準位相群

1 から 2・3 は定義による。$x\in G$ について $\iota(L_{a^{-1}}(\iota(x)))=(a^{-1}x^{-1})^{-1}=xa$ なので $R_a=\iota\circ L_{a^{-1}}\circ\iota$ であり、2 から 1 が従う。同様に $L_a=\iota\circ R_{a^{-1}}\circ\iota$ なので 3 から 1 が従う。$\square$

1：$\emptyset=\emptyset\setminus\emptyset$、$\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\emptyset$ であり、$(U_1\setminus C_1)\cap(U_2\setminus C_2)=(U_1\cap U_2)\setminus(C_1\cup C_2)$ である。族 $(U_i\setminus C_i)_{i\in I}$ の和集合を考え、$U:=\bigcup_iU_i$ とおく。$U$ は $\mathbb{R}$ の部分空間として Lindelöf 空間なので（Lindelöf空間 の系「実数空間の部分空間」）、高々可算な $J\subset I$ で $U=\bigcup_{j\in J}U_j$ となるものがある。$x\in U$ が和集合 $\bigcup_i(U_i\setminus C_i)$ に属さないとすると、$x\in U_j$ となる $j\in J$ について $x\notin U_j\setminus C_j$ なので $x\in C_j$ である。よって $C:=U\setminus\bigcup_i(U_i\setminus C_i)$ は可算集合 $\bigcup_{j\in J}C_j$ に含まれ、和集合は $U\setminus C\in\tau_c$ である。$C=\emptyset$ ととれば通常の開集合は $\tau_c$ に属するので、$\tau_c$ は通常の位相より細かく、Hausdorff である。
2：加法群は可換なので $L_a=R_a$ である。$x\mapsto x+a$ と $x\mapsto-x$ は通常の位相の同相写像で、可算集合を可算集合に写すので、$U\setminus C$ を $(U+a)\setminus(C+a)$、$(-U)\setminus(-C)$ に写す。よって逆像も $\tau_c$ に属し、どちらも連続である。
3：$W:=(-1,1)\setminus(\mathbb{Q}\setminus\{0\})$ は $0$ を含む $\tau_c$ の開集合である。加法が $(0,0)$ で連続だと仮定すると、$0$ の開近傍 $A=U_1\setminus C_1$、$B=U_2\setminus C_2$ で $A+B\subset W$ となるものがある。$0\in U_1\cap U_2$ なので、$(-\delta,\delta)\subset U_1\cap U_2$ となる $\delta>0$ がある。$t\in(-\delta,\delta)$ を任意にとる。集合 $S:=(-\delta,\delta)\cap(t-\delta,t+\delta)$ は空でない開区間（$\lvert t\rvert< \delta$ による）なので非可算であり、可算集合 $C_1\cup(t-C_2)$ に含まれない点 $u\in S$ がある。このとき $u\in(-\delta,\delta)\setminus C_1\subset A$、$t-u\in(-\delta,\delta)\setminus C_2\subset B$ であり、$t=u+(t-u)\in A+B$ である。よって $(-\delta,\delta)\subset A+B\subset W$ となるが、$(-\delta,\delta)$ は $0$ でない有理数を含み、それは $W$ に属さないので矛盾する。
4：$K$ がコンパクトで無限集合なら、可算無限部分集合 $D\subset K$ がとれる。$\mathbb{R}\setminus D$ と $\mathbb{R}\setminus(D\setminus\{d\})$（$d\in D$）は $\tau_c$ の開集合で、全体で $\mathbb{R}$ を覆う。その有限個 $\mathbb{R}\setminus D$、$\mathbb{R}\setminus(D\setminus\{d_1\})$、…、$\mathbb{R}\setminus(D\setminus\{d_k\})$ の和集合は $D\setminus\{d_1,\dots,d_k\}\ne\emptyset$ と交わらないので、$K$ を覆わない。これはコンパクト性に反する。空でない開集合 $U\setminus C$ は非可算なので、どの点もコンパクトな近傍をもたない。$\square$

1：$\iota$ は連続で $\iota\circ\iota=\mathrm{id}_G$ なので、自分自身が連続な逆写像であり、同相写像である。$L_a$、$R_a$ が同相写像であることと $AU$、$UA$ が開集合であることは 半位相群 の命題「平行移動は同相写像」による。$U^{-1}=\iota(U)$ は同相写像による開集合の像なので開集合であり、同相写像は閉包を閉包に写すので $\overline{A^{-1}}=\iota(\overline A)=(\overline A)^{-1}$ である。
2：半位相群 の命題「半位相群の構成」の 3 により、$e\in\overline H$ かつ $\overline H\,\overline H\subset\overline H$ であり、$H$ が正規なら $g\overline Hg^{-1}=\overline H$ である。1 により $(\overline H)^{-1}=\overline{H^{-1}}=\overline H$ なので、$\overline H$ は逆元についても閉じている。よって $\overline H$ は部分群であり、$H$ が正規なら正規部分群である。
3：$T_1$ なら $T_0$ であり、$T_1$ であることと $\{e\}$ が閉集合であることの同値は 半位相群 の命題「平行移動は同相写像」の 4 による。$T_0$ から $\{e\}$ が閉集合であることを導く。$x\ne e$ とし、$x$ の開近傍で $e$ を含まないものを見つければよい。$T_0$ により、$x$ と $e$ の一方だけを含む開集合 $U$ がある。$x\in U$、$e\notin U$ なら $U$ がそれである。$e\in U$、$x\notin U$ なら、1 により $xU^{-1}$ は開集合で、$e\in U$ より $x=xe^{-1}\in xU^{-1}$ である。$e\in xU^{-1}$ とすると $e=xu^{-1}$ となる $u\in U$ があり、$x=u\in U$ となって矛盾する。よって $e\notin xU^{-1}$ である。したがって $G\setminus\{e\}$ は開集合である。
4：$\{e\}$ は正規部分群なので、2 により $N$ は閉正規部分群である。1 と同じく $L_g$、$R_g$ は同相写像なので、$\overline{\{g\}}=g\overline{\{e\}}=gN$、$\overline{\{g\}}=\overline{\{e\}}g=Ng$ である。半位相群 の命題「半位相群の構成」の 4 により、$G/N$ は商位相について半位相群で、$\pi$ は連続準同型かつ開写像である。$G/N$ の逆元をとる写像 $\bar\iota$ は $\bar\iota\circ\pi=\pi\circ\iota$ を満たすので、$G/N$ の開集合 $W$ について $\pi^{-1}(\bar\iota^{-1}(W))=\iota^{-1}(\pi^{-1}(W))$ は開集合であり、商位相の定義により $\bar\iota^{-1}(W)$ は開集合である。よって $G/N$ は準位相群である。最後に $\pi^{-1}(\{gN\})=gN=\overline{\{g\}}$ は閉集合なので、商位相の定義により $\{gN\}$ は $G/N$ の閉集合であり、$G/N$ は $T_1$ である。$\square$

1 ⇒ 3 は $\mu$ の $(e,e)$ での連続性による。3 ⇒ 2：$e$ の近傍 $U$ について $V$ をとれば $\mu(V\times V)=VV\subset U$ である。2 ⇒ 1 は 半位相群 の定理「連続性は単位元で調べればよい」の 1 による（$\iota$ は仮定により連続である）。$\square$