Hahn分解定理

同義語：Hahnの分解定理Hahn decomposition theorem

概要

前提知識: 測度, σ-代数, Lebesgue積分

測度は集合に $0$ 以上の値を割り当てるが、電荷の分布や 2 つの確率測度の差のように、負の値もとる可算加法的な集合関数を考えたいことがある。そのような集合関数を符号付き測度（signed measure）という。Hahn 分解定理（Hahn decomposition theorem）は、符号付き測度 $\nu$ について、全体の集合 $X$ を、$\nu$ が「正の部分」としてふるまう可測集合 $P$ と「負の部分」としてふるまう可測集合 $N=X\setminus P$ に分けられる、という定理である。ここで $P$ が正の部分としてふるまうとは、$P$ に含まれるすべての可測集合の $\nu$ の値が $0$ 以上であることをいう。この分け方は一意ではないが、$\nu$ についての零集合（その中のすべての可測集合の値が $0$ である集合）の違いを除けば一意である。
Hahn 分解から、$\nu^+(E):=\nu(E\cap P)$、$\nu^-(E):=-\nu(E\cap N)$ とおくと、$\nu$ は互いに特異な 2 つの測度の差 $\nu=\nu^+-\nu^-$ に書ける（Jordan 分解）。これにより、符号付き測度の問題の多くは 2 つの測度の問題に帰着する。全変動測度 $\lvert\nu\rvert=\nu^++\nu^-$ も Jordan 分解から定まる。

符号付き測度

以下、$(X,\mathcal{S})$ を可測空間（集合 $X$ とその上の σ-代数 $\mathcal{S}$ の組）とする。$(-\infty,\infty]$ の中の和では、$\infty$ を含む和は $\infty$ と約束する。

符号付き測度

写像 $\nu\colon\mathcal{S}\to(-\infty,\infty]$ が次の 2 条件をみたすとき、$\nu$ を $(X,\mathcal{S})$ 上の符号付き測度という。

$\nu(\emptyset)=0$。
（可算加法性）$E_1,E_2,\ldots\in\mathcal{S}$ が互いに交わらないならば $\nu\bigl(\bigcup_nE_n\bigr)=\sum_n\nu(E_n)$。ここで右辺は、左辺が実数のときは実数の級数として収束し、左辺が $\infty$ のときは $\infty$ に等しい。
値を $[-\infty,\infty)$ にとる写像についても同様に定め、これも符号付き測度という。

$\nu$ が $[-\infty,\infty)$ に値をとる符号付き測度であることは、$-\nu$ が $(-\infty,\infty]$ に値をとる符号付き測度であることと同じである。$+\infty$ と $-\infty$ の両方をとることは許さない。互いに交わらない $A,B$ で $\nu(A)=\infty$、$\nu(B)=-\infty$ となると、$\nu(A\cup B)$ が $\infty+(-\infty)$ になって定まらないからである。測度は符号付き測度である。
可算加法性で左辺が実数のとき、右辺の級数は絶対収束する。実際、このとき各項も実数であり、$E_n$ の番号を並べ替えても和集合は変わらないので、級数はどの並べ替えでも同じ値に収束し、Riemannの再配列定理により絶対収束する。

測度の差と密度

$\alpha,\beta$ を $(X,\mathcal{S})$ 上の測度とし、$\beta$ は有限（$\beta(X)<\infty$）とすると、$\nu(E):=\alpha(E)-\beta(E)$ は $(-\infty,\infty]$ に値をとる符号付き測度である。
$\mu$ を測度、$f\colon X\to[-\infty,\infty]$ を可測関数とし、$\int f^-\,d\mu<\infty$（$f^\pm:=\max(\pm f,0)$）とする。$\nu(E):=\int_Ef^+\,d\mu-\int_Ef^-\,d\mu$ は 1 の形の符号付き測度である。

1 の可算加法性は、$\alpha$ と $\beta$ の可算加法性の式の差をとればよい（$\beta$ の側の級数は有限の値に収束する）。2 で $E\mapsto\int_Ef^\pm\,d\mu$ が測度であることは、指示関数の部分和に Lebesgue積分の記事の定理「単調収束定理」を当てればわかる。

