被覆空間作用

$W\subset Y$ が開集合なら、$q^{-1}(q(W))=\bigcup_{g\in G}gW$ は開集合の和で開集合である。商位相の定義により $q(W)$ は開集合である。$\square$

1：$V:=q(U)$ は lem-csa-open により開集合で、$q^{-1}(V)=\bigcup_{g\in G}gU$ は互いに交わらない開集合の和である。$q|_U\colon U\to V$ は全射で連続であり、開集合 $U$ への制限なので開写像でもある。単射であることを示す。$u,u'\in U$ で $q(u)=q(u')$ なら $u'=gu$ となる $g$ があり、$u'\in U\cap gU$ なので $g=e$、すなわち $u=u'$ である。よって $q|_U$ は同相写像である。$q|_{gU}=q|_U\circ g^{-1}|_{gU}$ も同相写像なので、$V$ は均一に被覆される。各点が分離近傍をもつので $q$ は被覆写像である。ファイバーが軌道であることは定義から、$g\mapsto gy$ が単射であることは作用が自由であることから従う。
2：各 $g$ は同相写像で $q\circ g=q$ を満たすので被覆変換である。$Y$ が空でなく作用が自由なので、異なる元は異なる写像を定める。逆に $\sigma$ を被覆変換とし、点 $y_0\in Y$ をとる。$q(\sigma(y_0))=q(y_0)$ なので、$\sigma(y_0)=gy_0$ となる $g\in G$ がある。$\sigma$ と $g$ はどちらも $q$ の持ち上げ（$q\circ\sigma=q=q\circ g$）で $y_0$ において一致するので、$Y$ が連結であることから 被覆空間 の定理「持ち上げの一意性」により $\sigma=g$ である。ファイバーは軌道なので、$G$ はファイバーに推移的に作用する。$\square$

持ち上げ $\tilde\gamma$ は 被覆空間 の定理「道の持ち上げ」によりただ一つ存在し、$q(\tilde\gamma(1))=b_0$ から $\tilde\gamma(1)\in Gy_0$ である。$g$ の一意性は作用が自由であることによる。
1：$\gamma\simeq\gamma'$ なら、被覆空間 の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」により $\tilde\gamma(1)=\tilde\gamma'(1)$ なので、$\varphi$ は類の上で定まる。準同型であること：$\varphi[\gamma]=g$、$\varphi[\delta]=h$ とする。道 $t\mapsto g\tilde\delta(t)$ は $q\circ(g\tilde\delta)=q\circ\tilde\delta=\delta$ を満たし、$gy_0=\tilde\gamma(1)$ から始まるので、$\tilde\gamma$ とつないだ $\tilde\gamma\cdot(g\tilde\delta)$ は $\gamma\cdot\delta$ の $y_0$ からの持ち上げである。その終点は $ghy_0$ なので $\varphi([\gamma][\delta])=gh$ である。全射であること：$g\in G$ について、$Y$ は弧状連結なので $y_0$ から $gy_0$ への道 $\alpha$ がある。$q\circ\alpha$ は $b_0$ のループで、その $y_0$ からの持ち上げは $\alpha$ 自身なので、$\varphi[q\circ\alpha]=g$ である。
2：$\varphi[\gamma]=e$ なら $\tilde\gamma$ は $y_0$ のループで、$[\gamma]=[q\circ\tilde\gamma]=q_*[\tilde\gamma]$ である。逆に $y_0$ のループ $\alpha$ について、$q\circ\alpha$ の持ち上げは $\alpha$ で終点は $y_0$ なので、$\varphi(q_*[\alpha])=e$ である。
3：準同型定理による。$Y$ が単連結なら $q_*\pi_1(Y,y_0)$ は自明である。$\square$

