連続線形汎関数

前提知識: ノルム空間, 線形写像, 連続写像

連続線形汎関数とは

ベクトルに数を対応させる線形写像を線形汎関数という。有限次元では線形汎関数はすべて連続だが、無限次元では線形であることだけでは連続性を保証しない。極限と両立する汎関数を取り出す条件が連続線形汎関数（continuous linear functional）である。関数の一点での値を読む操作、数列の重み付き和、積分などが典型例となる。
ノルム空間の連続線形汎関数は、双対空間を作る材料である。Banach–Alaogluの定理 はその双対の閉球が弱スター位相でコンパクトになることを述べる。また、Hahn–Banach の定理は適切な部分空間上の連続線形汎関数をノルムを保って拡張する。この二つの定理の前提になる「連続」を、値の評価とノルムの不等式で確かめることが本記事の中心である（Cla20 第4部、pp. 63–69）。

定義と有界性

$X$ を実数体または複素数体 $\mathbb F$ 上のノルム空間とする。線形汎関数とは線形写像 $f:X\to\mathbb F$ である。$f$ が連続とは、$x_n\to x$ なら $f(x_n)\to f(x)$ となること、同値に任意の点で通常の位相的な連続性を満たすことをいう。以下、連続線形汎関数を有界線形汎関数とも呼ぶが、「有界」は $X$ 全体で $|f(x)|$ が一様に有界という意味ではない。

連続性とこの上限が有限であることは同値である。これは定義の一部として覚えるより、なぜ同値になるかを確認しておくと、後の具体例を検査しやすい。

線形性があるため、一点 $0$ での連続性が全ての点での連続性を決める。また $f\ne0$ なら $f$ 自体の値域は $\mathbb F$ 全体であり、$X$ 全体で $|f|$ は有界ではない。実際、$f(x_0)\ne0$ なら $|f(tx_0)|=|t|\,|f(x_0)|$ は $|t|\to\infty$ とともに無限大になる。「有界線形汎関数」は単位球上での有界性、または $|f(x)|\leq C\|x\|$ の意味である。

具体例と連続でない例

逆に、この形で与えられるもの以外に $\ell^1$ の連続線形汎関数はない。$f\in(\ell^1)^*$ に対して $a_n=f(e_n)$ と置けば $|a_n|\leq\|f\|$ なので $a\in\ell^\infty$ である。有限個の座標だけを持つ $x$ では線形性から $f(x)=\sum_na_nx_n$。そのような有限台の列は $\ell^1$ に稠密で、両辺とも連続だから任意の $x\in\ell^1$ に等式が拡張する。従って $(\ell^1)^*\cong\ell^\infty$ が等長に成り立つ。
Hilbert空間 $H$ でも、固定した $y\in H$ との内積は汎関数を与える。内積を第一変数について線形とする約束なら $f_y(x)=\langle x,y\rangle$ である。Cauchy–Schwarzの不等式より $|f_y(x)|\leq\|y\|\,\|x\|$ なので連続であり、$y\ne0$ のとき $x=y/\|y\|$ を代入すると $\|f_y\|=\|y\|$ が分かる。複素内積を第二変数について線形とする約束なら、線形汎関数になるよう二つの変数を入れ替える。内積のどちらの変数を線形とするかを宣言すれば、共役線形な写像との取り違えを防げる。

同じ写像も、定義域に入れるノルムを変えると連続性が変わる。先の一点評価は上限ノルムでは連続だったが、連続関数全体に $L^1$ ノルム $\|g\|_1=\int_0^1|g(t)|\,dt$ を入れると、中央 $t_0=1/2$ での評価は連続でない。

この $L^1$ ノルムの空間 $C([0,1])$ は完備でないが、ここで見た連続性の違いは完備化の有無が原因ではない。実際、同じ列 $(g_n)$ は上限ノルムでは常に $\|g_n\|_\infty=1$ で、$0$ に近づかない。定義域でどの変化を「小さい」と見るかが直接の理由である。

核が閉じていることとの関係

線形汎関数 $f$ の核 $\ker f=\{x\in X:f(x)=0\}$ は線形部分空間である。$f$ が連続なら、$\ker f$ は閉集合 $\{0\}$ の逆像だから閉じている。実は、$f$ が零写像でないとき、逆も成り立つ。これにより、連続性を値の大きさだけでなく、零点が作る超平面の幾何から判定できる。

この証明では $X$ が Banach 空間であることを使っていない。閉じた部分空間の外にある点からその部分空間までの距離が正という距離空間の事実だけを使う。零写像についても核は $X$ 自身で閉じているので、定理には例外を設ける必要がない。

