和公式(多重ゼータ値)
概要
和公式(多重ゼータ値)（sum formula）とは、多重ゼータ値において重さ $k$ と深さ $r$ を固定した許容インデックスにわたる和が $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(k)$ となる定理、およびインデックスの情報を固定した和を簡明に表す等式の総称である。$r=2$ では Euler の公式を与え、スター値では右辺に $\binom{k-1}{r-1}$ が掛かる。部分分数分解や対称式による証明があり、正規化・重み付き・制限付き、補間・有限・対称多重ゼータ値への変種もある。
前提知識: 多重ゼータ値, Riemannゼータ関数, 対称多項式, 部分分数分解, 二項係数
定義
多重ゼータ値の記法（インデックス・許容インデックス・重さ・深さ・高さ・縮約インデックス $\preceq$・$\oplus$・矢印記法・$\{1\}^n$ など）は公開記事 多重ゼータ値 のものを用いる。
正整数 $k,r$ に対し、重さ $k$ かつ深さ $r$ のインデックス全体の集合を $I(k,r)$ と書く。整数 $1\le i\le r$ に対し、$I(k,r)$ の元のうち $i$ 番目の成分が $2$ 以上であるもの全体を $I_i(k,r)$ と書く。特に $I_r(k,r)$ は重さ $k$、深さ $r$ の許容インデックス全体であり、これを $I_0(k,r)$ とも書く。さらに高さ $s$ の許容インデックス全体を $I_0(k,r,s)$ と書く。$I(k,r)$ の元の個数は $\binom{k-1}{r-1}$、$I_0(k,r)$ の元の個数は $\binom{k-2}{r-1}$ である（$k>r$ のとき）。
多重ゼータ値やその変種に関して、インデックスのある情報（重さ・深さ・高さ・特定の成分の下限など）を固定してゼータ値の和を取ったとき、その和がより少ない個数の量（典型的には深さ $1$ の値）で簡明に書けるという形の等式を総称して和公式（sum formula）という。最も基本的なものは、重さ $k$ と深さ $r$ を固定した許容インデックスにわたる和が $\zeta(k)$ に等しいという thm-sum-formula-mzv-main であり、単に和公式といえばこれを指す。
直感
重さ $k$ の許容インデックスは $2^{k-2}$ 個あるが、対応する多重ゼータ値が張る有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の空間の次元は、Zagier の次元予想が正しければはるかに小さい（多重ゼータ値の記事を参照）。したがって多重ゼータ値の間には多くの線形関係式があるはずである。和公式は、その中でも「深さと重さを固定した値をすべて足すと深さ $1$ に落ちる」という、もっとも見通しのよい関係式である。Hoffman Hof92 が予想（sum conjecture）として提出し、Granville Gra97 と Zagier が独立に証明した。証明の要点は、和を取ることによって各項の分母 $n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}$ の指数の配分が消え、部分分数分解を通して深さが $1$ に落ちることである。
例
$k=3$、$r=2$ のとき $I_0(3,2)=\{(1,2)\}$ であり、和公式は Euler の等式 $\zeta(1,2)=\zeta(3)$ になる。$k=4$ のとき、$r=2$ では $I_0(4,2)=\{(1,3),(2,2)\}$ なので $\zeta(1,3)+\zeta(2,2)=\zeta(4)$、$r=3$ では $I_0(4,3)=\{(1,1,2)\}$ なので $\zeta(1,1,2)=\zeta(4)$ である。$\zeta(2,2)=\pi^4/120=\frac{3}{4}\zeta(4)$（多重ゼータ値の記事の例）と合わせると $\zeta(1,3)=\frac{1}{4}\zeta(4)=\pi^4/360$ を得る。
$r=2$ のとき、和公式は整数 $k\ge 3$ に対し
$$\zeta(1,k-1)+\zeta(2,k-2)+\cdots+\zeta(k-2,2)=\zeta(k)$$
と読める。これは Euler が得た等式である。例えば $k=5$ では $\zeta(1,4)+\zeta(2,3)+\zeta(3,2)=\zeta(5)$ となる。
