商加群

同義語：剰余加群quotient modulefactor module

概要

前提知識: 環, 加群, 部分加群, 剰余類
商加群は、加群 $M$ をその部分加群 $N$ で割って、$N$ の元をすべて $0$ とみなすことで得られる加群 $M/N$ である。ベクトル空間の商空間、アーベル群の剰余群、環をイデアルで割った剰余環の加法群は、どれも商加群の例である。商加群は「$N$ を $0$ に送る準同型」の普遍的なものとして特徴づけられ、準同型定理により、準同型の像はすべて商加群として表される。本記事では加群の記事と同じく、環は結合的で単位元 $1$ をもち、可換とは限らないものとし、加群は単位元が恒等的に作用する左加群とする。右加群についても左右を入れ替えて同じことが成り立つ。

定義

商加群

$R$ を環、$M$ を左 $R$ 加群、$N$ を $M$ の部分加群とする。$x\in M$ の $N$ による剰余類 $x+N=\{x+n\mid n\in N\}$ の全体を $M/N$ と書き、
$$ (x+N)+(y+N):=(x+y)+N,\qquad r(x+N):=rx+N\qquad(x,y\in M,\ r\in R) $$
と定める。これにより $M/N$ は左 $R$ 加群になる。これを $M$ の $N$ による 商加群（quotient module）または 剰余加群 といい、$M/N$ と書く。写像
$$ \pi\colon M\longrightarrow M/N,\qquad x\longmapsto x+N $$
を 標準射影 という。

演算が剰余類の代表元によらないことは次のように確かめられる。$x+N=x'+N$、$y+N=y'+N$ は $x-x'\in N$、$y-y'\in N$ を意味する。$N$ は加法について閉じているので $(x+y)-(x'+y')\in N$ であり、スカラー倍について閉じているので $rx-rx'=r(x-x')\in N$ である。加法群としての $M/N$ はアーベル群 $M$ の部分群 $N$ による剰余群であり、加群の公理は $M$ での等式を剰余類に移せば成り立つ（加群の記事の命題「商作用の定義可能性」）。
定義から、$\pi$ は加法とスカラー倍を保つ全射準同型であり、
$$ x+N=0+N\iff x\in N,\qquad\text{すなわち}\qquad\ker\pi=N $$
である。とくに、部分加群はちょうど何らかの準同型の核になる部分集合である。$N=0$ なら $\pi$ は同型 $M\cong M/0$ であり、$N=M$ なら $M/M=0$ は零加群である。

直感

$M/N$ では、$N$ の元の違いを無視して $M$ の元を見る。$x$ と $y$ が同じ元とみなされるのは $x-y\in N$ のときであり、これは整数の合同 $a\equiv b\pmod n$（$a-b\in n\mathbb{Z}$）の一般化である。部分加群 $N$ に属する元は $0$ になり、それ以外の元は「$N$ を法として」残る。このとき $N$ はスカラー倍で閉じているので、$M$ の元に環の元を掛ける操作も「$N$ を法として」矛盾なく行える。部分加群で割ることは、加群に「$N$ の元はすべて $0$ である」という関係式を課すことであり、生成元と関係式による加群の表示（自由加群の記事の命題「自由加群による表示」）は、この操作を自由加群に施したものである。

例と反例

整数の剰余類と格子の商

$n\ge1$ について、$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}$ の部分加群 $n\mathbb{Z}$ による商加群は、整数の剰余類の群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$\mathbb{Z}$ 加群の商加群はアーベル群の剰余群と同じものである（$\mathbb{Z}$ 加群の部分加群は部分群と同じものである。部分加群の記事の例「ベクトル空間とアーベル群」）。
$N=\{(2a,3b)\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{Z}^2$ とする。準同型 $f\colon\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、$(a,b)\mapsto(\bar a,\bar b)$ は全射で、$\ker f=N$ である。prop-quotient-module-universal により $\mathbb{Z}^2/N\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ であり、これは中国剰余定理により $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ と同型である。
$N=\mathbb{Z}(1,1)=\{(a,a)\mid a\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{Z}^2$ とする。準同型 $g\colon\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}$、$(a,b)\mapsto a-b$ は全射（$g(c,0)=c$）で、$\ker g=N$ である。よって $\mathbb{Z}^2/\mathbb{Z}(1,1)\cong\mathbb{Z}$ であり、この商加群は $\{(1,0)+N\}$ を基底とする自由加群である。2 と 3 を比べると、同じ自由加群 $\mathbb{Z}^2$ の商でも、捩れ元をもつ場合ともたない場合があることがわかる。

