Cauchyの平均値定理

$g(t)=\cos t$、$f(t)=\sin t$ を $[0,\pi/2]$ で考えると、$\gamma(t)$ は単位円周を $(1,0)$ から $(0,1)$ まで動く。弦の向きは $(0-1,\,1-0)=(-1,1)$、時刻 $c$ での速度は $(-\sin c,\cos c)$ である。積の形の等式は $(1-0)\cdot(-\sin c)=(0-1)\cdot\cos c$、すなわち $\sin c=\cos c$ であり、$(0,\pi/2)$ の中の解は $c=\pi/4$ である。点 $\gamma(\pi/4)=\bigl(\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2\bigr)$ での接線は弦と平行で、円の対称性から予想されるとおりである。

$f(x)=x^3$、$g(x)=x^2$ を $[0,1]$ で考える。$f(1)-f(0)=1$、$g(1)-g(0)=1$ で、$(0,1)$ 上で $g'(x)=2x\neq0$ なので比の形が使え、
$$ 1=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{3c^2}{2c}=\frac{3c}2 $$
から $c=\frac23$ である。一方、平均値の定理を $f$ と $g$ に別々に使うと、$3c_1^2=1$ から $c_1=\frac1{\sqrt3}=0.577\ldots$、$2c_2=1$ から $c_2=\frac12$ となる。$c_1$、$c_2$、$c$ はどれも異なる。別々に得た式を割っても $1=\frac{f'(c_1)}{g'(c_2)}$ という、2 つの点をまたぐ等式しか得られず、それは Cauchy の平均値定理の結論ではない。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16$。分子と分母はともに $0$ に近づき、分母の導関数 $3x^2$ は $x\neq0$ で $0$ でない。導関数の比 $\frac{1-\cos x}{3x^2}$ も $\frac00$ の形で、さらに微分した比は $\frac{\sin x}{6x}$、もう一度微分した比は $\frac{\cos x}{6}\to\frac16$ である（分母の導関数 $6x$、$6$ は $x\neq0$ で $0$ でない）。thm-cauchy-mvt-lhopital を内側から順に 3 回、$0$ の右側と左側でそれぞれ使えば、$\frac{\sin x}{6x}\to\frac16$、$\frac{1-\cos x}{3x^2}\to\frac16$、$\frac{x-\sin x}{x^3}\to\frac16$ と戻ってくる。定理は「導関数の比の極限があれば」元の極限を与えるので、使う順序は極限の存在が確かめられた内側からである。
2. $\displaystyle\lim_{x\to0+0}x\log x=0$。$x\log x=\frac{\log x}{1/x}$ と書くと、分母 $g(x)=1/x$ は $\lvert g\rvert\to+\infty$、$g'(x)=-1/x^2\neq0$ で、導関数の比は $\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0$ である。thm-cauchy-mvt-lhopital-infinity により極限は $0$ である。
3. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=0$。導関数の比 $\frac{2x}{e^x}$ の極限を先に求めると、その導関数の比 $\frac{2}{e^x}\to0$ と cor-cauchy-mvt-lhopital-at-infinity（$\lvert e^x\rvert\to+\infty$ の場合）から $\frac{2x}{e^x}\to0$ であり、もう一度同じ系を使って $\frac{x^2}{e^x}\to0$ である。

$(0,1)$ 上で $f(x)=x^2\sin\frac1x$、$g(x)=x$ とする。$f,g\to0$（$x\to0+0$）、$g'=1\neq0$ で、$\frac{f(x)}{g(x)}=x\sin\frac1x\to0$ である。しかし
$$ \frac{f'(x)}{g'(x)}=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x $$
は $x_k=\frac1{2k\pi}$ で $-1$、$x_k=\frac1{(2k+1)\pi}$ で $1$ となり（$k=1,2,\ldots$）、$x\to0+0$ で極限をもたない。「$\frac fg$ が極限をもつ」という性質を満たし「$\frac{f'}{g'}$ が極限をもつ」という性質を満たさないので、l'Hôpital の定理の逆「$\frac fg$ が収束すれば $\frac{f'}{g'}$ も収束する」は成り立たない。thm-cauchy-mvt-lhopital は導関数の比の極限の存在を仮定しており、この例はその仮定を満たさないので定理と矛盾しない。

