射

同義語：morphism矢arrow

概要

射（morphism）とは、圏において対象 $X$ から対象 $Y$ へ向かう矢印 $f\colon X\to Y$ のことで、始域 $X$ と終域 $Y$ を伴い、終域と始域が一致する射どうしは結合律と単位律を満たす合成 $g\circ f$ をもつ。集合の写像・群準同型・連続写像のほか、前順序集合の不等式、モノイドの元、行列なども射になり、射は写像である必要はない。対象は恒等射と一対一に対応するので、圏は射と合成だけで記述できる。同型射・モノ射・エピ射などの性質は合成だけで定義され、反対圏に移るとモノ射とエピ射が入れ替わる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 圏, 写像, 写像の合成

圏は対象と射からなるが、二つのうちで計算の主役になるのは射である。射は対象から対象へ向かう矢印で、始まりの対象（始域）と行き先の対象（終域）が指定されており、終域と始域が一致する二本の射は合成できる。集合の写像、群準同型、連続写像はどれも射の例であるが、射は写像である必要はない。前順序集合の不等式 $x\le y$、モノイドの元、行列も、それぞれ適当な圏の射になる。
この記事では、射を圏の公理の中に位置づけ、写像との違い（始域と終域を射の一部として持つこと）を確かめたうえで、写像でない射の例を調べる。主な結果は次のとおりである。圏は射だけで記述でき、対象は恒等射として射の中から復元できること（thm-morphism-arrows-only）。可換環上の行列の圏では、大きさの違う対象は同型にならないこと（thm-morphism-matrix-iso）。モノ射でもある分裂エピ射は同型射であること（prop-morphism-split-iso）。

定義

射は圏の定義の一部として与えられる。圏の定義は 圏 の記事にあるが、射に関係する部分をここで述べ直す。

射

圏 $\mathcal C$ は、対象の集まりと、対象の各組 $X,Y$ に対する集まり $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ を持つ。$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ の元を、$X$ から $Y$ への射（morphism）または矢（arrow）といい、
$$ f\colon X\to Y\qquad\text{または}\qquad X\xrightarrow{\ f\ }Y $$
と書く。$X$ を $f$ の始域（domain）、$Y$ を $f$ の終域（codomain）といい、$\operatorname{dom}f=X$、$\operatorname{cod}f=Y$ と書く。射について、次のデータと条件が与えられている。

  • (i) 合成：$f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$、すなわち $\operatorname{cod}f=\operatorname{dom}g$ である射の組に対し、射 $g\circ f\colon X\to Z$ が定まっている。
  • (ii) 恒等射：各対象 $X$ に対し、射 $\operatorname{id}_X\colon X\to X$ が定まっている。
  • (iii) 結合律：$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$、$h\colon Z\to W$ に対し $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ である。
  • (iv) 単位律：$f\colon X\to Y$ に対し $\operatorname{id}_Y\circ f=f=f\circ\operatorname{id}_X$ である。
    さらに、$(X,Y)\ne(X',Y')$ ならば $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X',Y')$ は共通の元を持たないとする。したがって各射の始域と終域は射そのものから決まる。

始域が $X$ で終域も $X$ である射を $X$ の自己射（endomorphism）という。$g\circ f$ を単に $gf$ と書くこともある。$g\circ f$ は「先に $f$、次に $g$」の順で読む。この順序は写像の合成 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ に合わせたものである。
合成と単位律は、図式で表すと見通しがよい。
$$ \xymatrix{ X \ar[r]^f \ar[dr]_{g\circ f} & Y \ar[d]^g \\ & Z } \qquad\qquad \xymatrix{ X \ar[r]^{\operatorname{id}_X} \ar[dr]_f & X \ar[d]^f \ar[r]^f & Y \ar[d]^{\operatorname{id}_Y} \\ & Y & Y } $$
左の三角形は合成 $g\circ f$ の定義である。右の図は単位律 $f\circ\operatorname{id}_X=f$ と $\operatorname{id}_Y\circ f=f$ を表す。一般に、対象を頂点、射を辺とする図で、同じ頂点を結ぶどの二つの道についても道に沿った射の合成が等しいとき、その図式は可換であるという。可換図式は射の等式を図にしたものであり、図に描いた等式はすべて式でも書ける。
$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ がつねに集合であるような圏を局所小圏といい、このとき $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ を Hom集合 という。集合の圏のように対象全体が集合をなさない圏でも、多くは局所小である。この記事の議論は Hom が集合であることを使わない。
恒等射は単位律によってただ一つに決まり、両側の逆射も存在すればただ一つに決まる。これらの証明は 圏 の記事の命題「恒等射の一意性」「同型射の逆射」にある。

Hom が交わらないこと

定義の最後の条件（Hom どうしが交わらないこと）は、射が自分の始域と終域を知っているための条件である。この条件は制限にならない。交わる Hom を持つデータからも、射に始域と終域の名札を付ければ、同じ合成の構造を持つ圏が作れるからである。

Hom の非交化

対象の集まりと、対象の各組 $X,Y$ に対する集まり $H(X,Y)$、合成 $H(Y,Z)\times H(X,Y)\to H(X,Z)$、元 $e_X\in H(X,X)$ が与えられ、結合律と単位律を満たすとする（$H(X,Y)$ どうしは交わってもよい）。
$$ H'(X,Y):=\{(X,Y,f)\mid f\in H(X,Y)\} $$
とおき、合成を $(Y,Z,g)\circ(X,Y,f):=(X,Z,g\circ f)$、恒等射を $(X,X,e_X)$ で定めると、これは def-morphism-main の意味の圏であり、写像 $H(X,Y)\to H'(X,Y)$、$f\mapsto(X,Y,f)$ は全単射で、合成と恒等射を保つ。