巡回加群と零化イデアル

$M$ を左 $R$ 加群、$m\in M$ とし、$\operatorname{Ann}(m):=\{r\in R\mid rm=0\}$ とおく。$\operatorname{Ann}(m)$ は $R$ の左イデアルであり、$R$ 加群の同型
$$ R/\operatorname{Ann}(m)\xrightarrow{\ \sim\ }Rm,\qquad r+\operatorname{Ann}(m)\longmapsto rm $$
がある。とくに、1 つの元で生成される加群（巡回加群）は、$R$ をある左イデアルで割った商加群と同型である。

$R$ を左からの乗法で左 $R$ 加群とみると、その部分加群は左イデアルである（部分加群の記事の例「環の左イデアル」）。$f\colon R\to M$、$r\mapsto rm$ は $f(r+s)=f(r)+f(s)$、$f(sr)=(sr)m=s(rm)=sf(r)$ を満たす準同型であり、像は $Rm$、核は $\operatorname{Ann}(m)$ である。核は部分加群なので $\operatorname{Ann}(m)$ は左イデアルである。prop-quotient-module-universal の 1・2 を $N=\ker f$ に適用すると、$\bar f\colon R/\operatorname{Ann}(m)\to Rm$ は全射かつ単射であり、同型である。

たとえば、体 $k$ 上のベクトル空間 $V$ と線形写像 $T\colon V\to V$ から $f\cdot v:=f(T)v$ で $k[x]$ 加群を作る（部分加群の記事の例「線形写像で不変な部分空間」）。$v\in V$ について $\operatorname{Ann}(v)$ は $f(T)v=0$ となる多項式 $f$ の全体であり、$k[x]v\cong k[x]/\operatorname{Ann}(v)$ である。$V=k^2$、$T(a,b)=(b,0)$、$v=(0,1)$ なら、$Tv=(1,0)$、$T^2v=0$ なので $\operatorname{Ann}(v)=(x^2)$ であり、$V=k[x]v\cong k[x]/(x^2)$ である。

ベクトル空間の商空間

体 $k$ 上のベクトル空間 $V$ と部分空間 $W$ について、商加群 $V/W$ は商空間である。$V$ が有限次元なら $\dim V/W=\dim V-\dim W$ である。実際、短完全列 $0\to W\to V\to V/W\to0$ は分裂し、$V\cong W\oplus V/W$ となる（短完全列の記事の命題「ベクトル空間の短完全列は分裂する」とその後の段落）。$W$ の基底を $V$ の基底に延長したとき、付け加えた基底ベクトルの像が $V/W$ の基底になる。

イデアル倍で割った加群

$A$ を可換環、$I$ を $A$ のイデアル、$M$ を $A$ 加群とし、$IM$ を $am$（$a\in I$、$m\in M$）の形の元の有限和の全体とする。$IM$ は $M$ の部分加群であり、商加群 $M/IM$ には
$$ (a+I)\cdot(m+IM):=am+IM $$
で $A/I$ 加群の構造が入る。実際、$a-a'\in I$ なら $am-a'm=(a-a')m\in IM$ であり、$m-m'\in IM$ なら $a(m-m')\in IM$（$IM$ は部分加群）なので、右辺は代表元によらない。加群の公理は $M$ での等式から従う。
たとえば $M=\mathbb{Z}^n$、$I=2\mathbb{Z}$ なら $IM=(2\mathbb{Z})^n$ であり、$M/IM\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上の $n$ 次元ベクトル空間である。この構成は、$I$ が極大イデアルのとき $M/IM$ を体 $A/I$ 上のベクトル空間とみる形で、自由加群の階数の一意性（自由加群の記事の定理「可換環上の階数の一意性」）や Nakayamaの補題で使われる。$M/IM$ はテンソル積 $(A/I)\otimes_AM$ と同型である（テンソル積の記事の命題「剰余環とのテンソル積」）。