$(0,1)$ 上で $f(x)=1+x$、$g(x)=x$ とする。$g'=1\neq0$、$\frac{f'}{g'}=1\to1$ で、$g\to0$ だが、$f\to1$ である。このとき $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac1x+1\to+\infty$ であり、導関数の比の極限 $1$ とは一致しない。「$\lim f=0$」という仮定を満たさないので、thm-cauchy-mvt-lhopital の結論が崩れる。証明で $f(a):=0$ と広げたところで $f$ の連続性が失われるのが原因である。

$f(t)=\log(1+t)$（$t>-1$）とすると $f^{(k)}(t)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+t)^k}$（$k\ge1$）で、$0$ での Taylor 多項式は $T_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}kx^k$ である。$-1< x<0$ とし、Cauchy の形を使うと、ある $c\in(x,0)$ で
$$ \lvert R_n(x)\rvert=\frac{n!}{(1+c)^{n+1}\,n!}\,(c-x)^n\,\lvert x\rvert=\Bigl(\frac{c-x}{1+c}\Bigr)^n\frac{\lvert x\rvert}{1+c} $$
である。ここで $\frac{c-x}{1+c}\le\lvert x\rvert$ が成り立つ（$c-x\le-x(1+c)$ は $c(1+x)\le0$ と同値で、$c<0<1+x$ から正しい）。$1+c>1+x$ なので
$$ \lvert R_n(x)\rvert\le\frac{\lvert x\rvert^{n+1}}{1+x}\longrightarrow0\qquad(n\to\infty) $$
となり、$-1< x<0$ で $\log(1+x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}kx^k$ が従う。
一方、Lagrange の形では $\lvert R_n(x)\rvert=\frac{\lvert x\rvert^{n+1}}{(n+1)(1+c)^{n+1}}$ で、$c\in(x,0)$ の位置は分からないので、$c$ について上限をとった $\frac{1}{n+1}\bigl(\frac{\lvert x\rvert}{1+x}\bigr)^{n+1}$ で押さえることになる。$x<-\frac12$ では $\frac{\lvert x\rvert}{1+x}>1$ なので、この上界は $n\to\infty$ で $+\infty$ に発散し、収束を示す役に立たない（$x=-0.9$ なら上界は $\frac{9^{n+1}}{n+1}$ である）。同じ級数の等式は、対数関数 の記事の定理「$\log(1+x)$ の級数」で積分を使って $-1< x\le1$ について証明されている。

1. $g'\neq0$ を外す：$f(x)=x^2$、$g(x)=x^3$ を $[-1,1]$ で考えると、$f(1)-f(-1)=0$、$g(1)-g(-1)=2$ である。積の形 $0\cdot g'(c)=2f'(c)=4c$ は $c=0$ で成り立ち、定理のとおりである。しかし比の形 $\frac{0}{2}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{2c}{3c^2}=\frac2{3c}$ を満たす $c$ はない（右辺は $0$ にならず、$c=0$ では定義されない）。$g'(0)=0$ なので「$(a,b)$ 上で $g'\neq0$」を満たさず、「積の形が成り立てば比の形も成り立つ」という含意が破れる。
2. 値が実数であることを外す：$f(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t$、$g(t)=t$ を $[0,2\pi]$ で考えると、$f(2\pi)-f(0)=0$、$g(2\pi)-g(0)=2\pi$ なので、積の形は $0=2\pi\,ie^{ic}$ となるが、$\lvert ie^{ic}\rvert=1$ なので満たす $c$ はない。実部 $\cos t$ と虚部 $\sin t$ にはそれぞれ定理が使えるが、得られる点が異なるので 1 つの $c$ にまとまらない。平均値の定理 の記事の例「反例：値が複素数の関数」と同じ現象である。
3. 端点での連続性を外す：$f(x)=x$（$0\le x<1$）、$f(1)=0$、$g(x)=x^2$ とすると、$f(1)-f(0)=0$、$g(1)-g(0)=1$ なので、積の形は $0\cdot2c=1\cdot f'(c)=1$ となり、満たす $c\in(0,1)$ はない。$f$ は $x=1$ で連続でない。
4. 内部での微分可能性を外す：$f(x)=\lvert x\rvert$、$g(x)=x$ とすると、$f(1)-f(-1)=0$、$g(1)-g(-1)=2$ なので、積の形は $0=2f'(c)$ となるが、$f'(c)=\pm1$ なので満たす $c$ はない。$f$ は $x=0$ で微分可能でない。
5. l'Hôpital の定理の $\lim f=0$ を外した場合は ex-cauchy-mvt-lhopital-not-indeterminate で確かめた。