$r=k-1$ のとき $I_0(k,k-1)=\{(\{1\}^{k-2},2)\}$ であり、和公式は $\zeta(\{1\}^{k-2},2)=\zeta(k)$ を主張する。これは双対性（$(\{1\}^{k-2},2)^{\dagger}=(k)$、多重ゼータ値の記事の定理）からも従う。
和公式の左辺で $\zeta$ を多重ゼータスター値 $\zeta^{\star}$ に置き換えると等式は破れる。例えば $k=3$、$r=2$ では $\zeta^{\star}(1,2)=\zeta(1,2)+\zeta(3)=2\zeta(3)\ne\zeta(3)$ である。正しくは $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})=\binom{k-1}{r-1}\zeta(k)$ が成り立つ（thm-sum-formula-mzv-variants-mzv）。また、重さ・深さに加えて高さも固定した和 $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta(\boldsymbol{k})$ は一般には $\zeta(k)$ の有理数倍ではなく、Ohno–Zagier の定理（多重ゼータ値の記事）が示すように $\zeta(2),\zeta(3),\ldots$ の多項式になる。すなわち「和が深さ $1$ の一つの値になる」という性質は、和の範囲を高さで細分すると破れる。
性質
主定理
正整数 $k>r$ に対し
$$\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(k)$$
が成り立つ。すなわち、重さ $k$、深さ $r$ の多重ゼータ値の総和は $\zeta(k)$ に等しい。
証明は Granville Gra97 の方針に沿い、以下の三つの補題に分けて行う。lem-sum-formula-mzv-partial-fraction で、指数の配分にわたる和を部分分数分解により深さ $1$ の量の和に書き換える。lem-sum-formula-mzv-harmonic-tail で、得られた和に現れる「$m$ より大きい変数」の寄与を完全対称式で表す。lem-sum-formula-mzv-symmetric で、基本対称式と完全対称式の間の古典的な関係式により、すべてが $m^{-r}$ にまとまることを見る。証明はこれで完結する。Ohno の関係式（多重ゼータ値の記事）の特別な場合として導く方法や、連結和を用いる方法（Seki–Yamamoto SY19）もある。
相異なる正整数 $n_1,\ldots,n_r$ と整数 $N\ge r$ に対し
$$\sum_{\substack{a_1,\ldots,a_r\ge 1\\ a_1+\cdots+a_r=N}}\frac{1}{n_1^{a_1}\cdots n_r^{a_r}}=\sum_{j=1}^{r}\frac{1}{n_j^{N-r+1}}\prod_{\substack{1\le i\le r\\ i\ne j}}\frac{1}{n_i-n_j}$$
が成り立つ。
$x$ を不定元とし、有理関数 $\prod_{i=1}^{r}\dfrac{1}{n_i-x}$ を考える。$c_j:=\prod_{i\ne j}(n_i-n_j)^{-1}$ とおくと、部分分数分解
$$\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{n_i-x}=\sum_{j=1}^{r}\frac{c_j}{n_j-x}$$
が成り立つ。実際、両辺に $\prod_i(n_i-x)$ を掛けた $1=\sum_j c_j\prod_{i\ne j}(n_i-x)$ の右辺は $x$ の $r-1$ 次以下の多項式で、$x=n_j$ を代入すると $c_j\prod_{i\ne j}(n_i-n_j)=1$ となるので、両辺は $r$ 個の相異なる点で一致し、したがって恒等的に等しい。
両辺を $x$ の形式的冪級数として展開する。$\dfrac{1}{n-x}=\sum_{b\ge 0}\dfrac{x^{b}}{n^{b+1}}$ なので、左辺に $x^{r}$ を掛けたものは $\prod_{i}\dfrac{x}{n_i-x}=\prod_i\sum_{a_i\ge 1}\dfrac{x^{a_i}}{n_i^{a_i}}$ であり、その $x^{N}$ の係数は主張の左辺である。右辺に $x^{r}$ を掛けたものの $x^{N}$ の係数は $\sum_j c_j\,n_j^{-(N-r+1)}$ である。$\square$
