Lerayスペクトル系列(de Rham理論)

前提知識: Čech–de Rham複体, スペクトル系列, 二重複体, ファイバー束

Leray スペクトル系列（de Rham 理論の場合、Leray spectral sequence in de Rham theory）とは、多様体 $X$ から位相空間 $Y$ への連続写像 $\pi$ と $Y$ の開被覆 $\mathfrak U$ について、逆像の被覆 $\pi^{-1}\mathfrak U$ に関する Čech–de Rham複体 を列でフィルターして得られるスペクトル系列
$$ E_2^{p,q}=\check H^p(\mathfrak U,\mathcal H^q)\ \Longrightarrow\ H^{p+q}_{dR}(X),\qquad\mathcal H^q(W):=H^q_{dR}(\pi^{-1}W) $$
のことである。$E_2$ 項は、底の開集合の逆像の de Rham コホモロジーという前層の、被覆に関する Čech コホモロジーである。
$\pi$ がファイバー $F$ をもつ $C^\infty$ 級のファイバー束で、$\mathfrak U$ が各成員の上で束を自明にする良い被覆なら、前層 $\mathcal H^q$ は被覆の交わりの上で局所定数層と一致し、底が連結かつ単連結で $H^q_{dR}(F)$ が有限次元なら
$$ E_2^{p,q}\cong H^p_{dR}(M)\otimes H^q_{dR}(F) $$
となる。全空間のコホモロジーを、底とファイバーのコホモロジーから近似する道具である。
この記事では、構成と $E_2$ 項の同定、ファイバー束での局所定数性と単連結な底での形を証明し、射影の例で計算する。球面束ではファイバーの向きの類の微分が $-e$（$e$ は Euler 類）になることを示し、積をもつ二重複体で $E_\infty$ と全複体のコホモロジーが環として同型でない例を挙げる。層の高次順像による形は Lerayスペクトル系列 が扱う。

定義と構成

多様体は $C^\infty$ 級で Hausdorff かつ第 2 可算とし、$H^\bullet$ は de Rham コホモロジーとする。$X$ を多様体、$Y$ を位相空間、$\pi\colon X\to Y$ を連続写像、$\mathfrak U=\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$ を $Y$ の開被覆とし、$I$ に全順序を 1 つ固定する。$U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}:=U_{\alpha_0}\cap\cdots\cap U_{\alpha_p}$ と書く。
$Y$ 上の前層 $\mathcal H^q$ を、開集合 $W$ に $\mathcal H^q(W):=H^q(\pi^{-1}W)$ を、開集合の包含 $W'\subset W$ に引き戻し $H^q(\pi^{-1}W)\to H^q(\pi^{-1}W')$ を対応させて定める（$\mathcal H^q(\emptyset)=0$）。アーベル群の前層 $\mathcal P$ について、交代的な Čech 余鎖の群
$$ C^p(\mathfrak U,\mathcal P):=\prod_{\alpha_0<\cdots<\alpha_p}\mathcal P(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}) $$
に $(\delta c)_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+1}}:=\sum_{i=0}^{p+1}(-1)^ic_{\alpha_0\cdots\widehat{\alpha_i}\cdots\alpha_{p+1}}|_{U_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+1}}}$ を入れた複体のコホモロジーを $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal P)$ と書く（Čechコホモロジー の定義「Čech複体」と注意「交代複体」）。

この構成に $Y$ の多様体の構造は要らず、$\mathfrak U$ が良い被覆である必要もない。$\pi$ が恒等写像 $\mathrm{id}_M$ で $\mathfrak U$ が良い被覆なら、$\mathcal H^q$ は $q>0$ の交わりの上で $0$ なので $E_2$ は $q=0$ の行だけになり、Čech–de Rham複体 の定理「de Rham と Čech の同型」の 2 と同じ結論 $H^p(M)\cong\check H^p(\mathfrak U,\mathbb R)$ を与える。一般には $\mathcal H^q$ の値は開集合ごとに大きく異なる。

微分の計算

$d_r$ は次のように計算できる（BT82 (14.12)、p. 164。この記事では証明しない）。$x\in F^p\operatorname{Tot}^nK$ の成分が $K^{p,n-p},K^{p+1,n-p-1},\dots,K^{p+r-1,n-p-r+1}$ にだけあり、$Dx$ が $K^{p+r,\,n-p-r+1}$ の成分だけをもつとき、$x$ の $K^{p,n-p}$ 成分 $b$ は $d$ で閉じていて、その $E_1$ での類は $E_r$ まで生き残り、$d_r[b]=[Dx]$ である。$x$ は、$b$ から出発して $\delta$ と $d$ を交互に打ち消していく「ジグザグ」である。

ファイバー束の場合

$\pi\colon E\to M$ を、多様体 $F$ をファイバーとする $C^\infty$ 級のファイバー束とする。すなわち ファイバー束 の定義「ファイバー束」の局所自明化 $\pi^{-1}(T)\cong T\times F$ が微分同相で取れるものとする。この開集合 $T$ を自明化する開集合という。$\mathfrak U$ を $M$ の良い被覆（Čech–de Rham複体 の定義「良い被覆と被覆の Čech コホモロジー」）で、各 $U_\alpha$ が自明化する開集合に含まれるものとする。良い被覆は開被覆のなかで共終なので（同記事、BT82 Corollary 5.2、p. 43）、このような $\mathfrak U$ はつねに存在する。$F$ のコンパクト性やコホモロジーの有限性は、断らない限り仮定しない。