正集合・負集合・零集合とHahn分解

$\nu$ を符号付き測度とする。$A\in\mathcal{S}$ が

正集合であるとは、$B\subset A$ をみたすすべての $B\in\mathcal{S}$ について $\nu(B)\ge0$ であることをいう。
負集合であるとは、$B\subset A$ をみたすすべての $B\in\mathcal{S}$ について $\nu(B)\le0$ であることをいう。
$\nu$-零集合であるとは、正集合かつ負集合であること、すなわち $B\subset A$ をみたすすべての $B\in\mathcal{S}$ について $\nu(B)=0$ であることをいう。
$P,N\in\mathcal{S}$ が $P\cap N=\emptyset$、$P\cup N=X$ をみたし、$P$ が正集合、$N$ が負集合であるとき、組 $(P,N)$ を $\nu$ の Hahn 分解という。

$\nu(A)=0$ であっても $A$ が $\nu$-零集合とは限らない。たとえば $\mathbb{R}$ の上の $\nu:=\delta_0-\delta_1$（$\delta_a$ は点 $a$ の Dirac 測度、すなわち $a\in E$ なら $\delta_a(E)=1$、そうでなければ $0$）について $\nu(\{0,1\})=0$ だが、$\nu(\{0\})=1$ である。測度については、$\nu$-零集合は測度が $0$ の可測集合のことである。

符号付き測度の基本性質

$\nu\colon\mathcal{S}\to(-\infty,\infty]$ を符号付き測度とする。

$E,F\in\mathcal{S}$、$E\subset F$、$\nu(F)<\infty$ ならば $\nu(E)<\infty$ である。
正集合の可測な部分集合は正集合であり、負集合の可測な部分集合は負集合である（$[-\infty,\infty)$ に値をとる符号付き測度でも同じである）。
可算個の負集合の和集合は負集合である。可算個の正集合の和集合も正集合である。

1：$\nu(F)=\nu(E)+\nu(F\setminus E)$ であり、右辺の 2 項はどちらも $-\infty$ でない。$\nu(E)=\infty$ なら $\nu(F)=\infty$ となるので、$\nu(E)<\infty$ である。
2 は定義から明らかである。
3：$A_1,A_2,\ldots$ を負集合とし、$B_1:=A_1$、$B_n:=A_n\setminus(A_1\cup\dots\cup A_{n-1})$ とおく。$B_n$ は互いに交わらず、和集合は $\bigcup_nA_n$ であり、$B_n\subset A_n$ である。可測集合 $C\subset\bigcup_nA_n$ について、$C\cap B_n\subset A_n$ なので $\nu(C\cap B_n)\le0$ であり、可算加法性により $\nu(C)=\sum_n\nu(C\cap B_n)\le0$ である。正集合についても同様である。$\square$

Hahn 分解定理

証明の鍵は、値が負の集合からは、値がそれ以下の負集合を取り出せるという補題である。負の集合の中に正の値をとる部分があれば、それを大きいものから順に取り除いていく。

負集合の取り出し

$\nu\colon\mathcal{S}\to(-\infty,\infty]$ を符号付き測度とし、$E\in\mathcal{S}$、$\nu(E)<0$ とする。このとき負集合 $A\subset E$ で $\nu(A)\le\nu(E)$ となるものがある。