非零な連続線形汎関数の核は閉じた余次元一の超平面である。$f(x_0)=1$ を選ぶと、任意の $x$ は $x=(x-f(x)x_0)+f(x)x_0$ と一意に書ける。第一項は核、第二項は $x_0$ の一次元空間に属するので、$X/\ker f$ は一次元である。逆に閉じた余次元一の部分空間 $M$ を与えると、$X/M$ の一次元座標を選ぶことで $M$ を核とする非零な連続線形汎関数が得られる。後者は上の核による判定を使えば、選んだ線形汎関数の連続性を別に見積もる必要がない。
核までの距離は作用素ノルムも与える。$f(x_0)=1$ の場合、上の証明は $\|f\|\leq1/d$ を与えた。一方、任意の $m\in\ker f$ に対して $f(x_0-m)=1$ なので $1\leq\|f\|\,\|x_0-m\|$。$m$ について下限を取れば $1\leq\|f\|d$ である。従って
$$ \|f\|=\frac{1}{\operatorname{dist}(x_0,\ker f)}. $$
これは、核から遠い点で $1$ を取る汎関数ほど、単位長さ当たりの値の変化が小さいという幾何的な意味を持つ。

反例の表

thm-continuous-linear-functional-bounded と thm-continuous-linear-functional-kernel の仮定を外すと結論が崩れることを確かめる。以下 $c_{00}$ には上限ノルムを入れる。

有限次元と無限次元

有限次元ノルム空間 $X$ では、線形汎関数の連続性を仮定する必要はない。基底 $v_1,\ldots,v_m$ を選び、$x=\sum_j a_jv_j$ と書けば $f(x)=\sum_j a_jf(v_j)$ である。有限次元では座標写像 $x\mapsto(a_1,\ldots,a_m)$ は連続なので、各座標が小さくなれば $f(x)$ も小さくなる。よってすべての線形汎関数が連続で、代数的双対と連続双対は一致する。
無限次元では両者を区別する。代数的双対 $X^{\mathrm{alg}*}$ は連続性を課さない線形汎関数全体であり、連続双対 $X^*$ はその部分空間である。前の $c_{00}$ の例では包含は真である。双対空間(線形代数) は主に有限次元の線形代数的な側面を扱うため、ノルム空間の議論で単に「双対」と呼ぶ際は、どちらを意味するかを確かめる。

連続双対の基本性質

線形汎関数を足し、スカラー倍すると線形汎関数になる。連続線形汎関数なら $\|f+g\|\leq\|f\|+\|g\|$、$\|af\|=|a|\,\|f\|$ だから、$X^*$ はノルム空間である。$X$ 自身が不完備でも $X^*$ は完備になる。この点は、連続双対を関数解析の対象として使いやすくする。

この証明で必要な完備性は値域の $\mathbb F$ の完備性であり、定義域 $X$ の完備性ではない。$X$ に極限として新しいベクトルを作っていないことに注目すると、仮定の違いが見える。
連続双対は元の空間の点も識別する。$X$ がノルム空間で $x_0\ne0$ なら、Hahn–Banach の定理により $\|f\|=1$ かつ $f(x_0)=\|x_0\|$ を満たす $f\in X^*$ が存在する（Cla20 pp. 71–82）。したがって全ての連続線形汎関数で同じ値を取る二つのベクトルは等しい。この存在定理の証明は延長定理として別の主題になるため、ここでは外部定理として用いる。
識別性と全ての汎関数が連続であることは異なる。前者は、連続双対に十分多くの元が存在するという主張であり、後者は代数的双対の元がすべて連続という主張である。無限次元の $c_{00}$ の例は後者が失敗しても前者と矛盾しないことを示す。実際、$c_{00}$ の二つの異なる列はどこかの座標で異なり、その座標を読む評価写像は上限ノルムで連続である。
有界な線形作用素 $T:Y\to X$ と $f\in X^*$ があれば、合成 $f\circ T:Y\to\mathbb F$ も連続線形汎関数である。実際、$|(f\circ T)(y)|\leq\|f\|\,\|T\|\,\|y\|$ だから $\|f\circ T\|\leq\|f\|\,\|T\|$。この合成による汎関数の引き戻しが双対作用素の基礎となる。

弱スター位相への接続

各 $x\in X$ は、$X^*$ 上の評価 $\operatorname{ev}_x(f)=f(x)$ を定める。$X^*$ の元を一度にノルムで近づける代わりに、各 $x$ に対する評価値を近づける位相が弱スター位相 $\sigma(X^*,X)$ である。$f_i\to f$ が弱スター収束するとは、全ての固定した $x\in X$ で $f_i(x)\to f(x)$ という意味になる。作用素ノルムで収束すれば弱スター収束するが、その逆は一般には成り立たない。
Banach–Alaogluの定理 は、この弱スター位相で $X^*$ の閉単位球がコンパクトになると述べる。その証明では、$f\in X^*$ に対し $|f(x)|\leq\|f\|\,\|x\|$ という本記事の基本不等式を使い、各評価値をコンパクトな円板に収める。連続線形汎関数の定義と作用素ノルムを具体的に理解すると、なぜ閉単位球だけでこの結論が得られるかが見える。

関連項目

• 前提: ノルム空間, 線形写像, 連続写像
• 比較: 双対空間(線形代数)
• 発展: Banach–Alaogluの定理, Hilbert空間