要点：第 3 成分を取り出せば元の射に戻り、合成と公理は第 3 成分の上で $H$ のものと同じである。三つ組の相等から始域と終域が読み取れるので Hom は交わらない。

詳しい証明を開く

$f\mapsto(X,Y,f)$ は、第 3 成分を取り出す写像 $(X,Y,f)\mapsto f$ を逆に持つので全単射である。合成と恒等射を保つことは定義そのものである。結合律は$$(Z,W,h)\circ\bigl((Y,Z,g)\circ(X,Y,f)\bigr)=(X,W,h\circ(g\circ f))=(X,W,(h\circ g)\circ f)=\bigl((Z,W,h)\circ(Y,Z,g)\bigr)\circ(X,Y,f)$$であり、単位律も同様に $H$ の単位律から従う。最後に、$(X,Y,f)=(X',Y',f')$ なら順序組の相等により $X=X'$、$Y=Y'$ であるから、$(X,Y)\ne(X',Y')$ のとき $H'(X,Y)$ と $H'(X',Y')$ は交わらない。$\square$

Hom が交わらないことを公理として含め、Hom の組で圏を定める流儀は Mac98 Chapter I §8 にある。

始域と終域：写像との違い

集合の写像 $f$ を、そのグラフ（順序対 $(x,f(x))$ の集合）と同一視すると、$f$ のグラフからは始域は読み取れるが、終域は読み取れない。圏の射としての写像は、始域と終域とグラフの三つ組である（Mac98 Chapter I §1）。

集合の圏の射

集合の圏 $\mathbf{Set}$ は、集合を対象とし、写像を射とする圏である。ここで $X$ から $Y$ への写像とは、三つ組 $(X,Y,\Gamma)$ であって、$\Gamma\subset X\times Y$ が「各 $x\in X$ に対し $(x,y)\in\Gamma$ となる $y\in Y$ がちょうど一つある」を満たすものをいう。合成は $(Y,Z,\Delta)\circ(X,Y,\Gamma):=(X,Z,\Delta\circ\Gamma)$（$\Delta\circ\Gamma$ は関係の合成）、恒等射は対角集合 $\{(x,x)\mid x\in X\}$ を第 3 成分に持つ三つ組である。

  1. 部分集合 $S\subsetneq Y$ について、恒等射 $\operatorname{id}_S\colon S\to S$ と包含写像 $\iota\colon S\to Y$ は、どちらも $s\mapsto s$ という対応で、グラフは同じ集合 $\{(s,s)\mid s\in S\}$ である。しかし終域が違うので、$\mathbf{Set}$ の射としては異なる。実際、写像 $c\colon Y\to\{0,1\}$（$S$ 上で $0$、それ以外で $1$）について、$\operatorname{cod}\iota=Y=\operatorname{dom}c$ だから $c\circ\iota$ は定義されるが、$\operatorname{cod}\operatorname{id}_S=S\ne Y$ だから $c\circ\operatorname{id}_S$ は定義されない。
  2. 各集合 $Y$ について、空集合 $\emptyset$ から $Y$ への写像はちょうど一つある。グラフは空集合 $\emptyset\subset\emptyset\times Y$ である。グラフはどの $Y$ についても同じ $\emptyset$ であるが、終域が違うので、$Y\ne Y'$ なら $\emptyset\to Y$ と $\emptyset\to Y'$ は異なる射である。グラフだけで射を表すと、この空写像が多くの Hom に同時に属し、Hom が交わってしまう。

この例が示すように、射に終域を含めるのは形式的な約束ではない。終域を持たない「写像」では、どの射の後に何を合成できるかが決まらず、def-morphism-main の合成 (i) が定義できない。全射かどうかも終域を指定して初めて意味を持つ。包含 $\iota\colon S\to Y$ は全射でないが、$\operatorname{id}_S$ は全射である。

観点グラフとしての写像圏の射
持っている情報値の対応（始域は読み取れる）始域・終域・値の対応
合成できる条件値域が次の写像の定義域に含まれる終域と次の射の始域が一致する
全射かどうか決まらない決まる
空写像ただ一つ終域ごとに一つ
元への作用つねにあるあるとは限らない（下の節）

具体的な圏の射

多くの圏では、対象は集合に構造を入れたもので、射はその構造を保つ写像である。合成と恒等射は写像の合成と恒等写像であり、結合律と単位律は写像の合成から受け継がれる。射であるかどうかは、写像が構造を保つかどうかで決まる（準同型、具体圏）。

群・位相空間・ベクトル空間の射
  1. 群の圏 $\mathbf{Grp}$：対象は群、射は群準同型である。写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$、$n\mapsto n+1$ は $0$ を $1$ に写すので群準同型でなく、$\mathbf{Grp}$ の射ではない。$n\mapsto 2n$ は射である。
  2. 位相空間の圏 $\mathbf{Top}$：対象は位相空間、射は連続写像である。実数全体に離散位相を入れた空間を $\mathbb{R}_{\mathrm{d}}$、通常の位相を入れた空間を $\mathbb{R}$ とすると、$x\mapsto x$ は $\mathbb{R}_{\mathrm{d}}\to\mathbb{R}$ の射であるが、$\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\mathrm{d}}$ の射ではない（一点集合 $\{0\}$ は $\mathbb{R}_{\mathrm{d}}$ で開集合だが、その逆像 $\{0\}$ は $\mathbb{R}$ で開集合でない）。
  3. ベクトル空間の圏 $\mathbf{Vect}_K$：体 $K$ 上のベクトル空間を対象、線形写像を射とする。$K$ 上の線形写像 $K^n\to K^m$ は $m\times n$ 行列と一対一に対応する。この対応は下の行列の圏につながる。
    同じ集合と同じ対応規則でも、始域・終域の構造が変われば射であるかどうかが変わる。2 の $x\mapsto x$ は全単射で連続であるが、逆向きは射でないので、$\mathbf{Top}$ の同型射ではない。