正整数 $m$ と非負整数 $s$ に対し
$$D_s(m):=\sum_{0< l_1<\cdots< l_s}\frac{1}{l_1\cdots l_s\,(l_s+m)}\qquad(s\ge 1),\qquad D_0(m):=\frac{1}{m}$$
とおく（$D_s(m)$ は正項級数として収束する）。このとき
$$D_s(m)=\frac{1}{m}\,h_s\Bigl(1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{m}\Bigr)=\frac{1}{m}\sum_{0< l_1\le\cdots\le l_s\le m}\frac{1}{l_1\cdots l_s}$$
が成り立つ。ここで $h_s$ は $s$ 次の完全対称式（$h_0=1$）である。
$0\le x<1$ に対し $L_s(x):=\sum_{0< l_1<\cdots< l_s}\dfrac{x^{l_s}}{l_1\cdots l_s}$（$s\ge 1$）、$L_0(x):=1$ とおく。$L_s(x)\le\sum_{l_s\ge 1}x^{l_s}l_s^{s-1}/l_s$ の形の評価から $|x|<1$ で絶対収束し、項別微分により
$$L_s'(x)=\sum_{0< l_1<\cdots< l_{s-1}}\frac{1}{l_1\cdots l_{s-1}}\sum_{l_s>l_{s-1}}x^{l_s-1}=\sum_{0< l_1<\cdots< l_{s-1}}\frac{x^{l_{s-1}}}{l_1\cdots l_{s-1}}\cdot\frac{1}{1-x}=\frac{L_{s-1}(x)}{1-x}$$
が成り立つ（$s=1$ のときは $L_1'(x)=\sum_{l\ge 1}x^{l-1}=1/(1-x)$）。関数 $\dfrac{(-\log(1-x))^{s}}{s!}$ も同じ漸化式（微分すると $\dfrac{(-\log(1-x))^{s-1}}{(s-1)!}\cdot\dfrac{1}{1-x}$）と初期値（$x=0$ で $s\ge 1$ なら $0$、$s=0$ なら $1$）を満たすので、$s$ に関する帰納法により
$$L_s(x)=\frac{(-\log(1-x))^{s}}{s!}\qquad(0\le x<1)$$
である。
次に、$s\ge 1$ のとき $\dfrac{1}{l_s+m}=\int_0^1x^{l_s+m-1}\,dx$ を用い、正項級数と正の被積分関数に対する Tonelli の定理（Fubiniの定理）で和と積分を交換すると
$$D_s(m)=\int_0^1x^{m-1}L_s(x)\,dx=\int_0^1x^{m-1}\frac{(-\log(1-x))^{s}}{s!}\,dx$$
を得る（$s=0$ でもこの式は $\int_0^1x^{m-1}dx=1/m$ となり正しい）。$0\le y<1$ に対し、$\sum_{s\ge 0}\dfrac{(-\log(1-x))^{s}}{s!}y^{s}=e^{-y\log(1-x)}=(1-x)^{-y}$ なので、再び Tonelli の定理により
$$\sum_{s\ge 0}D_s(m)\,y^{s}=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{-y}\,dx=:J_m(y)$$
である。$J_1(y)=\int_0^1(1-x)^{-y}dx=\dfrac{1}{1-y}$ であり、$m\ge 2$ のとき部分積分により
$$J_m(y)=\Bigl[-\frac{x^{m-1}(1-x)^{1-y}}{1-y}\Bigr]_0^1+\frac{m-1}{1-y}\int_0^1x^{m-2}(1-x)^{1-y}\,dx=\frac{m-1}{1-y}\bigl(J_{m-1}(y)-J_m(y)\bigr)$$
（境界項は $1-y>0$ により消える）、すなわち $(m-y)J_m(y)=(m-1)J_{m-1}(y)$ である。よって帰納法により
