重み(ℓ進コホモロジー)

前提知識: ℓ進層, エタールコホモロジー, Weil予想, Tate捻り

重み（weight）とは、有限体の上の多様体の $\ell$ 進コホモロジーに作用する Frobenius の固有値を、その複素絶対値が $q$ の何乗かで測った整数である。固有値 $a$ の代数的共役がすべて絶対値 $q^{n/2}$ をもつとき、$a$ は重み $n$ であるという。Weil予想 の Riemann 予想の部分は、固有で滑らかな多様体の $H^i$ の固有値がすべて重み $i$ である、という主張である。Deligne は La conjecture de Weil II でこれを任意の多様体と層へ広げ、「$Rf_!$ は重みを増やさない」という形の定理を証明した。
重みの価値は、数の大きさの情報が、コホモロジーの構造の情報を与えることにある。Frobenius と可換な写像は重みの違う部分の間で $0$ になるので、完全列やスペクトル系列が重みで分かれる。指数和の評価も、固有値の絶対値の上界からすぐに従う。

定義

$q$ を素数 $p$ のべき、$\ell\ne p$ を素数とする。$X_0$ を $\mathbb F_q$ 上の有限型の分離スキーム、$X:=X_0\times_{\mathbb F_q}\overline{\mathbb F}_q$ とする。Frobenius はすべて幾何的 Frobenius とする（Weil予想 の規約）。閉点 $x$ の剰余体の位数を $N(x)$、$\overline x$ を $x$ の上の幾何学的点とし、$\overline{\mathbb Q}_\ell$ 層 $\mathcal F_0$ の茎 $\mathcal F_{\overline x}$ に作用する幾何的 Frobenius を $F_x$ と書く。$H^i(X,\mathcal F)$ には $\mathbb F_q$ 上の幾何的 Frobenius $F$ が作用する。

$a$ の重みが $n$ であることと、$a^m$ が $q^m$ に関して重み $n$ であることは同値である。

$\iota$ 版。 体の同型 $\iota\colon\overline{\mathbb Q}_\ell\to\mathbb C$ を 1 つ固定し、$\lvert\iota a\rvert=q^{n/2}$ だけを要求した条件を $\iota$ 純、$\iota$ 混合という。このとき実数の重み $2\log_q\lvert\iota a\rvert$ も許す。$a$ が重み $n$ であることは、すべての $\iota$ で $\lvert\iota a\rvert=q^{n/2}$ であることと同値である（Del80 (1.2.6)、p. 154）。代数的でない $a$ は、ある $\iota$ で任意の絶対値をとれるからである。この記事の主定理は $\iota$ 版でも成り立つ（Del80 (3.3.10)、p. 207）。

重みの分解の根幹は次の線形代数である。

とくに、重みの異なる純な空間の間の $F$ 同変写像は $0$ である。これが重みの議論のすべての出発点である。

主定理

この記事ではこの定理を証明しない。証明の核は曲線の上の滑らかな層の場合である。テンソル積 $\mathcal F^{\otimes2k}$ の Z 関数の極の位置から、$k\to\infty$ で固有値の評価を得る（Rankin の方法。Del74 と Del80 の序）。一般の場合はファイバーへの帰着と、局所モノドロミーの解析を使う。Laumon は $\ell$ 進の Fourier 変換と定常位相で別の証明を与えた（Lau87 §4、Théorème (4.1.3)、p. 204）。

thm-wt-main の整数性の改良を合わせると、定数層の重みの範囲は次のように定まる。定数層は「整」なので重みは $0$ 以上で、$i>d$ なら $2(i-d)$ 以上である（Del80 (3.3.3)、(3.3.4)、pp. 205–206）。滑らかな場合は、双対で読み替える。