写像でない射

射は元に作用するとは限らない。次の例では、射は写像ではなく、不等式・モノイドの元・行列である。それでも合成と恒等射があり、圏の公理を満たす（Mac98 Chapter I §2、Rie26 Example 1.1.4）。

前順序集合の射

前順序 $\le$（反射的かつ推移的な関係）を持つ集合 $P$ から、圏 $\mathcal C_P$ を次のように作る。対象は $P$ の元とし、$x\le y$ のとき $\operatorname{Hom}(x,y):=\{(x,y)\}$、そうでないとき $\operatorname{Hom}(x,y):=\emptyset$ とする。合成は $(y,z)\circ(x,y):=(x,z)$（推移律により $x\le z$）、恒等射は $(x,x)$（反射律）である。平行な射（始域と終域が同じ射）は高々一つしかないので、結合律と単位律は両辺が同じ Hom の元であることから自動的に成り立つ。
この圏の射 $x\to y$ は「$x\le y$ である」という事実そのものであり、何かを何かに写す操作ではない。射の性質は順序の性質で言い表せる。

前順序集合の圏の射

前順序集合 $(P,\le)$ の圏 $\mathcal C_P$ について、次が成り立つ。

  1. すべての射はモノ射であり、エピ射でもある。
  2. 射 $x\to y$ が同型射であることと、$y\le x$ でもあることは同値である。
  3. 同型射が恒等射だけであることと、$\le$ が反対称律（$x\le y$ かつ $y\le x$ なら $x=y$）を満たすこと、すなわち $\le$ が半順序であることは同値である。

1：$f\colon x\to y$ と $a,b\colon w\to x$ が $f\circ a=f\circ b$ を満たすとする。$a,b$ はともに $\operatorname{Hom}(w,x)$ の元であり、この集合は高々一元なので $a=b$ である。よって $f$ はモノ射である。エピ射であることも、$\operatorname{Hom}(y,z)$ が高々一元であることから同様に従う。
2：射 $f\colon x\to y$ が同型射なら、逆射 $y\to x$ が存在するので $\operatorname{Hom}(y,x)\ne\emptyset$、すなわち $y\le x$ である。逆に $y\le x$ なら射 $g\colon y\to x$ がある。$g\circ f$ と $\operatorname{id}_x$ はともに $\operatorname{Hom}(x,x)$ の元で、この集合は一元なので $g\circ f=\operatorname{id}_x$ である。同様に $f\circ g=\operatorname{id}_y$ であり、$f$ は同型射である。
3：反対称律を仮定し、$f\colon x\to y$ を同型射とする。2 より $x\le y$ かつ $y\le x$ なので $x=y$ であり、$f$ は一元集合 $\operatorname{Hom}(x,x)=\{\operatorname{id}_x\}$ の元だから $f=\operatorname{id}_x$ である。逆に同型射が恒等射だけであるとし、$x\le y$ かつ $y\le x$ とする。2 より射 $x\to y$ は同型射なので恒等射であり、恒等射の始域と終域は等しいから $x=y$ である。$\square$

$x\le y$ かつ $y\not\le x$ となる元 $x,y$ があれば、射 $x\to y$ はモノ射かつエピ射であるが、同型射でない。集合の圏では単射かつ全射な写像は同型射（全単射は逆写像を持つ）であるから、「モノ射かつエピ射なら同型射」は集合の圏の性質であって、圏一般の性質ではない（モノ射 の記事の例「順序集合を圏とみたとき」も参照）。

モノイドの元としての射

モノイド $(M,\cdot,e)$ は、対象が一つ $\ast$ だけの圏 $BM$ とみなせる。$\operatorname{Hom}(\ast,\ast):=M$、合成を $g\circ f:=g\cdot f$、恒等射を $e$ とすると、モノイドの結合律と単位元の性質がそのまま圏の公理になる。逆に、対象が一つの圏の射全体は、合成によってモノイドをなす（圏 の記事の例「一対象圏としてのモノイド」）。

自然数の加法モノイド

加法モノイド $(\mathbb{N},+,0)$ の圏 $B\mathbb{N}$ では、射は自然数 $n$ で、合成は和 $m\circ n=m+n$、恒等射は $0$ である。

  • すべての射はモノ射でありエピ射でもある。$BM$ ではすべての射の始域と終域が $\ast$ なので、$n$ がモノ射であることは「$n+a=n+b$ なら $a=b$」（左簡約律）と同じであり、自然数の和ではこれが成り立つ。エピ射も同様に右簡約律から従う。
  • 同型射は $0$ だけである。$n$ が同型射なら $m+n=0$ となる $m\in\mathbb{N}$ があり、自然数では $m=n=0$ に限られる。
    したがって $1\colon\ast\to\ast$ はモノ射かつエピ射であるが同型射でない。一般のモノイドでも、射がモノ射であることは元が左簡約可能であること、同型射であることは元が可逆であることと同じである。