これは BT82 Theorem 14.18（p. 170）の形で、そこでは単連結性と有限次元性を仮定して $E_2$ の形を述べている。3 の有限次元性は、無限個の交わりがあるとき直積 $\prod_IG_q$ と $(\prod_I\mathbb R)\otimes G_q$ が一致しないことから要る。
層の理論の形との関係．この記事の $E_2$ 項は、層の高次順像による Leray スペクトル系列の $E_2$ 項 $H^p(M,R^q\pi_*\mathbb R_E)$ と同じ群になる（2 つのスペクトル系列そのものの比較はこの記事では扱わない）。

球面束の転入と Euler 類

$V\to M$ を向き付けられた階数 $n\ge2$ の実ベクトル束、$|\cdot|$ をファイバー計量、$p\colon S\to M$ を単位球面束（ファイバー $S^{n-1}$）とし、記号と向きは 大域角形式 の記事にそろえる。$M$ は $V$ を自明化する有限の良い被覆 $\mathfrak U$ をもつとする（たとえば $M$ がコンパクトなら存在する）。同記事の定理「大域角形式の存在」と定理「大域角形式と Euler 類」により、$p_*\psi=1$、$d\psi=-p^*e$ をみたす $(n-1)$ 形式 $\psi$ と閉 $n$ 形式 $e$ があり、$[e]=e(V)$（Euler類）である。
$p$ と $\mathfrak U$ の Leray スペクトル系列を考える。空でない交わりの上で $S_{U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}}:=p^{-1}(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})\cong U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}\times S^{n-1}$ は連結で、コホモロジーは次数 $0$ と $n-1$ にだけ $\mathbb R$ である（lem-lrdr-fiber-restriction）。よって $E_1$ は $q=0$ と $q=n-1$ の 2 行だけで、$\mathcal H^0$ は交わりの上で定数 $\mathbb R$（$p^*$ で引き戻した定数関数）だから、$E_2^{k,0}=\check H^k(\mathfrak U;\mathbb R)$ である。これを Čech–de Rham複体 の定理「de Rham と Čech の同型」の同型 $[c]\mapsto r_*^{-1}i_*[c]$ で $H^k(M)$ と同一視する。各 $U_\alpha$ 上の類 $\sigma_\alpha:=[\psi|_{S_{U_\alpha}}]$ は、大域的な形式の制限なので交わりで一致し、$\sigma:=(\sigma_\alpha)_\alpha\in E_2^{0,n-1}$ を定める。$\sigma_\alpha$ はファイバーでの積分が $1$ の類、すなわちファイバーの向きの生成元である。

符号は、全複体の微分 $D=\delta+(-1)^pd$、大域角形式の規約 $d\psi=-p^*e$、Čech と de Rham の同一視の向きで決まる。BT82 Remark 14.20（p. 171）は同じ現象を「符号を除いて Euler 類」と述べている。系として、$e(V)=0$ と $d_n\sigma=0$ は同値である。2 行のスペクトル系列から Gysin 列が得られ（BT82 Proposition 14.33、p. 179）、別の方法による証明が Gysin列 の定理「de Rham コホモロジーの Gysin 列」にある。$n=1$（ファイバー $S^0$）では $H^0(S^0)=\mathbb R^2$ で 2 行の形にならないので、この命題の範囲に入れない。

積の構造

Leray の二重複体には、$\omega\in K^{p,q}$、$\eta\in K^{r,s}$ について
$$ (\omega\cdot\eta)_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+r}}:=(-1)^{qr}\,\omega_{\alpha_0\cdots\alpha_p}\wedge\eta_{\alpha_p\cdots\alpha_{p+r}} $$
（右辺は $U_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+r}}$ の逆像へ制限する）で積が入り、$D$ はこの積について全次数の反導分になる（BT82 p. 174、Remark 14.25 と Exercise 14.26）。実際、成分を展開すると $\delta(\omega\cdot\eta)=(\delta\omega)\cdot\eta+(-1)^{p+q}\omega\cdot\delta\eta$ と $d(\omega\cdot\eta)=(-1)^r(d\omega)\cdot\eta+(-1)^q\omega\cdot d\eta$ が成り立ち、$\omega\cdot\eta\in K^{p+r,q+s}$ の上で $D=\delta+(-1)^{p+r}d$ だから $D(\omega\cdot\eta)=(D\omega)\cdot\eta+(-1)^{p+q}\omega\cdot D\eta$ である。積は列のフィルトレーションを保つので、各 $E_r$ は積をもち、$d_r$ は $d_r(xy)=(d_rx)y+(-1)^{p+q}x\,d_ry$（$x\in E_r^{p,q}$）をみたす（BT82 Theorem 14.29、p. 175。この記事では証明しない）。しかし $E_\infty$ と全複体のコホモロジーは、環としては一般に同型でない。次の例は写像から作った二重複体ではなく、積をもつ二重複体の代数的な例である。

反例

関連項目

• 前提: Čech–de Rham複体, スペクトル系列, 二重複体, ファイバー束, de Rhamコホモロジー
• 比較: Lerayスペクトル系列, Serreスペクトル系列, 局所系, 層化
• 例: 大域角形式, Gysin列, Euler類
• 発展: Čechコホモロジーと層コホモロジーの比較(パラコンパクト空間), Leray–Hirschの定理, Künnethの公式