$$J_m(y)=\frac{(m-1)!}{(1-y)(2-y)\cdots(m-y)}=\frac{1}{m}\prod_{j=1}^{m}\frac{1}{1-y/j}=\frac{1}{m}\prod_{j=1}^{m}\sum_{b\ge 0}\frac{y^{b}}{j^{b}}=\frac{1}{m}\sum_{s\ge 0}h_s\Bigl(1,\ldots,\frac{1}{m}\Bigr)y^{s}$$
となる（完全対称式の母関数 $\prod_j(1-x_jy)^{-1}=\sum_s h_s(x_1,\ldots,x_m)y^{s}$、Mac95 Chapter I §2）。$y\in[0,1)$ で成り立つ二つの冪級数の等式から係数を比較して主張を得る。$\square$
変数の有限集合 $X=\{x_1,\ldots,x_m\}$ に対し $e_a(X)$ を $a$ 次の基本対称式、$h_b(X)$ を $b$ 次の完全対称式とする（$e_0=h_0=1$、$a>m$ のとき $e_a=0$）。このとき正整数 $n$ に対し $\sum_{a=0}^{n}(-1)^{a}e_a(X)h_{n-a}(X)=0$ である。また $X'=X\setminus\{x_m\}$ とおくと、非負整数 $r$ に対し
$$\sum_{a=0}^{r}(-1)^{a}e_a(X')\,h_{r-a}(X)=x_m^{r}$$
が成り立つ。
母関数 $E(y)=\prod_{j}(1-x_jy)=\sum_a(-1)^ae_a(X)y^a$ と $H(y)=\prod_j(1-x_jy)^{-1}=\sum_bh_b(X)y^b$ は $E(y)H(y)=1$ を満たすので、$y^{n}$（$n\ge 1$）の係数を比較して第1の等式を得る。第2の等式については、$H_X(y)=H_{X'}(y)\cdot(1-x_my)^{-1}$ から $h_b(X)=\sum_{c=0}^{b}x_m^{c}h_{b-c}(X')$ であり、
$$\sum_{a=0}^{r}(-1)^ae_a(X')h_{r-a}(X)=\sum_{c=0}^{r}x_m^{c}\sum_{a=0}^{r-c}(-1)^{a}e_a(X')h_{r-c-a}(X')=\sum_{c=0}^{r}x_m^{c}\,\delta_{r-c,0}=x_m^{r}$$
となる（内側の和は第1の等式を $X'$ に適用したもので、$r-c\ge 1$ なら $0$、$r-c=0$ なら $1$）。$X'$ が空集合のとき（$m=1$）は $e_a(\emptyset)=h_b(\emptyset)=\delta_{a,0}$、$\delta_{b,0}$ と解釈すれば同じ計算が通用する。$\square$
thm-sum-formula-mzv-main を証明する。$k>r\ge 1$ を固定し、$S:=\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta(\boldsymbol{k})$ とおく。許容インデックス $(k_1,\ldots,k_r)$ を $a_i=k_i$（$i< r$）、$a_r=k_r-1$ と書き換えると、$k_r\ge 2$ の条件は $a_r\ge 1$ になり、$a_1+\cdots+a_r=k-1$ である。よって、すべての項が正であることから和の順序を交換して
$$S=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_r}\sum_{\substack{a_1,\ldots,a_r\ge 1\\ a_1+\cdots+a_r=k-1}}\frac{1}{n_1^{a_1}\cdots n_r^{a_r}}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_r}\sum_{j=1}^{r}\frac{1}{n_j^{k-r}}\prod_{i\ne j}\frac{1}{n_i-n_j}$$
を得る。ここで lem-sum-formula-mzv-partial-fraction を $N=k-1\ge r$ に対して用いた。
右辺の二重和を、$j$ と $m:=n_j$ の値で分類して並べ替える。$n_j=m$ を固定すると、$i< j$ に対し $n_i< m$ なので $\dfrac{1}{n_i-m}=-\dfrac{1}{m-n_i}$ であり、$i>j$ に対し $n_i>m$ である。したがって