行列としての射

環 $R$ について、圏 $\mathbf{Mat}_R$ を次のように定める。対象は $0$ 以上の整数 $n$ とし、$\operatorname{Hom}(n,m)$ は $R$ を成分とする $m\times n$ 行列全体 $M_{m,n}(R)$ とする（$n=0$ または $m=0$ のときは空の行列ただ一つ）。合成は行列の積 $B\circ A:=BA$、恒等射は単位行列 $I_n$ である。行列の積が定義されるための大きさの条件が、ちょうど終域と始域の一致にあたる。
$$ \xymatrix{ n \ar[r]^{A} \ar[dr]_{BA} & m \ar[d]^{B} \\ & k } \qquad A\in M_{m,n}(R),\quad B\in M_{k,m}(R),\quad BA\in M_{k,n}(R) $$
結合律と単位律は行列の積の結合律と単位行列の性質である。空の行列は大きさによらず中身が同じなので、Hom が交わらないようにするには prop-morphism-disjoint のように大きさの名札を付けて区別する。$\mathbf{Mat}_R$ の射は写像として与えられてはいない。$R$ が体 $K$ なら、$A$ に線形写像 $K^n\to K^m$、$x\mapsto Ax$ を対応させて $\mathbf{Vect}_K$ と比べることができるが、それは圏 $\mathbf{Mat}_K$ の外で選んだ解釈である。
$\mathbf{Mat}_R$ の同型射 $A\colon n\to m$ とは、$BA=I_n$ かつ $AB=I_m$ を満たす $B\in M_{n,m}(R)$ がある行列のことである。$R$ が可換なら、大きさの違う対象はけっして同型にならない。

行列の圏の同型射

$R$ を $1\ne0$ の可換環とし、$A\in M_{m,n}(R)$、$B\in M_{n,m}(R)$ とする。

  1. $AB=I_m$ ならば $m\le n$ である。
  2. したがって、$\mathbf{Mat}_R$ で $n$ と $m$ が同型なのは $n=m$ のときに限る。また $n$ の自己射 $A\in M_n(R)$ が同型射であることと、$\det A$ が $R$ の可逆元であることは同値である。

1：$m>n$ と仮定して矛盾を導く。$A$ の右に零の列を $m-n$ 本並べた $m\times m$ 行列を $A'=\begin{pmatrix}A&O\end{pmatrix}$、$B$ の下に零の行を $m-n$ 本並べた $m\times m$ 行列を $B'=\begin{pmatrix}B\\O\end{pmatrix}$ とする。区分けした行列の積により
$$ A'B'=\begin{pmatrix}A&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B\\O\end{pmatrix}=AB+OO=AB=I_m $$
である。可換環上の正方行列について $\det(XY)=\det X\det Y$ が成り立つので（行列式 の記事の定理「積の行列式」と注意「可換環上の行列式」）、
$$ \det A'\cdot\det B'=\det I_m=1 $$
となる。一方、$m-n\ge1$ なので $A'$ の第 $m$ 列はすべて $0$ である。行列式の Leibniz の公式 $\det A'=\sum_{\sigma\in S_m}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^m a'_{\sigma(j)j}$ の各項は第 $m$ 列の成分 $a'_{\sigma(m)m}=0$ を因子に含むので、$\det A'=0$ である。よって $0=1$ となり、$1\ne0$ に反する。したがって $m\le n$ である（$n=0$ のときも、$A'$ は零行列になり同じ議論が通る）。
2：$A\colon n\to m$ が同型射で逆射が $B$ なら、$AB=I_m$ から 1 により $m\le n$、$BA=I_n$ から 1 を $A,B$ の役割を入れ替えて使い $n\le m$ である。よって $n=m$ である。逆に $n=m$ なら $I_n$ が同型射 $n\to n$ である。$A\in M_n(R)$ が同型射であることは、$A$ が $R$ 上の正則行列であることにほかならず、これは $\det A$ が可逆元であることと同値である（行列式 の記事の注意「可換環上の行列式」。逆行列は余因子行列を $\det A$ で割って得られる）。$\square$

1 は、$\mathbf{Mat}_R$ で $n\to m$ の分裂エピ射（右逆射を持つ射。下の節）があれば $m\le n$ であることを述べている。証明は可換性を行列式で使っている。
係数が体なら、モノ射・エピ射も階数で判定できる。

体上の行列の圏のモノ射とエピ射

$K$ を体とし、$A\in M_{m,n}(K)$ を $\mathbf{Mat}_K$ の射 $n\to m$ とみる。

  1. $A$ がモノ射であることと、$A$ の階数（行列の階数）が $n$ であることは同値である。
  2. $A$ がエピ射であることと、$A$ の階数が $m$ であることは同値である。
  3. $A$ がモノ射かつエピ射ならば、$n=m$ で $A$ は正則行列であり、したがって同型射である。

要点：階数が列の本数に等しいことは「$Av=0$ なら $v=0$」と同じで、これは $A$ を左から簡約できることと同じである。エピ射は転置して同じ議論をする。

詳しい証明を開く

1：$A$ の列を $a_1,\dots,a_n\in K^m$ とすると、$v=(v_1,\dots,v_n)^{\mathsf T}\in K^n$ について $Av=\sum_jv_ja_j$ である。階数が $n$ であることは、$n$ 本の列が一次独立であること、すなわち「$Av=0$ なら $v=0$」と同値である。

階数が $n$ とし、$X,Y\colon k\to n$（$n\times k$ 行列）が $AX=AY$ を満たすとする。$A(X-Y)=O$ だから、$X-Y$ の各列 $v$ は $Av=0$ を満たし、$v=0$ である。よって $X=Y$ であり、$A$ はモノ射である。逆に階数が $n$ より小さければ、$Av=0$ となる $v\ne0$ がある。$v$ と零ベクトル $0$ を射 $1\to n$ とみると $Av=A0$ であるが $v\ne0$ なので、$A$ はモノ射でない。