$\nu(E)$ は負の実数であり、lem-hahn-basic の 1 により $E$ の可測な部分集合の値はすべて実数である。$E$ の互いに交わらない可測な部分集合 $B_1,B_2,\ldots$ と正の整数 $n_1,n_2,\ldots$ を、次のように順に選ぶ。$B_1,\dots,B_{k-1}$ まで選んだとし、$F_k:=E\setminus(B_1\cup\dots\cup B_{k-1})$ とおく（$F_1=E$）。$F_k$ が負集合なら、そこで止める。そうでなければ $\nu(B)>0$ となる可測集合 $B\subset F_k$ があるので、可測集合 $B\subset F_k$ で $\nu(B)\ge1/n$ となるものがある最小の正の整数 $n$ を $n_k$ とし、そのような $B$ を 1 つ選んで $B_k$ とする。
途中で止まった場合は $A:=F_k$ とおく。$A$ は負集合で、$\nu(B_i)\ge0$ なので $\nu(A)=\nu(E)-\sum_{i< k}\nu(B_i)\le\nu(E)$ である。
止まらなかった場合は $A:=E\setminus\bigcup_kB_k$ とおく。可算加法性により $\nu(E)=\nu(A)+\sum_k\nu(B_k)$ であり、$\nu(E)$、$\nu(A)$ は実数なので $\sum_k\nu(B_k)$ は収束する。$\nu(B_k)\ge1/n_k$ なので $n_k\to\infty$ であり、$\nu(B_k)\ge0$ から $\nu(A)\le\nu(E)$ である。$A$ が負集合であることを示す。可測集合 $C\subset A$ で $\nu(C)>0$ となるものがあったとし、$\nu(C)\ge1/m$ となる正の整数 $m$ をとる。$n_k>m$ となる $k$ をとると、$C\subset A\subset F_k$ なので、$F_k$ の中に値が $1/m$ 以上の可測集合があることになり、$n_k$ の最小性に反する。$\square$

Hahn分解定理

$\nu$ を $(X,\mathcal{S})$ 上の符号付き測度とする。

$\nu$ の Hahn 分解 $(P,N)$ が存在する。
$(P,N)$、$(P',N')$ がともに $\nu$ の Hahn 分解ならば、対称差 $P\triangle P'=N\triangle N'$ は $\nu$-零集合である。

存在．まず $\nu$ が $(-\infty,\infty]$ に値をとる場合を示す。空集合は負集合なので、
$$ L:=\inf\{\nu(A)\mid A\text{ は負集合}\}\in[-\infty,0] $$
が定まる。負集合の列 $A_1,A_2,\ldots$ で $\nu(A_n)\to L$ となるものをとり、$N:=\bigcup_nA_n$ とおく。lem-hahn-basic の 3 により $N$ は負集合なので $\nu(N)\ge L$ である。一方、各 $n$ で $N\setminus A_n\subset N$ は負集合の部分集合なので $\nu(N\setminus A_n)\le0$ であり、$\nu(N)=\nu(A_n)+\nu(N\setminus A_n)\le\nu(A_n)$ である。$n\to\infty$ として $\nu(N)\le L$ を得る。よって $\nu(N)=L$ であり、$\nu$ は $-\infty$ をとらないので $L$ は実数である。
$P:=X\setminus N$ が正集合であることを示す。可測集合 $B\subset P$ で $\nu(B)<0$ となるものがあったとすると、lem-hahn-negative-subset により負集合 $A\subset B$ で $\nu(A)\le\nu(B)<0$ となるものがある。$N\cup A$ は負集合（lem-hahn-basic の 3）で、$A\cap N=\emptyset$ なので $\nu(N\cup A)=L+\nu(A)< L$ となり、$L$ の定義に反する。よって $(P,N)$ は Hahn 分解である。
$\nu$ が $[-\infty,\infty)$ に値をとる場合は、$-\nu$ の Hahn 分解 $(P_0,N_0)$ をとれば $(N_0,P_0)$ が $\nu$ の Hahn 分解である。
零集合を除いた一意性．$P\setminus P'=P\cap N'$ は、正集合 $P$ の部分集合なので正集合であり、負集合 $N'$ の部分集合なので負集合でもある（lem-hahn-basic の 2）。よって $\nu$-零集合である。同様に $P'\setminus P$ も $\nu$-零集合であり、$P\triangle P'$ の可測な部分集合 $C$ は $C\cap(P\setminus P')$ と $C\cap(P'\setminus P)$ の互いに交わらない和なので $\nu(C)=0$ である。$N=X\setminus P$、$N'=X\setminus P'$ なので $N\triangle N'=P\triangle P'$ である。$\square$

一意性は「零集合を除いて」までしか成り立たない。$\nu$-零集合 $Z$ があれば、Hahn 分解 $(P,N)$ から $(P\cup Z,N\setminus Z)$ も Hahn 分解になる（ex-hahn-dirac）。