捩れ部分加群による商

$A$ を整域、$M$ を $A$ 加群とし、$T(M)$ を $0$ でない $a\in A$ で $am=0$ となる元 $m$ の全体（捩れ部分加群。部分加群の記事の例「捩れ元の全体」）とする。このとき $M/T(M)$ は捩れをもたない。実際、$a\ne0$ と $m\in M$ について $a(m+T(M))=0$ なら $am\in T(M)$ なので、ある $b\ne0$ について $b(am)=(ba)m=0$ である。$A$ は整域なので $ba\ne0$ であり、$m\in T(M)$、すなわち $m+T(M)=0$ である。
たとえば $M=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ では $T(M)=0\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$M/T(M)\cong\mathbb{Z}$ である。整域の仮定は、$T(M)$ が部分加群になるためにも使っている（同じ例の 2 の反例）。

反例：部分加群でない部分群による商

$\mathbb{Q}$ を自分自身の上の加群とみると、加法群の部分群 $\mathbb{Z}$ は部分加群でない（部分加群の記事の例「反例：部分群だがスカラー倍で閉じない部分集合」）。このとき剰余群 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に $r(x+\mathbb{Z}):=rx+\mathbb{Z}$ でスカラー倍を定めようとしても、代表元によらない値にならない。実際、$1+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}$ であるが、2 つの代表元に $r=\tfrac12$ を掛けると $\tfrac12\cdot1+\mathbb{Z}=\tfrac12+\mathbb{Z}$ と $\tfrac12\cdot0+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}$ になり、$\tfrac12\notin\mathbb{Z}$ なのでこの 2 つは異なる。
この例が満たす性質は「$N$ は加法群の部分群である」こと、満たさない性質は「$N$ はスカラー倍で閉じている」ことであり、破る含意は「部分群で割った剰余群には、つねにもとの環の作用が入る」である。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ 加群としては $\mathbb{Q}$ の商加群であり、どの環の上の加群とみるかで割れる部分集合が変わる。

反例：商に受け継がれない性質

自由加群 $\mathbb{Z}$ の商加群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は自由でなく、捩れをもつ（自由加群の記事の例「反例：捩れ元をもつ加群」）。破る含意は「自由加群（または捩れをもたない加群）の商加群は自由（捩れをもたない）」である。一方、prop-quotient-module-finite の 1 により、有限生成性（有限生成加群）は商に受け継がれる。
部分加群が同型でも商加群は同型とは限らない。$2\mathbb{Z}$ と $3\mathbb{Z}$ はどちらも $\mathbb{Z}$ と同型な $\mathbb{Z}$ の部分加群であるが、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ は元の個数が違うので同型でない。破る含意は「$N\cong N'$ なら $M/N\cong M/N'$」である。
$M/N\cong L$ であっても $M\cong N\oplus L$ とは限らない。$M=\mathbb{Z}$、$N=2\mathbb{Z}$ なら $M/N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であるが、$\mathbb{Z}$ は位数 $2$ の元をもたないので $2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型でない。これは短完全列 $0\to2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to0$ が分裂しないことにあたる（短完全列の記事の例「反例：分裂しない短完全列」、部分加群の記事の命題「整数環における補加群の非存在」）。ベクトル空間では ex-quotient-module-vector-space のように $V\cong W\oplus V/W$ が成り立つので、破る含意は「ベクトル空間と同じく、加群は部分加群と商加群の直和に分解する」である。

性質

普遍性と同型定理

商加群は、$N$ を $0$ に送る準同型のうち最も一般的なものである。

商加群の普遍性

$N$ を左 $R$ 加群 $M$ の部分加群、$\pi\colon M\to M/N$ を標準射影とする。$f\colon M\to P$ を左 $R$ 加群の準同型で $N\subset\ker f$ を満たすものとすると、$\bar f\circ\pi=f$ を満たす準同型 $\bar f\colon M/N\to P$ がただ 1 つ存在する。さらに