2：階数が $m$ とすると、$A$ の列は $K^m$ を張るので、任意の $w\in K^m$ は $w=Au$（$u\in K^n$）と書ける。$X,Y\colon m\to k$（$k\times m$ 行列）が $XA=YA$ を満たせば、$(X-Y)w=(X-Y)Au=0$ がすべての $w$ について成り立つので $X=Y$ である。よって $A$ はエピ射である。逆に階数が $m$ より小さいとする。転置行列 ${}^tA$ の階数は $A$ の階数に等しいので（行列の階数 の記事の定理「列階数と行階数は等しい」）、${}^tA$ の $m$ 本の列は一次従属であり、${}^tA\,v=0$ となる $v\in K^m$、$v\ne0$ がある。$w:={}^tv$（$1\times m$ 行列）とおくと $wA={}^t({}^tA\,v)=0$ である。$w$ と零の $1\times m$ 行列を射 $m\to1$ とみると $wA=0A$ だが $w\ne0$ なので、$A$ はエピ射でない。

3：1 と 2 より階数は $n$ にも $m$ にも等しいので $n=m$ であり、$A$ は階数 $n$ の $n$ 次正方行列である。このとき $A$ は正則行列であり（正則行列 の記事の定理「正則性の同値条件」）、逆行列が $\mathbf{Mat}_K$ での逆射を与える。$\square$

3 は前順序集合の圏や $B\mathbb{N}$ では成り立たなかった性質である。係数を体から整数環に替えると 3 は成り立たなくなる。$\mathbf{Mat}_{\mathbb{Z}}$ の射 $(2)\colon1\to1$ は、$2X=2Y$ なら $X=Y$、$X2=Y2$ なら $X=Y$ なのでモノ射かつエピ射であるが、$\det(2)=2$ は $\mathbb{Z}$ の可逆元でないので、thm-morphism-matrix-iso の 2 により同型射でない。

そのほかの例

  • 関係の圏 $\mathbf{Rel}$：対象は集合、$X$ から $Y$ への射は二項関係 $\Gamma\subset X\times Y$、合成は関係の合成、恒等射は対角集合である。写像のグラフでない関係も射になる。$\mathbf{Rel}$ と $\mathbf{Set}$ は対象が同じでも別の圏である。
  • ホモトピー圏：対象は位相空間、射は連続写像のホモトピー類である。射は写像の同値類であって、元の行き先を決めない（ホモトピー圏、具体圏 の注意「ホモトピー類から台写像は決まらない」）。この圏の同型射はホモトピー同値である。
    どの例でも、射について問えるのは、始域・終域と、合成・恒等射との関係だけである。次の節では、対象さえ射から復元できることを示す。

射だけで圏を記述する

対象 $X$ には恒等射 $\operatorname{id}_X$ がただ一つ対応し、$\operatorname{id}_X$ の始域は $X$ だから、対象は恒等射によって識別できる。そこで、対象を使わず、射と「合成が定義されるかどうか」だけから出発して圏を定義することができる（Mac98 Chapter I §1、Rie26 Remark 1.1.2）。

射だけによる圏

射だけによる圏とは、次のデータからなるものをいう。

  • 射と呼ぶものの集まり $A$。
  • $A$ の元の順序対の集まり $D$。$(g,f)\in D$ のとき「$g\circ f$ が定義される」という。
  • 各 $(g,f)\in D$ に対する射 $g\circ f\in A$。
    射 $u$ が単位であるとは、$g\circ u$ が定義されるならつねに $g\circ u=g$ であり、$u\circ h$ が定義されるならつねに $u\circ h=h$ であることをいう。データは次の三条件を満たすとする。ここで「$(k\circ g)\circ f$ が定義される」とは、$k\circ g$ が定義され、さらに $(k\circ g)\circ f$ が定義されることをいい、「$k\circ(g\circ f)$ が定義される」も同様に $g\circ f$ が定義されることを含む。
  • (i) $(k\circ g)\circ f$ が定義されることと、$k\circ(g\circ f)$ が定義されることは同値であり、定義されるとき両者は等しい。
  • (ii) $k\circ g$ と $g\circ f$ がともに定義されるなら、$(k\circ g)\circ f$ は定義される。
  • (iii) 各射 $g$ に対し、$g\circ u$ と $u'\circ g$ が定義されるような単位 $u,u'$ がある。

条件 (iii) の $u$ は $g$ の始域の恒等射、$u'$ は終域の恒等射の役割を果たす。まず、それらがただ一つに決まることを示す。

単位の一意性と始域・終域

射だけによる圏において、次が成り立つ。

  1. 各射 $g$ について、$g\circ u$ が定義される単位 $u$ はただ一つであり、$u'\circ g$ が定義される単位 $u'$ もただ一つである。これらを $\operatorname{dom}g:=u$、$\operatorname{cod}g:=u'$ と書く。
  2. $g\circ f$ が定義されることと、$\operatorname{dom}g=\operatorname{cod}f$ であることは同値である。このとき $\operatorname{dom}(g\circ f)=\operatorname{dom}f$、$\operatorname{cod}(g\circ f)=\operatorname{cod}g$ である。
  3. 単位 $u$ について $u\circ u$ は定義され、$\operatorname{dom}u=\operatorname{cod}u=u$ である。

要点：二つの単位 $u_1,u_2$ について $u_1\circ u_2$ が定義されることを (i) から導けば、単位の性質により $u_1=u_1\circ u_2=u_2$ となる。2 と 3 は、1 の一意性と (i)(ii) を組み合わせて示す。