Jordan 分解と全変動

2 つの測度 $\alpha,\beta$ が互いに特異であるとは、$A\cap B=\emptyset$、$A\cup B=X$ となる $A,B\in\mathcal{S}$ で $\alpha(B)=0$、$\beta(A)=0$ となるものがあることをいい、$\alpha\perp\beta$ と書く。$\alpha$ は $A$ の上に、$\beta$ は $B$ の上に載っている。

Jordan分解

$\nu$ を符号付き測度とし、$(P,N)$ をその Hahn 分解とする。$E\in\mathcal{S}$ について
$$ \nu^+(E):=\nu(E\cap P),\qquad\nu^-(E):=-\nu(E\cap N) $$
とおく。

$\nu^+,\nu^-$ は測度で、$\nu=\nu^+-\nu^-$、$\nu^+\perp\nu^-$ である。$\nu$ が $-\infty$ をとらなければ $\nu^-$ は有限であり、$\nu$ が $+\infty$ をとらなければ $\nu^+$ は有限である。
$\nu^+(E)=\sup\{\nu(F)\mid F\in\mathcal{S},\ F\subset E\}$、$\nu^-(E)=\sup\{-\nu(F)\mid F\in\mathcal{S},\ F\subset E\}$ である。とくに $\nu^\pm$ は Hahn 分解の選び方によらない。
（一意性）$\alpha,\beta$ を測度で、少なくとも一方は有限、$\nu=\alpha-\beta$、$\alpha\perp\beta$ とすると、$\alpha=\nu^+$、$\beta=\nu^-$ である。

1：$P$ は正集合なので $\nu^+$ は $0$ 以上の値をとり、$\nu$ の可算加法性から測度である。$\nu^-$ も同様である。$\nu(E)=\nu(E\cap P)+\nu(E\cap N)=\nu^+(E)-\nu^-(E)$ であり、$\nu^+(N)=0$、$\nu^-(P)=0$ なので互いに特異である。$\nu$ が $-\infty$ をとらなければ $\nu^-(X)=-\nu(N)<\infty$ であり、もう一方も同様である。
2：$F\subset E$ が可測なら、$\nu(F)=\nu^+(F)-\nu^-(F)\le\nu^+(F)\le\nu^+(E)$ である（$\nu^-(F)=\infty$ のときは $\nu(F)=-\infty$ で不等式は自明）。$F:=E\cap P$ で等号が成り立つ。$\nu^-$ も同様である。右辺は $(P,N)$ によらないので、$\nu^\pm$ も $(P,N)$ によらない。
3：$A,B$ を $\alpha\perp\beta$ を与える集合とする。可測集合 $C\subset A$ について $\beta(C)\le\beta(A)=0$ なので $\nu(C)=\alpha(C)\ge0$ であり、$C\subset B$ については $\nu(C)=-\beta(C)\le0$ である。よって $(A,B)$ は $\nu$ の Hahn 分解であり、2 により $\nu^+(E)=\nu(E\cap A)=\alpha(E\cap A)=\alpha(E)$（$\alpha(E\cap B)=0$ による）である。同様に $\nu^-=\beta$ である。$\square$

全変動測度

符号付き測度 $\nu$ について、測度 $\lvert\nu\rvert:=\nu^++\nu^-$ を $\nu$ の全変動測度といい、$\lvert\nu\rvert(X)$ を $\nu$ の全変動という。

全変動の性質

$\nu$ を符号付き測度、$E\in\mathcal{S}$ とする。

$\lvert\nu\rvert(E)=\sup\Bigl\{\sum_{i=1}^m\lvert\nu(E_i)\rvert\Bigm|E_1,\dots,E_m\in\mathcal{S}\text{ は互いに交わらず }E_1\cup\dots\cup E_m=E\Bigr\}$ である。
$\lvert\nu(E)\rvert\le\lvert\nu\rvert(E)$ である。
$E$ が $\nu$-零集合であることと、$\lvert\nu\rvert(E)=0$ であることは同値である。