$\operatorname{im}\bar f=\operatorname{im}f$ であり、$\bar f$ が全射であることと $f$ が全射であることは同値である。
$\ker\bar f=\pi(\ker f)=\ker f/N$ であり、$\bar f$ が単射であることと $\ker f=N$ であることは同値である。

$\bar f(x+N):=f(x)$ と定める。$x+N=x'+N$ なら $x-x'\in N\subset\ker f$ なので $f(x)=f(x')$ であり、$\bar f$ は代表元によらない。$\bar f((x+N)+(y+N))=f(x+y)=f(x)+f(y)$、$\bar f(r(x+N))=f(rx)=rf(x)$ なので $\bar f$ は準同型であり、定義から $\bar f\circ\pi=f$ である。$g\colon M/N\to P$ も $g\circ\pi=f$ を満たせば、$\pi$ は全射なので、任意の $x+N$ について $g(x+N)=f(x)=\bar f(x+N)$ となり $g=\bar f$ である。

$\bar f$ の値は $f$ の値であり、$f$ の値は $\bar f(x+N)$ の形なので、像は一致する。
$\bar f(x+N)=0$ は $f(x)=0$、すなわち $x\in\ker f$ と同値なので、$\ker\bar f=\{x+N\mid x\in\ker f\}=\pi(\ker f)$ である。$\ker f$ は $N$ を含む部分加群なので、これを $\ker f/N$ と書く。$\bar f$ が単射であることは $\ker\bar f=0$、すなわち $\ker f$ のすべての元 $x$ について $x+N=0$、つまり $\ker f\subset N$ と同値である。$N\subset\ker f$ と合わせて $\ker f=N$ と同値である。

$N=\ker f$ として 1・2 を合わせると、$\bar f\colon M/\ker f\to\operatorname{im}f$ は同型である。これが加群の準同型定理であり、加群の記事の定理「加群の準同型定理」で証明されている。準同型定理から、商加群について次の同型が得られる。

$L,N$ を $M$ の部分加群とすると $(N+L)/L\cong N/(N\cap L)$ である（部分加群の記事の節「商加群との対応」の最後の段落）。
$N\subset L$ なら $(M/N)/(L/N)\cong M/L$ である。さらに $L\mapsto L/N$ は、$N$ を含む $M$ の部分加群の全体と $M/N$ の部分加群の全体の間の、包含を保つ全単射である（部分加群の記事の定理「部分加群の対応定理」）。
普遍性から、商加群は同型を除いて一意に定まる。$q\colon M\to Q$ が「$N\subset\ker q$ であり、$N\subset\ker f$ を満たす任意の $f$ が $q$ を通って一意に分解する」という性質をもてば、$q$ と $\pi$ はそれぞれ相手を通って分解し、合成が恒等写像になることが一意性から従うので、$Q\cong M/N$ である。

余核と完全列

準同型 $f\colon M\to P$ の像 $\operatorname{im}f$ は $P$ の部分加群であり（部分加群の記事の命題「準同型による像と逆像」）、商加群
$$ \operatorname{coker}f:=P/\operatorname{im}f $$
を $f$ の余核という。prop-quotient-module-universal を $\operatorname{im}f\subset P$ に適用すると、$g\circ f=0$ を満たす準同型 $g\colon P\to P'$ はすべて $P\to\operatorname{coker}f$ を通って一意に分解する。これは圏論的な余核の普遍性であり（余核の記事の例「アーベル群・加群・ベクトル空間の圏」）、$f$ が全射であることは $\operatorname{coker}f=0$ と同値である。部分加群 $N\subset M$ について、包含写像と標準射影からなる列
$$ 0\longrightarrow N\longrightarrow M\xrightarrow{\ \pi\ }M/N\longrightarrow0 $$
は短完全列であり（短完全列の記事の例「部分加群と商加群」）、逆に任意の短完全列 $0\to N'\to M\xrightarrow{g}M''\to0$ では、$M''$ は準同型定理により $M/\ker g$ と同型である。すなわち、短完全列の右端はつねに商加群である。