詳しい証明を開く

1：単位 $u_1,u_2$ について $g\circ u_1$ と $g\circ u_2$ が定義されるとする。$u_1$ は単位なので $g\circ u_1=g$ であり、したがって $(g\circ u_1)\circ u_2=g\circ u_2$ は定義される。(i) により $g\circ(u_1\circ u_2)$ も定義され、特に $u_1\circ u_2$ が定義される。$u_1$ が単位であることから $u_1\circ u_2=u_2$、$u_2$ が単位であることから $u_1\circ u_2=u_1$ である。よって $u_1=u_2$ である。

$u'_1\circ g$ と $u'_2\circ g$ が定義される単位 $u'_1,u'_2$ についても同様である。$u'_1\circ g=g$ だから $u'_2\circ(u'_1\circ g)=u'_2\circ g$ は定義され、(i) により $(u'_2\circ u'_1)\circ g$ が定義されるので、$u'_2\circ u'_1$ は定義される。$u'_2$ が単位なので $u'_2\circ u'_1=u'_1$、$u'_1$ が単位なので $u'_2\circ u'_1=u'_2$ であり、$u'_1=u'_2$ である。

2：$g\circ f$ が定義されるとし、$u:=\operatorname{dom}g$ とおく。$g\circ u=g$ だから $(g\circ u)\circ f=g\circ f$ は定義され、(i) により $g\circ(u\circ f)$ が定義されるので $u\circ f$ は定義される。$u$ は $u\circ f$ が定義される単位だから、1 の一意性により $u=\operatorname{cod}f$ である。逆に $\operatorname{dom}g=\operatorname{cod}f=u$ とすると、$g\circ u$ と $u\circ f$ は定義されるので、(ii) により $(g\circ u)\circ f$ が定義され、$g\circ u=g$ だから $g\circ f$ は定義される。

$g\circ f$ が定義されるとき、$v:=\operatorname{dom}f$ とおくと $f\circ v$ は定義される。$g\circ f$ と $f\circ v$ が定義されるので (ii) により $(g\circ f)\circ v$ が定義され、1 により $\operatorname{dom}(g\circ f)=v$ である。また $v':=\operatorname{cod}g$ とおくと $v'\circ g$ は定義され、(ii) により $(v'\circ g)\circ f$ が、(i) により $v'\circ(g\circ f)$ が定義されるので、$\operatorname{cod}(g\circ f)=v'$ である。

3：(iii) により $u\circ v$ が定義される単位 $v$ がある。$v$ が単位なので $u\circ v=u$、$u$ が単位なので $u\circ v=v$ であり、$u=v$ である。よって $u\circ u$ は定義され、1 により $\operatorname{dom}u=u$、$\operatorname{cod}u=u$ である。$\square$

射だけによる圏と通常の圏の対応
  1. 射だけによる圏 $(A,D,\circ)$ に対し、単位全体を対象とし、単位 $a,b$ について $\operatorname{Hom}(a,b):=\{g\in A\mid\operatorname{dom}g=a,\ \operatorname{cod}g=b\}$、合成を与えられた $\circ$、恒等射を $\operatorname{id}_a:=a$ とおくと、def-morphism-main の意味の圏が得られる。
  2. 逆に、圏 $\mathcal C$ に対し、$A$ を射全体、$D:=\{(g,f)\mid\operatorname{dom}g=\operatorname{cod}f\}$、$\circ$ を $\mathcal C$ の合成とすると、射だけによる圏が得られ、その単位はちょうど恒等射 $\operatorname{id}_X$ である。
  3. 二つの構成は互いに逆である。すなわち、圏 $\mathcal C$ から 2、1 の順に作った圏は、対象 $X$ を $\operatorname{id}_X$ に取り替えたものに一致し、Hom・合成・恒等射は変わらない。射だけによる圏から 1、2 の順に作ると、元の $A$、$D$、$\circ$ に戻る。

1：lem-morphism-arrows-only-units の 1 により各射の $\operatorname{dom}$ と $\operatorname{cod}$ はただ一つに決まるので、異なる組 $(a,b)$ の $\operatorname{Hom}(a,b)$ は交わらない。補題の 3 により $a\in\operatorname{Hom}(a,a)$ である。$f\in\operatorname{Hom}(a,b)$、$g\in\operatorname{Hom}(b,c)$ なら $\operatorname{dom}g=b=\operatorname{cod}f$ なので、補題の 2 により $g\circ f$ は定義され、$g\circ f\in\operatorname{Hom}(a,c)$ である。よって合成が定まる。
結合律：$f\colon a\to b$、$g\colon b\to c$、$k\colon c\to d$ とする。$k\circ g$ と $g\circ f$ は定義されるので、(ii) により $(k\circ g)\circ f$ が定義され、(i) により $k\circ(g\circ f)$ も定義されて両者は等しい。単位律：$f\colon a\to b$ について、$\operatorname{dom}f=a=\operatorname{cod}a$（補題の 3）だから $f\circ a$ は定義され、$a$ が単位なので $f\circ a=f$ である。同様に $\operatorname{dom}b=b=\operatorname{cod}f$ だから $b\circ f$ は定義され、$b\circ f=f$ である。
2：$\mathcal C$ では $\operatorname{dom}(k\circ g)=\operatorname{dom}g$、$\operatorname{cod}(g\circ f)=\operatorname{cod}g$ である。したがって
$$ (k\circ g)\circ f\text{ が定義される}\iff\operatorname{dom}k=\operatorname{cod}g\text{ かつ }\operatorname{dom}g=\operatorname{cod}f\iff k\circ(g\circ f)\text{ が定義される} $$
であり、このとき両者は結合律により等しい。これで (i) が示され、(ii) もこの同値から従う。単位律により各 $\operatorname{id}_X$ は単位である。逆に $u\colon X\to Y$ が単位なら、$u\circ\operatorname{id}_X$ が定義され、$u$ が単位であることから $u\circ\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_X$、単位律から $u\circ\operatorname{id}_X=u$ なので、$u=\operatorname{id}_X$ である。(iii) は $u:=\operatorname{id}_{\operatorname{dom}g}$、$u':=\operatorname{id}_{\operatorname{cod}g}$ で満たされる。
3：$\mathcal C$ から作った射だけによる圏では、$g\circ\operatorname{id}_X$ が定義されるのは $X=\operatorname{dom}g$ のときだから、補題の意味の始域は $\operatorname{id}_{\operatorname{dom}g}$、終域は $\operatorname{id}_{\operatorname{cod}g}$ である。2 により単位は恒等射だけであり、$\operatorname{id}_X$ の始域は $X$ だから $X\mapsto\operatorname{id}_X$ は対象と単位の間の全単射である。1 で作った圏の $\operatorname{Hom}(\operatorname{id}_X,\operatorname{id}_Y)$ は $\{g\mid\operatorname{dom}g=X,\ \operatorname{cod}g=Y\}=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ であり、合成は同じ、恒等射 $\operatorname{id}_{\operatorname{id}_X}=\operatorname{id}_X$ も同じである。
逆向きに、射だけによる圏 $(A,D,\circ)$ から 1 で作った圏に 2 を当てると、射の集まりは $A$、合成は $\circ$ のままであり、合成できる組は $\{(g,f)\mid\operatorname{dom}g=\operatorname{cod}f\}$ になる。補題の 2 により、これは $D$ に等しい。$\square$