1：各 $i$ で $\lvert\nu(E_i)\rvert=\lvert\nu^+(E_i)-\nu^-(E_i)\rvert\le\nu^+(E_i)+\nu^-(E_i)$ なので、和は $\lvert\nu\rvert(E)$ 以下である。分割 $E\cap P$、$E\cap N$ では $\lvert\nu(E\cap P)\rvert+\lvert\nu(E\cap N)\rvert=\nu^+(E)+\nu^-(E)$ となり、上限に達する。2 は 1 で $m=1$ とした場合である。3：$\lvert\nu\rvert(E)=0$ なら、可測集合 $C\subset E$ について 2 により $\lvert\nu(C)\rvert\le\lvert\nu\rvert(C)\le\lvert\nu\rvert(E)=0$ である。逆に $E$ が $\nu$-零集合なら $\nu^+(E)=\nu(E\cap P)=0$、$\nu^-(E)=-\nu(E\cap N)=0$ である。$\square$

1 の右辺とそれに同値な形は、有限な符号付き測度の全変動の定義としてよく使われる（Radon測度の記事の定義「符号付き測度と全変動」、Axler20 9.8・9.9）。

例

密度で与えられる符号付き測度

$\mu$ を測度、$f\colon X\to[-\infty,\infty]$ を可測関数で $\int f^-\,d\mu<\infty$ とし、$\nu(E):=\int_Ef^+\,d\mu-\int_Ef^-\,d\mu$ とおく（ex-hahn-difference の 2）。このとき $P:=\{f\ge0\}$、$N:=\{f<0\}$ は $\nu$ の Hahn 分解であり、
$$ \nu^+(E)=\int_Ef^+\,d\mu,\qquad\nu^-(E)=\int_Ef^-\,d\mu,\qquad\lvert\nu\rvert(E)=\int_E\lvert f\rvert\,d\mu $$
である。

確かめる

可測集合 $B\subset P$ では $f^-=0$ なので $\nu(B)=\int_Bf^+\,d\mu\ge0$、$B\subset N$ では $f^+=0$ なので $\nu(B)=-\int_Bf^-\,d\mu\le0$ である。$\nu^+(E)=\nu(E\cap P)=\int_{E\cap P}f^+\,d\mu=\int_Ef^+\,d\mu$（$N$ の上で $f^+=0$）であり、$\nu^-$ も同様である。最後の式は $\lvert f\rvert=f^++f^-$ と積分の線形性による。

$\{f=0\}$ は $\nu$-零集合であり、その任意の可測な部分集合を $P$ から $N$ に移しても Hahn 分解のままである。

点の質量の差

$\mathbb{R}$ の Borel 集合全体の上で $\nu:=\delta_0-\delta_1$ とする。$0\in P$、$1\notin P$ をみたす任意の Borel 集合 $P$ について、$(P,\mathbb{R}\setminus P)$ は $\nu$ の Hahn 分解である。2 つの Hahn 分解の正集合の対称差は $\{0,1\}$ と交わらず、$\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$ は $\nu$-零集合なので、thm-hahn-main の 2 と合っている。Jordan 分解は $\nu^+=\delta_0$、$\nu^-=\delta_1$、全変動は $\lvert\nu\rvert(\mathbb{R})=2$ である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
可算加法性（有限加法性だけにする）	$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 上の $\sum_{n\in E}2^{-n-1}-2\cdot1_U(E)$（$U$ は非主超フィルター）	Hahn 分解の存在
$\alpha\perp\beta$（Jordan 分解の一意性で）	$\lambda$ の制限による $\nu=\lambda_{[0,1]}-\lambda_{[1,2]}$ の 2 通りの表し方	差としての表し方の一意性

反例：有限加法的だが可算加法的でない集合関数

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ の上の非主超フィルター $U$ を 1 つとる（超フィルターの記事の定理「超フィルターへの拡張」。選択公理を使う）。$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ の上で
$$ \nu(E):=\sum_{n\in E}2^{-n-1}-2\cdot1_U(E) $$
とおく。ここで $1_U(E)$ は、$E\in U$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。$\nu$ は有限加法的で値は実数だが、Hahn 分解をもたない。