有限生成性

有限生成性と商加群

$N$ を左 $R$ 加群 $M$ の部分加群とする。

$M$ が有限生成なら、$M/N$ も有限生成である。
$N$ と $M/N$ がともに有限生成なら、$M$ も有限生成である。

$M$ が $x_1,\dots,x_n$ で生成されるとする。$M/N$ の任意の元は $x+N$（$x\in M$）の形で、$x=\sum_ir_ix_i$ と書けるので $x+N=\sum_ir_i(x_i+N)$ である。よって $M/N$ は $x_1+N,\dots,x_n+N$ で生成される。
$N$ が $y_1,\dots,y_p$ で、$M/N$ が $z_1+N,\dots,z_q+N$（$z_j\in M$）で生成されるとする。$x\in M$ をとると、$x+N=\sum_js_j(z_j+N)$ となる $s_j\in R$ がある。すると $x-\sum_js_jz_j\in N$ なので、$x-\sum_js_jz_j=\sum_it_iy_i$ となる $t_i\in R$ がある。よって $x=\sum_js_jz_j+\sum_it_iy_i$ であり、$M$ は $y_1,\dots,y_p,z_1,\dots,z_q$ で生成される。

部分加群については 1 に当たることが成り立たない。$M$ が有限生成でも $N$ が有限生成とは限らず、有限生成加群 $A=k[x_1,x_2,\dots]$（$k$ は体）の部分加群 $(x_1,x_2,\dots)$ は有限生成でない（部分加群の記事の例「反例：有限生成加群の有限生成でない部分加群」）。また 2 で「$N$ が有限生成」は外せない。有限生成でない加群 $M$（たとえばこの $(x_1,x_2,\dots)$）と $N=M$ をとると、$M/N=0$ は有限生成であるが $M$ は有限生成でない。すべての部分加群が有限生成である加群（Noether加群）については、$M$ が Noether であることと、$N$ と $M/N$ がともに Noether であることが同値である（Noether加群の記事の命題「短完全列とNoether性」）。

局所化・テンソル積との両立

可換環 $A$ 上では、商加群をとる操作はほかの基本的な構成と両立する。

局所化：積閉集合 $S\subset A$ について $S^{-1}(M/N)\cong S^{-1}M/S^{-1}N$ である（局所化の記事の注意「部分加群・商加群との両立」）。
テンソル積：$A$ 加群 $P$ について、$P\otimes_A(M/N)$ は $P\otimes_AM$ を $p\otimes n$（$p\in P$、$n\in N$）の生成する部分加群で割った商加群と同型である。これはテンソル積の右完全性（テンソル積の記事の命題「テンソル積の右完全性」）を短完全列 $0\to N\to M\to M/N\to0$ に適用したものである。$N=IM$、$P=A/I$ の場合は ex-quotient-module-im の同型 $(A/I)\otimes_AM\cong M/IM$ と組み合わさる。

補足

剰余環・商対象との関係

環 $R$ を左からの乗法で左 $R$ 加群とみると、部分加群は左イデアルであり、左イデアル $L$ による商加群 $R/L$ が定まる。$L$ が両側イデアルなら $R/L$ は剰余環でもあり、その加法群と左からのスカラー倍は商加群 $R/L$ のものと一致する。$L$ が両側イデアルでない左イデアルのときは、$R/L$ は商加群であるが、積 $(a+L)(b+L):=ab+L$ は代表元によらずには定まらない。実際、$\ell r\notin L$ となる $\ell\in L$、$r\in R$ があり、$\ell+L=0+L$ であるのに $\ell r+L\ne0\cdot r+L$ となる（剰余環の記事の例「反例：片側イデアルによる剰余」）。
左 $R$ 加群の圏では、エピ射はちょうど全射な準同型である。全射がエピ射であることは明らかで、逆に $f\colon M\to P$ がエピ射なら、余核への標準射影 $q\colon P\to P/\operatorname{im}f$ と零写像はどちらも $f$ と合成すると $0$ になるので $q=0$、すなわち $P=\operatorname{im}f$ である。このとき、商加群 $M/N$ と標準射影 $\pi$ は $M$ の商対象（全射の同値類）の代表を与える。全射 $f\colon M\to P$ には、準同型定理による同型 $M/\ker f\cong P$ で $\pi$ が対応するからである（部分加群の記事の注意「圏論からの見方」）。商加群の定義と同型定理は AM69 Chapter 2、DF04 §10.2 にある。