$y$ と $U$ をとり（$U$ は開集合としてよい）、$F:=\{g\neq e\mid U\cap gU\neq\emptyset\}$ とおく。$g\in F$ について、作用は自由なので $gy\neq y$ であり、Hausdorff 性から互いに交わらない開集合 $O_g\ni y$、$T_g\ni gy$ がある。
$$ W:=U\cap\bigcap_{g\in F}\bigl(O_g\cap g^{-1}T_g\bigr) $$
は有限個の開集合の共通部分で、$y$ を含む（$gy\in T_g$）。$g\in F$ なら $W\subset O_g$、$gW\subset T_g$ なので $W\cap gW=\emptyset$ である。$g\notin F\cup\{e\}$ なら $W\cap gW\subset U\cap gU=\emptyset$ である。よって $W$ は分離近傍である。後半は $G$ が有限なら条件の集合が自動的に有限になることによる。$\square$

$q(y)\neq q(z)$ とすると、すべての $g$ について $gy\neq z$ である。各 $g$ について互いに交わらない開集合 $O_g\ni gy$、$P_g\ni z$ をとり、$U:=\bigcap_gg^{-1}O_g$、$V:=\bigcap_gP_g$ とおく。どちらも有限個の開集合の共通部分で、$y\in U$、$z\in V$ であり、$gU\subset O_g$、$V\subset P_g$ から $gU\cap V=\emptyset$（$g\in G$）である。lem-csa-open により $q(U)$、$q(V)$ は開集合で、$q(u)=q(v)$（$u\in U$、$v\in V$）なら $v=gu\in gU\cap V$ となって矛盾するので、二つは交わらない。$\square$

1：$(x,y)\in Y$ で $x\neq0$ とする。$U:=\{(x',y')\in Y\mid x'x>0,\ 2^{-1/2}|x|<|x'|<2^{1/2}|x|\}$ は開近傍で、$\phi^n(U)$ の点の第 1 座標の絶対値は区間 $(2^{n-1/2}|x|,2^{n+1/2}|x|)$ に入る。$n\neq0$ ならこの区間は $n=0$ の区間と交わらないので $U\cap\phi^n(U)=\emptyset$ である。$x=0$ なら $y\neq0$ で、第 2 座標について同じ議論をする（$\phi^n$ は第 2 座標を $2^{-n}$ 倍する）。
2：$p:=(1,0)$ と $p':=(0,1)$ の軌道はそれぞれ $x$ 軸上と $y$ 軸上にあるので、$q(p)\neq q(p')$ である。$w_n:=(1,2^{-n})$ とおくと $w_n\to p$、$\phi^{-n}(w_n)=(2^{-n},1)\to p'$ である。$q(p)$ と $q(p')$ が交わらない開近傍 $A,B$ をもつとすると、十分大きい $n$ で $w_n\in q^{-1}(A)$、$\phi^{-n}(w_n)\in q^{-1}(B)$ となり、$q(w_n)=q(\phi^{-n}(w_n))\in A\cap B$ が矛盾を生む。
3：四つの開半平面は $\phi$ で不変で、$Y$ を覆う。$\{x>0\}$ について、$\Psi(x,y):=(\log_2x,\,xy)$ は $\{x>0\}$ から $\mathbb R^2$ への同相写像（逆写像は $(s,t)\mapsto(2^s,2^{-s}t)$）で、$\Psi\circ\phi=\tau\circ\Psi$（$\tau(s,t):=(s+1,t)$）を満たす。不変な開集合 $W\subset Y$ について、$q|_W\colon W\to q(W)$ は開かつ連続な全射なので商写像であり、$q(W)$ は $W/\mathbb Z$ と同相である。よって $q(\{x>0\})\cong\mathbb R^2/\langle\tau\rangle\cong S^1\times\mathbb R$ である（最後の同相は $(s,t)\mapsto(e^{2\pi is},t)$ による）。ほかの三つも同様である（$\{y>0\}$ では $(-\log_2y,\,xy)$ を使う）。
4：$Y$ は $S^1$ を変位レトラクトにもつので $\pi_1(Y)\cong\mathbb Z$ であり（基本群 の注意「反例：円周は単連結でない」）、$q_*$ は単射である。$\square$