双曲線（高校数学）

方針：1 ⇒ 2 は、差の符号を $\varepsilon=\pm1$ で表して根号を 1 つずつ外す。2 ⇒ 1 は $(\dagger)$ から距離を $x$ の 1 次式の絶対値で表し、$|x|\ge a$ を使って枝ごとに絶対値を外す。
段 1（1 ⇒ 2：1 回目の 2 乗）。1 から $PF'-PF=2a\varepsilon$ となる $\varepsilon\in\{1,-1\}$ がある。$PF'=PF+2a\varepsilon$ の両辺を 2 乗すると $PF'^2=PF^2+4a\varepsilon\cdot PF+4a^2$（$\varepsilon^2=1$）である。$PF'^2-PF^2=4cx$ なので $4cx=4a\varepsilon\cdot PF+4a^2$、両辺に $\varepsilon$ を掛けて $a\cdot PF=\varepsilon(cx-a^2)$ である。
段 2（1 ⇒ 2：2 回目の 2 乗）。2 乗すると $a^2PF^2=(cx-a^2)^2$ で、$(\dagger)$ の左辺が $0$ になる。よって $b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$ で、$a^2b^2$ で割ると 2 を得る。
段 3（2 ⇒ 1：距離を求める）。2 を仮定すると $(\dagger)$ の右辺が $0$ なので $a\cdot PF=|cx-a^2|$、同様に $a\cdot PF'=|cx+a^2|$ である。
段 4（2 ⇒ 1：$x$ の範囲）。2 から $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge1$ なので $|x|\ge a$ である。$c>a$ なので $c|x|\ge ca>a^2$ である。
段 5（2 ⇒ 1：枝ごとに絶対値を外す）。

• $x\ge a$ のとき：$cx>a^2$ なので $cx-a^2>0$、$cx+a^2>0$ で、$a\cdot PF=cx-a^2$、$a\cdot PF'=cx+a^2$ である。引くと $a(PF'-PF)=2a^2$、つまり $PF'-PF=2a$。
• $x\le-a$ のとき：$cx<-a^2$ なので $cx-a^2<0$、$cx+a^2<0$ で、$a\cdot PF=a^2-cx$、$a\cdot PF'=-cx-a^2$ である。引くと $PF-PF'=2a$。
  どちらの場合も $|PF-PF'|=2a$ で、1 が成り立つ。最後に $c^2=a^2+b^2$ から焦点は $(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)$ である。$\square$

両辺に $-1$ を掛けると $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ である。点 $(x,y)$ と $(y,x)$ を入れかえる対応は距離を変えない（2 つの 2 乗の順番が変わるだけ）。入れかえた点 $(X,Y)=(y,x)$ は $\frac{X^2}{b^2}-\frac{Y^2}{a^2}=1$ を満たすので、thm-hyp-standard（$a$ と $b$ の役を入れかえたもの）から、$(X,Y)$ は焦点 $(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)$、差 $2b$ の双曲線の上にある。焦点を入れかえて戻すと $(0,\pm\sqrt{a^2+b^2})$ である。$\square$

方針：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac xa-\frac yb\right)\left(\frac xa+\frac yb\right)$ と因数分解し、2 つの因数を直線までの距離と結びつける。
段 1（共有点がない）。$\ell_1$ 上では $bx=ay$ なので $\frac xa=\frac yb$、つまり第 1 の因数が $0$ で、左辺は $0\ne1$ である。$\ell_2$ 上では第 2 の因数が $0$ で、同じく $0\ne1$ である。
段 2（距離の積）。点と直線の距離の公式から $d_1=\dfrac{|bx-ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}$、$d_2=\dfrac{|bx+ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である（直線の方程式と点と直線の距離）。掛けると
$$ d_1d_2=\frac{|b^2x^2-a^2y^2|}{a^2+b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $$
である。最後の等号は、双曲線上で $b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$ であることによる。
段 3（$d_1\to0$）。$x\ge a$、$y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}\ge0$ の点では $bx-ay=b\bigl(x-\sqrt{x^2-a^2}\bigr)>0$ で、分子を有理化すると
$$ x-\sqrt{x^2-a^2}=\frac{x^2-(x^2-a^2)}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}} $$
である。よって $d_1=\dfrac{a^2b}{\sqrt{a^2+b^2}\,\bigl(x+\sqrt{x^2-a^2}\bigr)}$ で、分母は $x$ とともに限りなく大きくなるので、$d_1$ は限りなく $0$ に近づく。$\square$

方針：座標を $45^\circ$ 回す対応 $R$ が距離を変えないことを示し、$R$ で曲線と焦点を標準形の位置に移す。
段 1（回転 $R$）。点 $(x,y)$ に点 $R(x,y)=\left(\frac{x+y}{\sqrt2},\frac{-x+y}{\sqrt2}\right)$ を対応させる。$R$ は 1 対 1 で、逆は $(X,Y)\mapsto\left(\frac{X-Y}{\sqrt2},\frac{X+Y}{\sqrt2}\right)$ である（代入すると元に戻る）。
段 2（$R$ は距離を変えない）。2 点の座標の差を $(p,q)$ とすると、$R$ で移した 2 点の座標の差は $\left(\frac{p+q}{\sqrt2},\frac{-p+q}{\sqrt2}\right)$ で、その 2 乗の和は
$$ \frac{(p+q)^2+(q-p)^2}2=\frac{2p^2+2q^2}2=p^2+q^2 $$
である。よって移した 2 点の距離はもとの距離に等しい。
段 3（曲線を移す）。$(X,Y)=R(x,y)$ とおくと $X^2-Y^2=\frac{(x+y)^2-(y-x)^2}2=\frac{4xy}2=2xy$ である。よって $xy=k$ と $X^2-Y^2=2k$、つまり $\frac{X^2}{s^2}-\frac{Y^2}{s^2}=1$ は同値である。
段 4（焦点を移す）。$\frac{X^2}{s^2}-\frac{Y^2}{s^2}=1$ は thm-hyp-standard で $a=b=s$、$c=\sqrt{2s^2}=\sqrt{4k}$ の場合で、焦点は $H(\sqrt{4k},0)$、$H'(-\sqrt{4k},0)$、差は $2s$ である。$R(s,s)=\left(\frac{2s}{\sqrt2},0\right)=(\sqrt2\,s,0)=(\sqrt{4k},0)=H$、同様に $R(-s,-s)=H'$ である。
段 5（まとめる）。点 $P$ について、$P$ が $xy=k$ の上にある $\iff$ $R(P)$ が $\frac{X^2}{s^2}-\frac{Y^2}{s^2}=1$ の上にある（段 3）$\iff$ $|R(P)H-R(P)H'|=2s$（thm-hyp-standard）$\iff$ $|PG-PG'|=2s$（段 2、段 4）である。漸近線 $Y=\pm X$ は、$\frac{-x+y}{\sqrt2}=\pm\frac{x+y}{\sqrt2}$ から $x=0$ と $y=0$ に戻る。$\square$