ\varphi^{-1}$ は $\varphi(U\cap V)$ 全体で $C^r$ 級である。$\varphi\circ\psi^{-1}$ についても同様である。 - $(U,\varphi)\in\mathcal{C}$ とすると、$\mathcal{C}$ が $C^r$ 級アトラスなので $(U,\varphi)$ は $\mathcal{C}$ のすべての座標近傍、とくに $\mathcal{A}$ のすべての座標近傍と両立する。よって $(U,\varphi)\in\mathcal{M}(\mathcal{A})$ である。極大性：$\mathcal{C}\supset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が $C^r$ 級アトラスなら、$\mathcal{C}\supset\mathcal{A}$ なので $\mathcal{C}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$、すなわち $\mathcal{C}=\mathcal{M}(\mathcal{A})$ である。一意性：$\mathcal{A}$ を含む極大な $C^r$ 級アトラス $\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ を満たし、$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ も $C^r$ 級アトラスなので極大性から $\mathcal{C}=\mathcal{M}(\mathcal{A})$ である。
- $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ が同値なら $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ は $\mathcal{A}$ を含む $C^r$ 級アトラスなので、2 により $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}\cup\mathcal{B}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ である。すると $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は $\mathcal{B}$ を含む $C^r$ 級アトラスなので、再び 2 により $\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset\mathcal{M}(\mathcal{B})$ である。対称に $\mathcal{M}(\mathcal{B})\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ なので両者は等しい。逆に $\mathcal{M}(\mathcal{A})=\mathcal{M}(\mathcal{B})$ なら $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}\subset\mathcal{M}(\mathcal{A})$ であり、$C^r$ 級アトラスの部分族で $M$ を覆うものは $C^r$ 級アトラスなので、$\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ は $C^r$ 級アトラスである。$\square$
$M,N$ を $C^r$ 級可微分多様体、$f\colon M\to N$ を連続写像とする。各 $p\in M$ に対し、$p$ を含む滑らかな座標近傍 $(U,\varphi)$ と $f(p)$ を含む滑らかな座標近傍 $(V,\psi)$ が一組存在して局所表示 $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ が $\varphi(U\cap f^{-1}(V))$ 上で $C^r$ 級であるならば、$f$ は $C^r$ 級である。また $C^r$ 級写像 $f\colon M\to N$、$g\colon N\to P$ の合成 $g\circ f$ は $C^r$ 級である。
$(U',\varphi')$、$(V',\psi')$ を $M$、$N$ の任意の滑らかな座標近傍とし、$x\in\varphi'(U'\cap f^{-1}(V'))$ をとる。$p:=\varphi'^{-1}(x)$ に対し仮定の座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ をとる。$W:=U\cap U'\cap f^{-1}(V\cap V')$ は $p$ の開近傍（$f$ は連続）であり、$\varphi'(W)$ 上で
$$\psi'\circ f\circ\varphi'^{-1}=(\psi'\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\varphi'^{-1})$$
が成り立つ。右端と左端は滑らかな座標近傍どうしの座標変換なので $C^r$ 級であり、中央は仮定により $C^r$ 級だから、合成は $x$ の近傍 $\varphi'(W)$ で $C^r$ 級である。$x$ は任意なので局所表示は定義域全体で $C^r$ 級である。
合成について、$p\in M$ と座標近傍 $(U,\varphi)\ni p$、$(V,\psi)\ni f(p)$、$(W,\chi)\ni g(f(p))$ をとると、$\varphi(U\cap f^{-1}(V\cap g^{-1}(W)))$ 上で $\chi\circ(g\circ f)\circ\varphi^{-1}=(\chi\circ g\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})$ であり、$C^r$ 級写像の合成なので $C^r$ 級である。前半により $g\circ f$ は $C^r$ 級である。$\square$
$(M,\mathcal{M})$ を $n$ 次元 $C^r$ 級可微分多様体、$U\subset M$ を開集合とする。$\mathcal{M}_U:=\{(V\cap U,\varphi|_{V\cap U})\mid(V,\varphi)\in\mathcal{M}\}$ は $U$ の $C^r$ 級アトラスであり、これにより $U$ は $n$ 次元 $C^r$ 級可微分多様体になる。これを $M$ の開部分多様体（open submanifold）という。包含写像 $U\hookrightarrow M$ は $C^r$ 級である。
$U$ が $n$ 次元位相多様体であり、$(V\cap U,\varphi|_{V\cap U})$ が $U$ の座標近傍であることは多様体の記事の命題（開部分集合は多様体）による。$\mathcal{M}_U$ の定義域は $U$ を覆う。二つの元 $(V\cap U,\varphi|_{V\cap U})$、$(W\cap U,\psi|_{W\cap U})$ の座標変換は、$M$ の座標変換 $\psi\circ\varphi^{-1}$ の開集合 $\varphi(V\cap W\cap U)$ への制限であり、$C^r$ 級写像の開集合への制限は $C^r$ 級である。包含写像の局所表示は $\varphi\circ\iota\circ(\varphi|_{V\cap U})^{-1}$、すなわち $\varphi(V\cap U)$ 上の恒等写像なので $C^r$ 級である。$\square$
