長田–Smirnovの距離化定理

1。 $\mathcal{C}_n:=\{B\in\mathcal{B}_n\mid\overline B\subset W\}$、$U_n:=\bigcup_{B\in\mathcal{C}_n}B$ とおく。$\mathcal{C}_n$ は局所有限な $\mathcal{B}_n$ の部分集まりなので局所有限であり、局所有限な集まりの合併の閉包は閉包の合併である（開被覆 の命題「局所有限な族の閉包」）。よって $\overline{U_n}=\bigcup_{B\in\mathcal{C}_n}\overline B\subset W$ である。逆に $x\in W$ なら、正則性により $x\in W'\subset\overline{W'}\subset W$ となる開集合 $W'$ があり、開基の成員 $B$ で $x\in B\subset W'$ となるものがある。$B\in\mathcal{B}_n$ とすると $\overline B\subset\overline{W'}\subset W$ なので $B\in\mathcal{C}_n$、$x\in U_n$ である。よって $W=\bigcup_nU_n$。
2。 閉集合 $C$ に 1 を $W:=X\setminus C$ で当てはめると $C=\bigcap_n(X\setminus\overline{U_n})$ であり、各 $X\setminus\overline{U_n}$ は開集合である。
3。 1 を $X\setminus D$ に当てはめて、$\overline{U_n}\cap D=\emptyset$ かつ $C\subset\bigcup_nU_n$ となる開集合 $U_n$ を得る。同様に $\overline{V_n}\cap C=\emptyset$ かつ $D\subset\bigcup_nV_n$ となる開集合 $V_n$ を得る。
$$ U_n':=U_n\setminus\bigcup_{i\le n}\overline{V_i},\qquad V_n':=V_n\setminus\bigcup_{i\le n}\overline{U_i} $$
は有限個の閉集合を除いた開集合である。$C$ の点 $x$ は $\overline{V_i}$ のどれにも属さず、ある $U_n$ に属するので $x\in U_n'$ である。同様に $D\subset\bigcup_nV_n'$。$U:=\bigcup_nU_n'$、$V:=\bigcup_mV_m'$ とおく。$x\in U_n'\cap V_m'$ があったとし、$n\le m$ とすると、$x\in U_n\subset\overline{U_n}$ だが $V_m'$ は $\overline{U_n}$ を除いているので矛盾する。$n>m$ でも同様である。よって $U\cap V=\emptyset$。$\square$

$X\setminus B$ は閉集合なので、lem-ns-normal の 2 により $G_\delta$ 集合である。$X$ は正規性条件を満たす（同 3）ので、Urysohnの補題 の命題「零点集合がちょうど与えられた閉集合になる条件」により、連続関数 $g\colon X\to[0,1]$ で $g^{-1}(0)=X\setminus B$ となるものがある。$f_{n,B}:=g/n$ とおけばよい（各 $(n,B)$ ごとに 1 つ選ぶ）。$\square$

$X$ を $T_3$ 空間、$\mathcal{B}=\bigcup_n\mathcal{B}_n$ を $\sigma$-局所有限な開基とし、lem-ns-functions の関数 $f_{n,B}$（$n\ge1$、$B\in\mathcal{B}_n$）をとる。
$$ d(x,y):=\sup_{n\ge1,\ B\in\mathcal{B}_n}\bigl|f_{n,B}(x)-f_{n,B}(y)\bigr| $$
とおく。値はすべて $[0,1]$ に入るので $d(x,y)\le1$ であり、$d$ は対称で三角不等式を満たす（各項で三角不等式を使い、上限をとる）。
段 1（$d(x_0,\cdot)$ は $x_0$ で連続）。 $x_0\in X$、$\varepsilon>0$ とする。$1/N<\varepsilon/2$ となる $N$ をとる。各 $n\le N$ について、$x_0$ の開近傍 $U_n$ で $\mathcal{B}_n$ の有限個の成員 $B_1,\dots,B_k$ としか交わらないものをとる。それ以外の $B\in\mathcal{B}_n$ では $f_{n,B}$ は $U_n$ の上で恒等的に $0$ である。$f_{n,B_1},\dots,f_{n,B_k}$ は連続なので、$x_0$ の開近傍 $V_n\subset U_n$ で、$x\in V_n$ なら $|f_{n,B_j}(x)-f_{n,B_j}(x_0)|<\varepsilon/2$（$j=1,\dots,k$）となるものがある。$V:=V_1\cap\dots\cap V_N$ とする。$x\in V$ のとき、$n\le N$ の項は $\varepsilon/2$ 未満であり、$n>N$ の項は 2 つの値がともに $[0,1/n]$ に入るので $1/n<\varepsilon/2$ 以下である。よって $d(x,x_0)\le\varepsilon/2<\varepsilon$。
段 2（$d$ の開球は開集合）。 $y$ が $d$ の開球 $\{x\mid d(x_0,x)< r\}$ に属するとき、$s:=r-d(x_0,y)>0$ とおく。段 1 を $y$ と $s$ に当てはめると、$y$ の開近傍 $V$ で $d(x,y)< s$（$x\in V$）となるものがあり、三角不等式により $V$ は開球に含まれる。
段 3（開集合は $d$ の開球を含む）。 $O$ を開集合、$x_0\in O$ とする。開基の成員 $B\in\mathcal{B}_n$ で $x_0\in B\subset O$ となるものをとり、$c:=f_{n,B}(x_0)>0$ とおく。$d(x,x_0)< c$ なら $f_{n,B}(x)>f_{n,B}(x_0)-c=0$ なので $x\in B\subset O$ である。
段 4（$d$ は距離）。 $x\ne y$ とする。$T_1$ 性により $O:=X\setminus\{y\}$ は $x$ を含む開集合なので、段 3 により $d(x,y)\ge c>0$ となる $c$ がある。
段 2 と段 3 により、$d$ の定める位相は $X$ の位相に一致する。よって $X$ は距離化可能である。$\square$

