Dynkinのπ-λ定理

要点：差 $B\setminus A$ は $A$ と $X\setminus B$ の和の補集合であり、互いに交わらない列の和は有限和の増加列の和である。

$\mathcal{L}$ を π 系である λ 系とする。$X\in\mathcal{L}$ と補集合で閉じることは λ 系の条件そのものである。$A,B\in\mathcal{L}$ なら $A\cup B=X\setminus\bigl((X\setminus A)\cap(X\setminus B)\bigr)$ は補集合と共通部分で作れるので $\mathcal{L}$ に属する。$A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{L}$ について $B_n:=A_1\cup\cdots\cup A_n$ は $\mathcal{L}$ の増加列なので、prop-dynkin-lambda-equivalent により $\bigcup_nA_n=\bigcup_nB_n\in\mathcal{L}$ である。$\square$

$\mathcal{L}_0:=\lambda(\mathcal{P})$ とおく。σ-代数は λ 系なので $\mathcal{L}_0\subset\sigma(\mathcal{P})$ であり、$\mathcal{L}$ は $\mathcal{P}$ を含む λ 系なので $\mathcal{L}_0\subset\mathcal{L}$ である。$A\in\mathcal{L}_0$ について
$$ \mathcal{G}_A:=\{B\subset X\mid A\cap B\in\mathcal{L}_0\} $$
とおく。
第 1 段：$A\in\mathcal{L}_0$ なら $\mathcal{G}_A$ は λ 系である。 $A\cap X=A\in\mathcal{L}_0$ なので $X\in\mathcal{G}_A$ である。$B\in\mathcal{G}_A$ なら $A\cap(X\setminus B)=A\setminus(A\cap B)$ であり、$A\cap B\subset A$ はどちらも $\mathcal{L}_0$ に属するので、prop-dynkin-lambda-equivalent により $A\cap(X\setminus B)\in\mathcal{L}_0$、すなわち $X\setminus B\in\mathcal{G}_A$ である。$B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{G}_A$ が互いに交わらなければ $A\cap B_n$ も互いに交わらず、$A\cap\bigcup_nB_n=\bigcup_n(A\cap B_n)\in\mathcal{L}_0$ である。
第 2 段：$A\in\mathcal{P}$ なら $\mathcal{L}_0\subset\mathcal{G}_A$ である。 $\mathcal{P}$ は π 系なので $B\in\mathcal{P}$ について $A\cap B\in\mathcal{P}\subset\mathcal{L}_0$、すなわち $\mathcal{P}\subset\mathcal{G}_A$ である。第 1 段により $\mathcal{G}_A$ は λ 系なので、最小性から $\mathcal{L}_0\subset\mathcal{G}_A$ である。
第 3 段：$A\in\mathcal{L}_0$ なら $\mathcal{L}_0\subset\mathcal{G}_A$ である。 第 2 段は「$P\in\mathcal{P}$、$B\in\mathcal{L}_0$ なら $P\cap B\in\mathcal{L}_0$」ということであり、これは $\mathcal{P}\subset\mathcal{G}_B$（$B\in\mathcal{L}_0$）と言い換えられる。いま $A\in\mathcal{L}_0$ をとると $\mathcal{P}\subset\mathcal{G}_A$ であり、第 1 段により $\mathcal{G}_A$ は λ 系なので、最小性から $\mathcal{L}_0\subset\mathcal{G}_A$ である。
第 3 段は $\mathcal{L}_0$ が共通部分で閉じていること、すなわち π 系であることを示している。lem-dynkin-pi-and-lambda により $\mathcal{L}_0$ は σ-代数であり、$\mathcal{P}$ を含むので $\sigma(\mathcal{P})\subset\mathcal{L}_0$ である。よって $\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{L}_0\subset\mathcal{L}$ である。$\square$

1：$\mathcal{L}:=\{E\in\sigma(\mathcal{P})\mid\mu_1(E)=\mu_2(E)\}$ とおく。仮定から $X\in\mathcal{L}$、$\mathcal{P}\subset\mathcal{L}$ である。$E\in\mathcal{L}$ なら、値が有限なので $\mu_1(X\setminus E)=\mu_1(X)-\mu_1(E)=\mu_2(X)-\mu_2(E)=\mu_2(X\setminus E)$ である。互いに交わらない $E_n\in\mathcal{L}$ については、可算加法性から $\mu_1(\bigcup_nE_n)=\sum_n\mu_1(E_n)=\sum_n\mu_2(E_n)=\mu_2(\bigcup_nE_n)$ である。よって $\mathcal{L}$ は λ 系であり、thm-dynkin-main により $\sigma(\mathcal{P})\subset\mathcal{L}$ である。
2：$k$ を固定し、$\nu_i(E):=\mu_i(E\cap E_k)$（$E\in\sigma(\mathcal{P})$）とおく。$\nu_i$ は $\sigma(\mathcal{P})$ 上の有限測度で、$P\in\mathcal{P}$ について $P\cap E_k\in\mathcal{P}$ だから $\nu_1(P)=\nu_2(P)$ であり、$\nu_1(X)=\mu_1(E_k)=\mu_2(E_k)=\nu_2(X)<\infty$ である。1 により $\nu_1=\nu_2$ である。任意の $E\in\sigma(\mathcal{P})$ について $E\cap E_k$ は $E$ に増加して近づくので、測度 の記事の定理「測度の連続性」の 1 により $\mu_1(E)=\lim_k\mu_1(E\cap E_k)=\lim_k\mu_2(E\cap E_k)=\mu_2(E)$ である。$\square$

1：半開直方体と空集合の全体 $\mathcal{P}_n$ は π 系である（2 つの半開直方体の共通部分は、各座標の区間の共通部分の積なので、半開直方体か空集合）。$\sigma(\mathcal{P}_n)$ は Borel 集合全体である（Carathéodoryの拡張定理 の記事の命題「半開直方体はBorel集合全体を生成する」）。$E_k:=(-k,k]^n$ は $\mathcal{P}_n$ の増加列で $\mathbb{R}^n$ を覆い、体積は有限である。Lebesgue 測度も半開直方体に体積を与えるので（同記事の定理「Lebesgue–Stieltjes測度とLebesgue測度の存在と一意性」）、thm-dynkin-uniqueness の 2 から結論が従う。
2：$\{(-\infty,t]\mid t\in\mathbb{R}\}$ は π 系であり（$(-\infty,s]\cap(-\infty,t]=(-\infty,\min\{s,t\}]$）、$(a,b]=(-\infty,b]\setminus(-\infty,a]$ と 1 の生成の事実から Borel 集合全体を生成する。thm-dynkin-uniqueness の 1 を当てればよい。$\square$

要点：$\mathcal{A}_1$ を $\sigma(\mathcal{A}_1)$ に取り替えても独立性が保たれることを π-λ 定理で示し、これを $m$ 回繰り返す。