$M$ を $m$ 次元、$N$ を $n$ 次元の $C^r$ 級可微分多様体とし、それぞれのアトラスを $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$、$\{(V_\beta,\psi_\beta)\}_{\beta\in B}$ とする。$\{(U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times\psi_\beta)\}_{(\alpha,\beta)\in A\times B}$ は $M\times N$ の $C^r$ 級アトラスであり、これにより $M\times N$ は $(m+n)$ 次元 $C^r$ 級可微分多様体になる。これを積多様体（product manifold）という。射影 $M\times N\to M$、$M\times N\to N$ は $C^r$ 級である。
$M\times N$ が $(m+n)$ 次元位相多様体で、$\varphi_\alpha\times\psi_\beta\colon U_\alpha\times V_\beta\to\varphi_\alpha(U_\alpha)\times\psi_\beta(V_\beta)\subset\mathbb{R}^{m+n}$ が座標近傍であることは多様体の記事の命題（直積は多様体）による。$(U_\alpha\times V_\beta)\cap(U_{\alpha'}\times V_{\beta'})=(U_\alpha\cap U_{\alpha'})\times(V_\beta\cap V_{\beta'})$ 上の座標変換は
$$(\varphi_{\alpha'}\times\psi_{\beta'})\circ(\varphi_\alpha\times\psi_\beta)^{-1}=(\varphi_{\alpha'}\circ\varphi_\alpha^{-1})\times(\psi_{\beta'}\circ\psi_\beta^{-1})$$
であり、成分ごとに $C^r$ 級な写像の直積なので $C^r$ 級である。射影 $M\times N\to M$ の局所表示は $\varphi_\alpha\circ\mathrm{pr}_1\circ(\varphi_\alpha\times\psi_\beta)^{-1}$、すなわち $\mathbb{R}^{m+n}\to\mathbb{R}^m$ の座標射影の制限なので $C^r$ 級である。$\square$
$M$ を滑らかな多様体、$\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ を $M$ の任意の開被覆（開被覆）とする。このとき $\{U_\alpha\}$ に従属する滑らかな 1 の分割（1の分割）、すなわち $C^\infty$ 級関数の族 $\{\rho_\alpha\colon M\to[0,1]\}_{\alpha\in A}$ で、$\operatorname{supp}\rho_\alpha\subset U_\alpha$、台の族 $\{\operatorname{supp}\rho_\alpha\}$ が局所有限（局所有限）、各点で $\sum_\alpha\rho_\alpha=1$ となるものが存在する。
証明は Lee12 Ch. 2 Theorem 2.23 に譲る。位相多様体のパラコンパクト性（多様体の記事の定理（多様体の分離公理・距離化・パラコンパクト性））と、$\mathbb{R}^n$ 上の滑らかな隆起関数（隆起関数。$t>0$ で $e^{-1/t}$、$t\le0$ で $0$ とおく $C^\infty$ 級関数から作られる、閉球の上で $1$、それより大きい開球の外で $0$ となる $C^\infty$ 級関数）を、座標近傍ごとに引き戻して局所有限な族を作り、和で割って正規化する。位相的な 1 の分割（パラコンパクト空間の記事の定理（1 の分割の存在））と異なり、滑らかさの保証には隆起関数が必要である。滑らかな 1 の分割は、Riemann 計量（リーマン幾何学の記事の命題（リーマン計量の存在））や微分形式の積分の貼り合わせに用いられる。連結な実解析的多様体上では、真部分集合からなる開被覆に従属する実解析的な 1 の分割は存在しない（一致の定理による。実解析的関数は空でない開集合上で $0$ なら連結成分全体で $0$ である）。
コンパクト（コンパクト空間）な場合は、有限個の座標近傍と滑らかな 1 の分割で $\mathbb{R}^N$ への埋め込みを作り、Sard の定理（Sardの定理）により射影で次元を $2n+1$ まで下げる。一般の場合を含めた証明は Lee12 Ch. 6 Theorem 6.15、Hir76 Ch. 1 Theorem 3.5 に譲る。Whitney はさらに $\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みが可能であることを示した。この定理により、抽象的に定義された可微分多様体は Euclid 空間の部分多様体として実現でき、「Euclid 空間内の曲面」という素朴な描像と抽象的定義とが一致する。
位相多様体が微分構造をもつか、もつなら微分同相を除いていくつあるかは、次元によって答えが異なる。
- $n\le3$ では、任意の $n$ 次元位相多様体は微分構造をもち、それは微分同相を除いて一意である（$n=3$ は Moi52）。
- $n=4$ では、微分構造をもたないコンパクト位相多様体が存在し、$\mathbb{R}^4$ には互いに微分同相でない微分構造が非可算個存在する（Freedman・Donaldson・Taubes の仕事による。Lee12 Ch. 1 の解説を参照）。
- $n\ge5$ でも、球面 $S^n$ に標準的でない微分構造（エキゾチック球面）が存在する次元がある。最初の例は $S^7$ 上の Milnor の構造（Mil56）であり、$S^7$ の向きを保つ微分同相類は $28$ 個ある（KM63）。詳細はn次元球面の記事の注意（微分構造とエキゾチック球面）が扱う。
differentiable-manifold-rem-incompatible-atlas の $\mathbb{R}$ 上の二つの構造は微分同相であり、エキゾチックではない。エキゾチックな構造とは、同じ位相多様体上の微分構造で、標準的な構造と微分同相でないものをいう。
補足
可微分多様体 $M$ の上には、各点 $p$ に接空間（接空間）$T_pM$ が定まり、それらを集めた接束（接束）$TM$ はベクトル束の基本例である。$C^r$ 級写像 $f\colon M\to N$ は各点で線形写像 $df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ を誘導し、その階数によりはめ込み・沈め込み（沈め込み）・部分多様体・正則値（正則値定理）が定義される。接束の切断（切断）がベクトル場、余接束の交代テンソル場が微分形式であり、各接空間に内積（内積）を滑らかに与えたものが Riemann 計量（リーマン幾何学）である。座標変換に正則性を課すと複素多様体、群構造と両立する微分構造をもつ多様体が Lie群 である。
関連項目
参考文献
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