複素多様体の 混合Hodge構造 の重さも同じ形をしている。これは偶然ではなく、Weil 予想と Hodge 理論を並行させる見方の中心にある。

計算の例

指数和の評価

$H^i_c$ が中間次数 $i=d$ だけで $0$ でないなら、評価は $h^d_c\,q^{m(w+d)/2}$ となり、自明な評価（点の個数は約 $q^{md}$）の平方根まで下がる。その典型が次である。$Q$ を $\mathbb F_q$ 上の $n$ 変数 $d$ 次多項式、$Q_d$ を $d$ 次斉次部分、$\psi$ を非自明な加法指標とする。$d$ が $p$ と互いに素で、$Q_d=0$ が $\mathbb P^{n-1}$ の滑らかな超曲面なら
$$ \Bigl\lvert\sum_{x\in\mathbb F_q^n}\psi(Q(x))\Bigr\rvert\le(d-1)^nq^{n/2} $$
である（Del74 Théorème (8.4)、pp. 302–303。この記事では証明しない）。

Leray スペクトル系列の退化

層の構造と複体

重みは層の構造も縛る。

3 は、Hodge 理論の変動の半単純性定理に当たる（Del80 の序、p. 141）。たとえば Lefschetz ペンシルの滑らかなファイバーのコホモロジーは、モノドロミーの完全可約な表現である。
複体へは次のように広げる。$K$ を $X_0$ 上の構成可能複体とする。すべての $i$ で $\mathcal H^iK$ が混合で重み $\le i+n$ のとき、$K$ は混合で重み $\le n$ であるという。$K$ と、その Verdier 双対 $DK$ について、$K$ が重み $\le n$、$DK$ が重み $\le-n$ のとき、$K$ は純で重み $n$ であるという（Del80 (6.2.2)、(6.2.4)、p. 247）。

純と点ごとに純の違い。 複体の「純」は、$\mathcal H^iK$ が点ごとに純であることとは別の条件で、どちらも他方を導かない（表の $j_!\overline{\mathbb Q}_\ell$ は点ごとに純だが、prop-wt-complex に反するので純でない）。$X_0$ を固有で滑らかな曲線、$j\colon U_0\to X_0$ を稠密な開集合、$\mathcal F_0$ を $U_0$ 上の滑らかで点ごとに純で重み $n$ の層とする。$K=j_*\mathcal F_0[1]$ の $X\setminus U$ の点での茎の重みは $n$ 以下で、一般に $n$ に等しくない（Del80 (1.8.1)、p. 175）。それでも $DK=j_*\mathcal F_0^\vee(1)[1]$ なので、$K$ は純で重み $n+1$ である。prop-wt-complex を当てると、$H^1(X,j_*\mathcal F)$ は純で重み $n+1$ となる。ただし、これは定理どうしの整合であって証明ではない。Del80 はこの主張を Théorème (3.2.3)（p. 200）として先に証明し、それを使って thm-wt-main を導く（p. 205）。

この現象を局所体の上の固有で滑らかな多様体 $X$ と $V=H^i(X,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ へ広げたものが重みとモノドロミーの予想である。$N$ を局所モノドロミーの対数とすると、$N$ のフィルトレーションの次数 $j$ の商に Frobenius の持ち上げが作用する固有値は重み $i+j$ である、と予想する。標数 $p$ の曲線の族の場合は上の定理の帰結で、標数 $p$ では一般に知られている。標数 $0$ では、Scholze が滑らかな射影トーリック多様体の集合論的完全交叉の場合を証明した（Sch11 Conjecture 1.13、Theorem 1.14）。一般の場合は未解決である。

条件を外したときの反例

関連項目

• 前提: ℓ進層
• 前提: エタールコホモロジー
• 前提: Weil予想
• 前提: Tate捻り
• 関連: ℓ進コホモロジー
• 関連: 合同ゼータ関数
• 関連: 混合Hodge構造
• 関連: Hard Lefschetz定理
• 関連: Gauss和
• 関連: Gysin写像
• 関連: Ramanujan–Petersson予想
• 関連: 偏屈層