$$\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_r\\ n_j=m}}\frac{1}{n_r}\prod_{i\ne j}\frac{1}{n_i-m}=(-1)^{j-1}\Bigl(\sum_{0< n_1<\cdots< n_{j-1}< m}\prod_{i< j}\frac{1}{m-n_i}\Bigr)\Bigl(\sum_{m< n_{j+1}<\cdots< n_r}\frac{1}{n_r}\prod_{i>j}\frac{1}{n_i-m}\Bigr)$$
である（$j=r$ のときは右側の括弧を $1/m$ と読む）。左側の括弧は、$m-n_i$ が $\{1,\ldots,m-1\}$ の相異なる $j-1$ 個の元を渡るので、基本対称式 $e_{j-1}(X'_m)$、$X'_m:=\{1,\frac12,\ldots,\frac{1}{m-1}\}$ に等しい。右側の括弧は、$l_i:=n_i-m$ とおくと $D_{r-j}(m)$（lem-sum-formula-mzv-harmonic-tail）に等しく、同補題により $\frac{1}{m}h_{r-j}(X_m)$、$X_m:=\{1,\frac12,\ldots,\frac1m\}$ である。
並べ替えの正当性を確かめる。$k-r\ge 1$ なので各項の絶対値は $\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{1}{n_r}\prod_{i\ne j}\dfrac{1}{|n_i-m|}$ で抑えられ、その $j$ と $m$ を固定した総和は上と同じ計算で $\dfrac{1}{m^2}e_{j-1}(X'_m)h_{r-j}(X_m)\le\dfrac{(1+\log m)^{r-1}}{m^2}$ 以下である（$e_a(X'_m),h_b(X_m)\le(\sum_{l\le m}1/l)^{a+b}$ かつ $a+b=r-1$、および $\sum_{l\le m}1/l\le 1+\log m$）。$\sum_m(1+\log m)^{r-1}m^{-2}<\infty$ なので、二重和は絶対収束し、並べ替えは許される。
以上により、lem-sum-formula-mzv-symmetric を $X=X_m$、$X'=X'_m$、$x_m=1/m$ に適用して
$$S=\sum_{m\ge 1}\frac{1}{m^{k-r}}\sum_{j=1}^{r}(-1)^{j-1}e_{j-1}(X'_m)\cdot\frac{1}{m}h_{r-j}(X_m)=\sum_{m\ge 1}\frac{1}{m^{k-r+1}}\sum_{a=0}^{r-1}(-1)^{a}e_a(X'_m)h_{r-1-a}(X_m)=\sum_{m\ge 1}\frac{1}{m^{k-r+1}}\cdot\frac{1}{m^{r-1}}=\zeta(k)$$
を得る。$\square$
整数 $k\ge 3$ に対し $\sum_{a=1}^{k-2}\zeta(a,k-a)=\zeta(k)$ であり、$\zeta(\{1\}^{k-2},2)=\zeta(k)$ である。また、正整数 $k>r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta(\boldsymbol{k})$ は $r$ によらない。
いずれも thm-sum-formula-mzv-main を $r=2$、$r=k-1$ に適用し、あるいは右辺が $r$ によらないことを見ればよい。$\square$
多重ゼータ値の和公式の変種
以下では、和公式の名で呼ばれる関係式を列挙する。証明はいずれも原論文に譲る。
整数 $a\ge2$、$k\ge r$ に対し
$$\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k,r)}\zeta(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=0}^{k-r}(-1)^i\binom{k-i}{r}\zeta(\{a\}^i)\zeta^\star(\{a\}^{k-i})$$
