単元

乗法の結合性により
$$ v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w $$
である。よって $v=w$ は $uv=vu=1$ を満たし、$u$ は単元である。

1. 写像 $L_a\colon R\to R$、$x\mapsto ax$ を考える。$ax=ay$ なら分配法則から $a(x-y)=0$ であり、$a$ は左零因子でないから $x-y=0$ である。よって $L_a$ は単射である。$R$ は有限集合なので、有限集合から自分自身への単射は全射である（鳩の巣原理）。したがって $ab=1$ となる $b\in R$ がある。次に
   $$ a(ba)=(ab)a=1a=a=a1 $$
   であり、$L_a$ の単射性から $ba=1$ である。よって $ab=ba=1$ となり、$a$ は単元である。
2. 写像 $x\mapsto xa$ について同じ議論をすればよい。$xa=ya$ なら $(x-y)a=0$ から $x=y$ なので単射、したがって全射であり、$ca=1$ となる $c$ がある。$(ac)a=a(ca)=a=1a$ と右からの掛け算の単射性から $ac=1$ である。
3. 単元は零因子でない（環 の記事の命題（単元と零因子））。逆に零因子でない元は左零因子でないので、1 により単元である。
4. $ab=1$ とし、$b$ を考える。$bx=0$ なら $x=1x=(ab)x=a(bx)=0$ だから、$b$ は左零因子でない。1 により $b$ は単元であり、prop-unit-ring-left-right により $b$ の左逆元 $a$ は $b^{-1}$ に等しい（$a=a(bb^{-1})=(ab)b^{-1}=b^{-1}$）。よって $ba=bb^{-1}=1$ である。

1. $s:=1+x+\cdots+x^{m-1}$ とおくと、分配法則により
   $$ (1-x)s=(1+x+\cdots+x^{m-1})-(x+x^2+\cdots+x^m)=1-x^m=1 $$
   であり、同様に $s(1-x)=1-x^m=1$ である。よって $1-x$ は単元で $(1-x)^{-1}=s$ である。$-x$ も冪零（$(-x)^m=\pm x^m=0$）なので、$1+x=1-(-x)$ も単元である。
2. $R$ が可換なら $(u^{-1}x)^m=u^{-m}x^m=0$ なので $u^{-1}x$ は冪零であり、1 により $1+u^{-1}x$ は単元である。よって $u+x=u(1+u^{-1}x)$ は単元の積であり、単元である。

$0$ でない多項式 $f=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$（$a_m\neq0$）の次数を $\deg f=m$ とする。$0$ でない $f,g\in A[x]$ について、$f$ の最高次係数を $a_m$、$g$ の最高次係数を $b_l$ とすると、$fg$ の $x^{m+l}$ の係数は $a_mb_l$ であり、それより高い次数の項はない。$A$ は整域なので $a_mb_l\neq0$ であり、
$$ \deg(fg)=\deg f+\deg g $$
が成り立つ。
$f\in A[x]^\times$ とし、$fg=1$ とする。$f\neq0$、$g\neq0$ であり（$0\cdot g=0\neq1$。整域では $1\neq0$）、上の式から $\deg f+\deg g=\deg1=0$ である。次数は非負なので $\deg f=\deg g=0$、すなわち $f=a_0$、$g=b_0$ は定数で $a_0b_0=1$ である。よって $a_0\in A^\times$ である。逆に $a\in A^\times$ なら $aa^{-1}=1$ は $A[x]$ の中でも成り立つので $a\in A[x]^\times$ である。体 $k$ では $k^\times=k\setminus\{0\}$ だから最後の主張が従う。

$\sqrt2$ は無理数なので、$a+b\sqrt2$（$a,b\in\mathbb{Z}$）の表示は一意である（$a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$、$b\neq d$ なら $\sqrt2=(a-c)/(d-b)\in\mathbb{Q}$ となる）。したがって写像 $\sigma(a+b\sqrt2):=a-b\sqrt2$ が定まる。$\sigma$ は加法を保ち、
$$ (a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2,\qquad (a-b\sqrt2)(c-d\sqrt2)=(ac+2bd)-(ad+bc)\sqrt2 $$
から乗法も保つ。

1. $N(\alpha)=\alpha\,\sigma(\alpha)$ である（$(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)=a^2-2b^2$）。よって $N(\alpha\beta)=\alpha\beta\,\sigma(\alpha)\sigma(\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ である。
2. $\alpha\beta=1$ なら 1 により $N(\alpha)N(\beta)=N(1)=1$ であり、$N(\alpha),N(\beta)$ は整数だから $N(\alpha)=\pm1$ である。逆に $N(\alpha)=\pm1$ なら $\alpha\cdot(\pm\sigma(\alpha))=\pm N(\alpha)=1$ であり、$\pm\sigma(\alpha)\in\mathbb{Z}[\sqrt2]$ だから $\alpha$ は単元である。
3. $N(\varepsilon)=1-2=-1$ なので 2 により $\varepsilon$ は単元であり、$\varepsilon^{-1}=-\sigma(\varepsilon)=-1+\sqrt2$ である。したがって $\pm\varepsilon^n$（$n\in\mathbb{Z}$）はすべて単元である。$\varepsilon>1$ なので $n\mapsto\varepsilon^n$ は狭義単調増加であり、$\varepsilon^n$ は互いに異なる。よって単元群は無限集合である。
   残りは、任意の単元 $\alpha$ が $\pm\varepsilon^n$ の形であることを示すことである。単元は $0$ でない実数なので、必要なら $-\alpha$ に取り替えて $\alpha>0$ としてよい。$\varepsilon>1$ だから $\varepsilon^n\leq\alpha<\varepsilon^{n+1}$ となる整数 $n$ があり、$\beta:=\alpha\varepsilon^{-n}$ は $1\leq\beta<\varepsilon$ を満たす単元である。$\beta=1$ を示せばよい。
   $1<\beta<\varepsilon$ と仮定し、$\beta=a+b\sqrt2$（$a,b\in\mathbb{Z}$）と書く。2 により $\beta\,\sigma(\beta)=N(\beta)=\pm1$ なので $|\sigma(\beta)|=1/\beta<1$ である。すると
   $$ a=\frac{\beta+\sigma(\beta)}{2}>\frac{1-1}{2}=0,\qquad b\sqrt2=\frac{\beta-\sigma(\beta)}{2}>\frac{1-1}{2}=0 $$
   であり、$a,b$ は正の整数、すなわち $a\geq1$、$b\geq1$ である。よって $\beta=a+b\sqrt2\geq1+\sqrt2=\varepsilon$ となり、$\beta<\varepsilon$ に反する。したがって $\beta=1$、$\alpha=\varepsilon^n$ である。