確かめる

有限加法性：第 1 項は可算加法的である。$E\mapsto1_U(E)$ は、互いに交わらない $E,F$ について $1_U(E\cup F)=1_U(E)+1_U(F)$ をみたす（超フィルターの記事の命題「超フィルターと二値測度」）。

Hahn 分解がないこと：$(P,N)$ を、$\mathbb{N}$ の互いに交わらない 2 つの部分集合で和が $\mathbb{N}$ のものとする。超フィルターの性質から $P$ と $N$ のちょうど一方が $U$ に属する。$P\in U$ なら $\nu(P)\le\sum_n2^{-n-1}-2=-1<0$ なので、$P$ は正集合でない。$N\in U$ なら、非主超フィルターは有限集合を含まないので（超フィルターの記事の命題「有限集合を含めば主」）$N$ は空でなく、$n\in N$ について $\{n\}\notin U$ から $\nu(\{n\})=2^{-n-1}>0$ となり、$N$ は負集合でない。

可算加法的でないこと：$\nu(\mathbb{N})=1-2=-1$ だが、$\sum_n\nu(\{n\})=\sum_n2^{-n-1}=1$ である。

満たさない性質は可算加法性、破る含意は「有限加法的で実数値の集合関数は Hahn 分解をもつ」である。Hahn 分解定理の証明で可算加法性を使うのは、lem-hahn-basic の 3（負集合の可算個の和）と lem-hahn-negative-subset の取り除きの極限である。

反例：互いに特異でない差

$\lambda$ を $\mathbb{R}$ の Lebesgue 測度とし、Borel 集合 $I$ について $\lambda_I(E):=\lambda(E\cap I)$ と書く。$\nu:=\lambda_{[0,1]}-\lambda_{[1,2]}$ は
$$ \nu=\bigl(\lambda_{[0,1]}+\lambda_{[2,3]}\bigr)-\bigl(\lambda_{[1,2]}+\lambda_{[2,3]}\bigr) $$
とも書ける。どちらの表し方も有限な測度の差だが、後者の 2 つの測度は $[2,3]$ の上でともに正なので互いに特異でない。満たさない性質は $\alpha\perp\beta$、破る含意は「$\nu=\alpha-\beta$ と有限な測度の差に書けば $\alpha=\nu^+$ である」である。$\nu^+=\lambda_{[0,1]}$ であり、一般に $\nu=\alpha-\beta$ なら $\alpha\ge\nu^+$、$\beta\ge\nu^-$ である（thm-hahn-jordan の 2 から $\nu^+(E)=\sup_{F\subset E}(\alpha(F)-\beta(F))\le\alpha(E)$）。

補足

Radon–Nikodym の定理との関係：$\nu$ が有限な符号付き測度で、σ-有限な測度 $\mu$ について「$\mu(E)=0$ なら $\nu(E)=0$」をみたすとき、Jordan 分解の $\nu^+,\nu^-$ にそれぞれ Radon–Nikodymの定理を当てると、$\nu$ は ex-hahn-density の形に書ける（同記事の注意「符号付き測度・Lebesgue分解・双対性」）。
双対空間：コンパクト距離空間 $X$ の上の連続関数の空間の双対空間は、全変動をノルムとする有限な符号付き Borel 測度の空間と同一視できる（Radon測度の記事の定理「C(X)の双対空間」）。
関数の Jordan 分解：有界変動関数を 2 つの単調増加関数の差に書く分解も Jordan 分解と呼ばれる（単調関数の記事の定理「Jordan 分解」）。この記事の分解は集合関数についてのものである。
文献：符号付き測度を $(-\infty,\infty]$ に値をとる集合関数として扱う流儀は Bass24 Definition 12.1（p. 103）にあり、負集合の取り出しは Proposition 12.4（pp. 104–105）、Hahn 分解定理は Theorem 12.5（pp. 105–106）、Jordan 分解は Theorem 12.8（pp. 107–108）にある。Axler20 9.23（p. 267）は有限な符号付き測度について、$\nu$ の値の上限を与える集合を作る別の証明を与えている。