整列可能定理により $\mathcal{U}$ に整列順序 $<$ を入れる（選択公理を使う）。$B(x,r)$ で開球を表す。$n\ge1$ と $U\in\mathcal{U}$ について
$$ S_n(U):=\{x\mid B(x,1/n)\subset U\},\qquad T_n(U):=S_n(U)\setminus\bigcup_{V< U}V $$
とおく。$V< W$、$x\in T_n(V)$、$y\in T_n(W)$ なら、$B(x,1/n)\subset V$ かつ $y\notin V$ なので $d(x,y)\ge1/n$ である。次に
$$ E_n(U):=\bigcup_{x\in T_n(U)}B\bigl(x,\tfrac1{3n}\bigr) $$
とおく。これは開集合で、$B(x,\frac1{3n})\subset B(x,\frac1n)\subset U$ より $E_n(U)\subset U$ である。$V\ne W$、$x'\in E_n(V)$、$y'\in E_n(W)$ なら、$d(x',x)<\frac1{3n}$、$d(y',y)<\frac1{3n}$ となる $x\in T_n(V)$、$y\in T_n(W)$ があるので
$$ d(x',y')\ge d(x,y)-d(x,x')-d(y,y')>\tfrac1n-\tfrac2{3n}=\tfrac1{3n} $$
である。$\mathcal{E}_n:=\{E_n(U)\mid U\in\mathcal{U}\}$ とする。任意の点 $z$ の開球 $B(z,\frac1{6n})$ の 2 点の距離は $\frac1{3n}$ 未満なので、この開球は $\mathcal{E}_n$ の高々 1 つの成員としか交わらない。よって $\mathcal{E}_n$ は離散的である。
最後に $\mathcal{E}$ が $X$ を覆うことを示す。$z\in X$ とし、$z$ を含む $\mathcal{U}$ の成員のうち $<$ について最小のものを $U$ とする。$U$ は開集合なので $B(z,1/n)\subset U$ となる $n$ があり、$z\in S_n(U)$ である。$U$ の最小性から、$V< U$ なる $V$ は $z$ を含まないので $z\in T_n(U)\subset E_n(U)$ である。$\square$

$X$ に距離 $d$ を固定する。距離空間は $T_3$ 空間である（正則空間 の命題「距離空間は正則」）。各 $m\ge1$ について、半径 $1/m$ の開球全体からなる開被覆に lem-ns-refinement を当てはめ、$\sigma$-離散な開細分 $\mathcal{E}^{(m)}=\bigcup_n\mathcal{E}^{(m)}_n$ を得る。その成員は半径 $1/m$ の開球に含まれるので直径が $2/m$ 以下である。$\mathcal{E}:=\bigcup_{m,n}\mathcal{E}^{(m)}_n$ は可算個の離散的な集まりの和なので $\sigma$-離散、とくに $\sigma$-局所有限である。
$\mathcal{E}$ が開基であることを示す。$x\in X$、$\varepsilon>0$ とし、$2/m<\varepsilon$ となる $m$ をとる。$\mathcal{E}^{(m)}$ は $X$ を覆うので $x\in E$ となる $E\in\mathcal{E}^{(m)}$ がある。$E$ の点 $y$ は $d(x,y)\le2/m<\varepsilon$ を満たすので $E\subset B(x,\varepsilon)$ である。$\square$

必要性は prf-ns-necessity で作った開基 $\mathcal{E}$ が $\sigma$-離散であることによる。十分性は、$\sigma$-離散な開基が $\sigma$-局所有限であることと thm-ns-main による。$\square$

可算な開基 $\{B_1,B_2,\dots\}$ について $\mathcal{B}_n:=\{B_n\}$ は局所有限なので、開基は $\sigma$-局所有限である。thm-ns-main による。$\square$