が成り立つ。また $k>r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^\star(\boldsymbol{k})=\binom{k-1}{r-1}\zeta(k)$ である。前者は Komori–Matsumoto–Tsumura KMT11、後者は Hoffman Hof92 による。旧稿に列挙していた他の精密な変種は、一次資料との再校合が完了するまで収録を保留する。
補間多重ゼータ値の和公式
$\zeta^{t}$ を補間多重ゼータ値（$\zeta^{0}=\zeta$、$\zeta^{1}=\zeta^{\star}$）とし、$\zeta^{t,\mathbin{\text{ш}}}$ をそのシャッフル正規化とする。正整数 $k,r$ に対し次が成り立つ。
- $k>r$ に対し $\displaystyle\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{t}(\boldsymbol{k})=\Bigl(\sum_{j=0}^{r-1}\binom{k-1}{j}t^{j}(1-t)^{r-1-j}\Bigr)\zeta(k)$。
- $\displaystyle\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k+r,r)}\zeta^{t,\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k})=\sum_{i=1}^{r}(-1)^{i-1}t^{r-i}\sum_{\substack{\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_i)\in I(k+r,i)\\ k_i>k}}\binom{k_i}{k+1}\zeta^{t}(k_1,\ldots,k_i)$。
- $\displaystyle\zeta^{t}(\{1\}^{r-1},k+1)=\sum_{j=1}^{\min\{k,r\}}(-1)^{j-1}\sum_{\substack{\boldsymbol{k}\in I(k,j)\\ (l,\boldsymbol{l})\in I(r,j)}}\frac{1-t^{l}}{1-t}\zeta(\boldsymbol{k}\oplus(l,\boldsymbol{l}))$。
- 整数 $a\ge 2$、$k\ge r$ に対し $\displaystyle\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k,r)}\zeta^{t}(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\min\{r,i\}}(-1)^{i+j}\binom{k-j}{k-r}\binom{i}{j}t^{r-j}\zeta(\{a\}^{i})\zeta^{\star}(\{a\}^{k-i})$。
- は Yamamoto Yam13 Theorem 1.1 による。$t=0$ で thm-sum-formula-mzv-main、$t=1$ でスター和公式に帰着し、完全な証明は公開記事 補間多重ゼータ値 に与える。(2)〜(4) は Li Li19 による。(2) は Kaneko–Sakata のシャッフル正規化和公式、(3) は Kaneko–Sakata 型和公式、(4) は直前に述べた Komori–Matsumoto–Tsumura の倍数公式型和公式の補間版である。未定義の重み $D$ に依存する Guo–Xie 型の明示式は、一次資料と記号を校合するまで収録を保留する。
有限・対称多重ゼータ値の和公式
以下、$\mathcal{F}$ は $\mathcal{A}$ または $\mathcal{S}$ を表し、$\zeta_{\mathcal{A}}$、$\zeta_{\mathcal{A}}^{\star}$ は有限多重ゼータ値、$\zeta_{\mathcal{S}}$、$\zeta_{\mathcal{S}}^{\star}$ は対称多重ゼータ値である。$\zeta_{\mathcal{S}_n}$ は $t$ 進対称多重ゼータ値を $t^{n}$ を法として見たもの（$\zeta_{\mathcal{S}_1}=\zeta_{\mathcal{S}}$）であり、$\zeta_{\mathcal{A}_n}$ はその有限版（$p^{n}$ を法とした有限多重ゼータ値、公開記事 有限多重ゼータ値 を参照）である。$\Lambda$ は $\mathcal{F}=\mathcal{A}$ のとき $\boldsymbol{p}=(p)_p$ を、$\mathcal{F}=\mathcal{S}$ のとき $t$ を表す。深さ $1$ の値として、$\mathcal{F}=\mathcal{S}$ のとき $Z_{\mathcal{S}}(k):=\zeta(k)$、$\mathcal{F}=\mathcal{A}$ のとき $Z_{\mathcal{A}}(k):=(B_{p-k}/k\bmod p)_p\in\mathcal{A}$（$B_n$ は Bernoulli 数）とおく。
