藤田指数

1 と 2 は $\Phi>0$ と $\int\Phi(y,t)\,dy=1$ から従い、4 は $\Phi(x-y,t)\le(4\pi t)^{-n/2}$ から従う。3 は Fubini の定理で積分の順序を入れ替え（$\Phi$ の積分が $1$ で $g$ は有界なので絶対収束する）、熱方程式 の命題「熱核の性質」の 3（$\int\Phi(x-z,t)\Phi(z-y,s)\,dz=\Phi(x-y,t+s)$）を使えばよい。$s=0$ または $t=0$ の場合は明らかである。$\square$

1．$u(\tau)=S(\tau)u_0+\int_0^\tau S(\tau-s)[u(s)^p]\,ds$ に $S(r)$ を当て、Tonelli の定理で $S(r)$ を $s$ の積分の中に入れて lem-fe-semigroup の 3 を使う。
2 と 3．$t>\tau$ について、1 を $r=t-\tau$ で使うと
$$ S(t-\tau)[u(\tau)]+\int_0^{t-\tau}S(t-\tau-\sigma)[u(\tau+\sigma)^p]\,d\sigma=S(t)u_0+\int_0^tS(t-s)[u(s)^p]\,ds $$
である（第 2 項で $s=\tau+\sigma$ と置換した）。2 では右辺が $u(t)$ なので左辺は $v(t-\tau)$ の mild 解の式になる。3 では同じ計算を、左辺の $u(\tau+\sigma)$ を $w(\tau+\sigma)=v(\sigma)$ に、右辺の $u$ を $w$ に置き換えて行う（$s\le\tau$ では $w=u$ なので 1 が使える）。すると左辺は $v(t-\tau)=w(t)$、右辺は $\Gamma_{u_0}[w](t)$ になる。$t\le\tau$ では $w=u$ なので明らかである。$\square$

1．$X$ を、$\mathbb{R}^n\times[0,T_0]$ 上の Borel 可測関数で $0\le u\le2M$ を満たすもの全体とし、上限ノルムの距離を入れる。Borel 可測関数の一様極限は Borel 可測なので $X$ は完備である。$u\in X$ なら $\Gamma_{u_0}[u]$ は Borel 可測で、lem-fe-semigroup の 1・2 から $0\le\Gamma_{u_0}[u]\le M+T_0(2M)^p\le2M$ である（$T_0(2M)^p=M/p< M$）。$a,b\in[0,2M]$ なら平均値の定理から $|a^p-b^p|\le p(2M)^{p-1}|a-b|$ なので、$u,v\in X$ について
$$ \bigl|\Gamma_{u_0}[u]-\Gamma_{u_0}[v]\bigr|(x,t)\le\int_0^tS(t-s)\bigl[p(2M)^{p-1}\|u-v\|\bigr]ds\le T_0\,p\,(2M)^{p-1}\|u-v\|=\tfrac12\|u-v\| $$
である。Banachの不動点定理 の定理「Banach の不動点定理」により不動点 $u\in X$ がある。これが求める mild 解である。
2．$u,v$ をその 2 つの解とし、$T'< T$ を固定して、$\mathbb{R}^n\times[0,T']$ で $u,v\le K$ とする。$L:=pK^{p-1}$、$D(t):=\sup\{|u(x,s)-v(x,s)|: x\in\mathbb{R}^n,\ 0\le s\le t\}$ とおく。$t\le T'$ なら、上と同じ評価で $|u-v|(x,t)\le\int_0^tL\,D(t)\,ds=Lt\,D(t)$ なので $D(t)\le Lt\,D(t)$ であり、$t< 1/L$ なら $D(t)=0$ である。$\tau:=1/(2L)$ とすると $u=v$ が $[0,\tau]$ で成り立ち、lem-fe-shift の 2 により $u(\cdot+\tau)$ と $v(\cdot+\tau)$ は同じ初期値 $u(\tau)=v(\tau)$ の mild 解で、$[0,T'-\tau]$ で同じ $K$ で押さえられる。同じ議論を繰り返すと有限回で $[0,T']$ 全体で $u=v$ となる。$T'< T$ は任意である。$\square$