この定理により、圏の情報はすべて射と合成にある。対象は恒等射の名前にすぎない。圏を比べるときに対象の対応より射の対応（関手）を中心に考えるのは、この事情による。

反対圏での射の向き

圏 $\mathcal C$ の反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は、対象と射の集まりは $\mathcal C$ と同じで、射の向きと合成の順序を逆にした圏である。$\mathcal C$ の射 $f\colon X\to Y$ を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射とみたものを $f^{\mathrm{op}}\colon Y\to X$ と書くと、
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(Y,X)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y),\qquad f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}}=(g\circ f)^{\mathrm{op}},\qquad \operatorname{id}_X^{\mathrm{op}}=\operatorname{id}_X $$
である（反対圏 の記事の定義「圏の反対圏」）。始域と終域が入れ替わるだけで、射そのものは変わらない。射だけによる圏の言葉では、$D^{\mathrm{op}}:=\{(f,g)\mid(g,f)\in D\}$ と合成 $f\circ_{\mathrm{op}}g:=g\circ f$ を持つものが反対圏である。
射の性質のうち、合成の左右で定義されるものは、反対圏に移ると入れ替わる。$f$ が $\mathcal C$ のモノ射であることと $f^{\mathrm{op}}$ が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ のエピ射であることは同値であり、エピ射とモノ射についても同じである。同型射は同型射に移る（反対圏 の記事の命題「反対圏の基本性質」）。

集合の圏の反対圏の射

包含写像 $i\colon\{0\}\to\{0,1\}$ は $\mathbf{Set}$ のモノ射（単射）であり、エピ射（全射）ではない。したがって $i^{\mathrm{op}}\colon\{0,1\}\to\{0\}$ は $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ のエピ射であり、モノ射ではない。$\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の射 $\{0,1\}\to\{0\}$ は $\mathbf{Set}$ の写像 $\{0\}\to\{0,1\}$ であって、$\{0,1\}$ の元を $\{0\}$ の元に写す操作ではない。反対圏の射は、向きを読み替えた射であり、逆向きの写像を新しく選んだものではない。

同型射・モノ射・エピ射への入口

射の性質の多くは、ほかの射との合成で定義される。元を使わないので、どの圏でも同じ定義が使える（Mac98 Chapter I §5、Rie26 §1.1–1.2）。$f\colon X\to Y$ について、主なものを表にまとめる。

名前定義集合の圏 $\mathbf{Set}$ での意味
同型射$g\circ f=\operatorname{id}_X$、$f\circ g=\operatorname{id}_Y$ となる $g\colon Y\to X$ がある全単射
モノ射$f\circ a=f\circ b$ なら $a=b$（左簡約可能）単射
エピ射$a\circ f=b\circ f$ なら $a=b$（右簡約可能）全射
分裂モノ射$r\circ f=\operatorname{id}_X$ となる $r\colon Y\to X$（左逆射、引き込み）がある始域が空でない単射、および $\operatorname{id}_\emptyset$
分裂エピ射$f\circ s=\operatorname{id}_Y$ となる $s\colon Y\to X$（右逆射、切断）がある全射（選択公理を使う）
自己同型同型射である自己射集合の置換

$\mathbf{Set}$ での意味の列のうち、モノ射・エピ射については モノ射 の記事の命題「集合の圏と群の圏のモノ射」と エピ射 の記事の命題「集合の圏のエピ射は全射」、分裂エピ射については Rie26 Remark 1.2.10 を参照。分裂モノ射の行は、単射 $f$ の始域が空でないとき、$x_0\in X$ を一つ選び、$f$ の像の上では $f$ の逆、それ以外では $x_0$ をとる写像が左逆射になることによる。空写像 $\emptyset\to Y$（$Y\ne\emptyset$）は、$Y\to\emptyset$ という写像がないので左逆射を持たない。
左逆射と右逆射がともにあれば両者は一致し、射は同型射になる（同型射 の記事の命題「同型射の基本性質」）。片側の逆射だけでは同型射にならないが、片側の逆射と反対側の簡約律があれば同型射になる。