旧稿では $\mathcal F_n$ の正規化、$Z_{\mathcal A}(k)$、$Z_{\mathcal S}(k)$、$\Lambda$、偶奇条件および $I_i(k,r)$ の範囲を推定した多数の公式を列挙していた。各一次資料との照合が完了していないため、本版ではそれらを定理として主張しない。有限・対称版の再収録は、対象ごとに正規化と成立条件を固定し、低重さ検算を通した後に行う。
多重ゼータ値のさらに別の変種についても和公式が知られている。Hoffman Hof17 と Kaneko–Tsumura KT20 の多重 $T$ 値 $T(\boldsymbol{k})$ に対しては、Kaneko–Tsumura KT20 による重み付き和公式 $\sum_{j=1}^{k-2}2^{k-j-1}T(j,k-j)=(k-1)T(k)$（$k\ge 3$）があり、Takeyama はその母関数版（重さ・深さ・高さを固定した和の指数関数による表示）を、Berger–Chandra–Jain–Xu–Xu–Zhao は深さ $3$ の重み付き和公式 $\sum_{(k_1,k_2,k_3)\in I_0(k,3)}2^{k_2}(3^{k_3-1}-1)T(k_1,k_2,k_3)=\frac23(k-1)(k-2)T(k)$（$k\ge 4$）を与えている。Igarashi はパラメータ $\alpha$（$\mathrm{Re}\,\alpha>0$）付きの多重ゼータ値 $Z(\boldsymbol{k};\alpha)$ に対する Ohno の関係式を示し、その系として $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}Z(\boldsymbol{k};\alpha)=Z(k;\alpha)$ を得ている。Mordell–Tornheim 型多重ゼータ値 $\zeta_{MT}$ については Pallewatta が深さ $3,4$ の和公式 $\sum_{(k_1,k_2,k_3)\in I(k,3)}\zeta_{MT}(k_1,k_2;k_3)=(k-1)\zeta(k)$、$\sum_{(k_1,\ldots,k_4)\in I(k,4)}\zeta_{MT}(k_1,k_2,k_3;k_4)=\frac{(k-1)(k+4)}{4}\zeta(k)$（$k\ge 3$）を示し、深さ $5$ については $\sum_{(k_1,\ldots,k_5)\in I(2k+1,5)}\zeta_{MT}(k_1,\ldots,k_4;k_5)=k(2k+3)\zeta(2k+1)+\frac13\sum_{i=0}^{k-1}(2i-1)(2i-2)(2-2^{2k+1-2i})\zeta(2i)\zeta(2k+1-2i)$（$k\ge 2$）が予想として掲げられている。これらの記述と書誌は Hirose の公式集（SS2018）に基づく。
補足
和公式は、多重ゼータ値の関係式の中で最初に予想され証明されたものの一つであり、Ohno の関係式・巡回和公式・正規化複シャッフル関係式・積分級数等式のいずれからも導かれる（多重ゼータ値の記事を参照）。本記事の証明（prf-sum-formula-mzv-main）は、部分分数分解と対称式の恒等式だけを使う初等的なもので、Granville Gra97 の方法に基づく。変種の理論では、和公式の右辺が変種ごとに異なる係数（スター値では $\binom{k-1}{r-1}$、補間値では $t$ の多項式、有限・対称値では Bernoulli 数や $\zeta(k)$ の $\mathbb{Q}$ 線形結合）を持つことが特徴であり、これらは各変種の複シャッフル型関係式の構造の違いを反映している。
関連項目
参考文献
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