そうでなければ、$t_k\to T^*$ となる列と $M>0$ で $\sup_xu(x,t_k)\le M$ となるものがある。$T_0=T_0(M)$ を thm-fe-local のとおりとし、$t_k>T^*-T_0$ となる $k$ をとる。初期値 $u(\cdot,t_k)$ の $[0,T_0]$ 上の mild 解を lem-fe-shift の 3 で $u$ に貼り合わせると、$[0,t_k+T_0)$ 上の mild 解が得られ、$t_k+T_0>T^*$ は最大存在時間の定義に反する。$\square$

$a:=S(T)u_0(x_0)$ とおく。$a=0$ なら示すことはないので $a>0$ とする。$0\le t< T$ について
$$ w(t):=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x_0-y,T-t)\,u(y,t)\,dy=S(T-t)[u(t)](x_0) $$
とおく。$u$ は $[0,t]$ で有界なので $w(t)$ は有限である。mild 解の式に $S(T-t)$ を当て、Tonelli の定理と lem-fe-semigroup の 3 を使うと
$$ w(t)=a+\int_0^tS(T-s)[u(s)^p](x_0)\,ds $$
である。$y\mapsto\Phi(x_0-y,T-s)$ は確率密度で、$r\mapsto r^p$ は $[0,\infty)$ で凸なので、Jensenの不等式 の定理「Jensenの不等式」により $S(T-s)[u(s)^p](x_0)\ge w(s)^p$ である。よって
$$ w(t)\ge W(t):=a+\int_0^tw(s)^p\,ds\qquad(0\le t< T) $$
である。$t'< T$ を固定すると、$w$ は $[0,t']$ で有界な可測関数なので $W$ は $[0,t']$ で Lipschitz 連続で、$W\ge a>0$、ほとんどすべての $t$ で $W'(t)=w(t)^p\ge W(t)^p$ である。$r\mapsto r^{1-p}$ は $[a,\infty)$ で Lipschitz 連続なので $G:=W^{1-p}$ も Lipschitz 連続で、ほとんどすべての $t$ で $G'=(1-p)W^{-p}W'\le-(p-1)$ である。Lipschitz 連続な関数は導関数の積分で表されるので、$0< G(t)\le a^{1-p}-(p-1)t$（$t\le t'$）である。$t'< T$ は任意なので、すべての $t< T$ で $(p-1)t< a^{1-p}$、したがって $(p-1)T\le a^{1-p}$ である。$\square$

$\Phi>0$ なので $S(1)g(0)>0$ である。$T^*(\lambda g)>1$ なら prop-fe-lifespan を $T=1$、$x_0=0$ で使って $(p-1)\lambda^{p-1}(S(1)g(0))^{p-1}\le1$ となり、$\lambda$ の仮定に反する。$\square$

$R>0$ を $m:=\int_{|y|\le R}u_0(y)\,dy>0$ となるようにとる。$T\ge1$ なら $|y|\le R$ で $e^{-|y|^2/(4T)}\ge e^{-R^2/4}$ なので
$$ S(T)u_0(0)\ge(4\pi T)^{-n/2}e^{-R^2/4}m=:c\,T^{-n/2}\qquad(c>0) $$
である。$T^*=\infty$ と仮定すると、すべての $T\ge1$ で prop-fe-lifespan が使えて
$$ (p-1)\,c^{p-1}\,T^{\,1-n(p-1)/2}\le(p-1)\,T\,\bigl(S(T)u_0(0)\bigr)^{p-1}\le1 $$
である。$p< 1+2/n$ なので指数 $1-n(p-1)/2$ は正で、$T\to\infty$ とすると左辺は $\infty$ に発散し、矛盾する。$\square$

$p-1=2/n$ である。$T^{n/2}S(T)u_0(0)=(4\pi)^{-n/2}\int e^{-|y|^2/(4T)}u_0(y)\,dy$ を見ると、被積分関数は $T$ について単調に増加して $u_0$ に収束するので、Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」により $T\to\infty$ で $(4\pi)^{-n/2}\int u_0\,dy$ に収束する。$T^*=\infty$ なら、すべての $T>0$ で prop-fe-lifespan から
$$ \frac2n\,\bigl(T^{n/2}S(T)u_0(0)\bigr)^{2/n}=\frac2n\,T\,\bigl(S(T)u_0(0)\bigr)^{2/n}\le1 $$
であり、$T\to\infty$ とすると仮定に反する。$\square$

要点：$U(t):=S(t)u_0$ とし、$V(t)=\lambda(t)U(t)$ の形の関数で $\Gamma_{u_0}[V]\le V$ となるものを作り、$0$ から始めた逐次近似を $V$ の下に閉じ込める。