片側の逆射と同型射

圏 $\mathcal C$ の射 $f\colon X\to Y$ について、次が成り立つ。

  1. 分裂モノ射はモノ射であり、分裂エピ射はエピ射である。
  2. $f$ がモノ射かつ分裂エピ射ならば、$f$ は同型射である。
  3. $f$ がエピ射かつ分裂モノ射ならば、$f$ は同型射である。

1：分裂モノ射がモノ射であることは モノ射 の記事の命題「分裂・正則・モノの階層」にある（$r\circ f=\operatorname{id}_X$ なら、$f\circ a=f\circ b$ の左から $r$ を合成して $a=b$ を得る）。分裂エピ射がエピ射であることは、これを反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に当てて得られる。$f\circ s=\operatorname{id}_Y$ は $(f\circ s)^{\mathrm{op}}=s^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}=\operatorname{id}_Y$ と同じなので、$f^{\mathrm{op}}$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の分裂モノ射であり、前半によりモノ射である。よって $f$ は $\mathcal C$ のエピ射である（反対圏 の記事の命題「反対圏の基本性質」の 2）。
2：$f\circ s=\operatorname{id}_Y$ となる $s\colon Y\to X$ をとる。このとき
$$ f\circ(s\circ f)=(f\circ s)\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f=f=f\circ\operatorname{id}_X $$
であり、$f$ はモノ射なので $s\circ f=\operatorname{id}_X$ である。よって $s$ は $f$ の両側逆射であり、$f$ は同型射である。
3：$r\circ f=\operatorname{id}_X$ となる $r\colon Y\to X$ をとる。1 と同じ読み替えにより、$f^{\mathrm{op}}\circ r^{\mathrm{op}}=(r\circ f)^{\mathrm{op}}=\operatorname{id}_X$ だから $f^{\mathrm{op}}\colon Y\to X$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の分裂エピ射であり、$f$ がエピ射なので $f^{\mathrm{op}}$ はモノ射である。2 を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に当てると $f^{\mathrm{op}}$ は同型射であり、したがって $f$ は同型射である。直接確かめることもできる。$(f\circ r)\circ f=f\circ(r\circ f)=f=\operatorname{id}_Y\circ f$ で $f$ はエピ射だから $f\circ r=\operatorname{id}_Y$ である。$\square$

3 の二通りの証明は、双対原理の使い方の見本である。2 を証明すれば、3 は反対圏への読み替えだけで得られる。2 で「モノ射」の仮定は外せない。写像 $r\colon\{0,1\}\to\{0\}$ は包含写像 $i$ を右逆射に持つ（$r\circ i=\operatorname{id}_{\{0\}}$）分裂エピ射であるが、単射でないのでモノ射でなく、同型射でもない。

反例の表

射の性質について、集合の圏で成り立つことや、条件をそろえたときに成り立つことは、条件を一つ外すと崩れる。

外す条件反例成り立たなくなること
射に終域を含めること空写像 $\emptyset\to\{0\}$ と $\emptyset\to\{0,1\}$（グラフはどちらも $\emptyset$）グラフから射が決まること、Hom が交わらないこと
両側の逆射（左逆射だけにする）$\mathbf{Mat}_K$ の列ベクトル ${}^t(1\ 0)\colon1\to2$。左逆射 $(1\ 0)$ を持つ同型射であること
prop-morphism-split-iso の 2 の「モノ射」$r\colon\{0,1\}\to\{0\}$。右逆射 $i$ を持つ同型射であること
集合の圏であること前順序集合 $\{0< 1\}$ の射 $0\to1$、$B\mathbb{N}$ の射 $1$モノ射かつエピ射なら同型射
係数が体であること$\mathbf{Mat}_{\mathbb{Z}}$ の射 $(2)\colon1\to1$モノ射かつエピ射なら同型射
台集合の写像だけで判定すること（同型射）$\mathbf{Top}$ の $x\mapsto x$、$\mathbb{R}_{\mathrm{d}}\to\mathbb{R}$全単射なら同型射
台集合の写像だけで判定すること（エピ射）環の圏の包含 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$エピ射なら台写像が全射
台集合の写像だけで判定すること（モノ射）可除アーベル群の圏の標準射影 $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$モノ射なら台写像が単射
射の向き（反対圏に移す）$i\colon\{0\}\to\{0,1\}$ に対する $i^{\mathrm{op}}$反対圏でもモノ射はモノ射
表の反例の確かめ

各行の反例は、この記事の例・命題と、見出し名を挙げた記事で確かめられる。

行ごとの確かめを開く

1 行目は ex-morphism-set の 2 である。2 行目：$(1\ 0)\,{}^t(1\ 0)=(1)=I_1$ なので $(1\ 0)$ は左逆射である。$1$ と $2$ は大きさが違うので、thm-morphism-matrix-iso により ${}^t(1\ 0)$ は同型射でない。3 行目は prop-morphism-split-iso の後の注意で確かめた。4 行目は prop-morphism-preorder と ex-morphism-monoid、5 行目は prop-morphism-matrix-field の後の注意、6 行目は ex-morphism-concrete の 2 による。7 行目の包含がエピ射であることは エピ射 の記事の命題「局所化の標準写像はエピ射」、8 行目の射影がモノ射であることは モノ射 の記事の注意「反例：下部の写像が単射でないモノ射」で証明されている。9 行目は ex-morphism-set-op である。

関連項目

参考文献

[1]
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, 1998, Chapter I §1（Axioms for Categories、pp. 7–9。射だけによる圏の公理は p. 9）、§2（Categories、pp. 10–12。モノイド・行列・前順序の例）、§5（Monics, Epis, and Zeros、pp. 19–20）、§8（Hom-sets、p. 27。Hom が交わらない条件）

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する

Mathpediaを支援する
射