Borel–Weilの定理
概要
Borel–Weilの定理（Borel–Weil theorem）とは、一般線形群 $GL_n(\mathbb{C})$ の有限次元既約表現を、旗多様体 $\operatorname{Fl}_n=GL_n/B$ 上の直線束の大域切断の空間として実現する定理である。整数列 $\lambda$ から作った直線束 $\mathcal{L}_\lambda$ について、$\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n$ なら切断の空間は最高ウェイト $\lambda$ の既約表現の双対になり、そうでなければ $0$ になる。切断を $GL_n$ 上の関数とみると、下三角の単位行列の群で動かないものは先頭の小行列式の積の定数倍に限られ、これが既約性の鍵になる。一般の簡約群への拡張と高次コホモロジーを扱う Bott の定理がある。
Borel–Weil の定理（Borel–Weil theorem）は、一般線形群 $GL_n(\mathbb{C})$ の有限次元既約表現を、旗多様体 $\operatorname{Fl}_n=GL_n/B$ の上の直線束の大域切断の空間として実現する定理である。整数列 $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ に旗多様体上の直線束 $\mathcal{L}_\lambda$ を対応させると、$\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n$ のとき切断の空間は最高ウェイト $\lambda$ の既約表現 $V_\lambda$ の双対になり、そうでないとき $0$ になる。たとえば $\lambda=(1,0,\dots,0)$ では $\mathbb{P}(V)$ 上の $\mathcal{O}(1)$ の切断として $V^\vee$ が、$\lambda=(1,\dots,1,0,\dots,0)$ では Grassmann 多様体の Plücker 座標として $\Lambda^kV^\vee$ が現れる。
この記事では、切断を $GL_n$ 上の関数で $B$ の右作用に対して決まった変換をするものと同一視し、下三角の単位行列の群 $U^-$ で動かない関数が先頭の小行列式の積に限られることから定理を導く。一般の連結簡約群への拡張と、高次のコホモロジーを扱う Bott の定理は主張だけを述べる。
設定
$G:=GL_n(\mathbb{C})$、$B$ を可逆な上三角行列の群、$T$ を可逆な対角行列の群、$U^-$ を対角成分が $1$ の下三角行列の群とする。$V=\mathbb{C}^n$ の標準基底を $e_1,\dots,e_n$、標準旗を $F_\bullet$（$F_i=\langle e_1,\dots,e_i\rangle$）とし、旗多様体 の命題「等質空間としての記述」により $\operatorname{Fl}_n=G/B$、$gB\leftrightarrow gF_\bullet$ と同一視する。$G$ 上の正則関数（多項式関数）の環を $\mathcal{O}(G)=\mathbb{C}[g_{ij},\det^{-1}]$ とし、$\Delta_k(g)$ を $g$ の左上の $k\times k$ 小行列式とする（$\Delta_0:=1$、$\Delta_n=\det$）。
整数列 $\lambda\in\mathbb{Z}^n$ について、$B$ の指標 $\lambda(b):=b_{11}^{\lambda_1}\cdots b_{nn}^{\lambda_n}$ を考える。$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n$ のとき $\lambda$ を支配的という。
$\operatorname{Fl}_n$ 上の直線束 $\mathcal{L}_i:=\mathcal{V}_i/\mathcal{V}_{i-1}$（$\mathcal{V}_i$ は普遍部分束）を使い、
$$
\mathcal{L}_\lambda:=(\mathcal{L}_1^\vee)^{\otimes\lambda_1}\otimes\cdots\otimes(\mathcal{L}_n^\vee)^{\otimes\lambda_n}
$$
とおく（負の冪は双対の冪）。$h\in G$ は $V_\bullet$ の上のファイバーを $hV_\bullet$ の上のファイバーへ写すので、$G$ は切断の空間 $H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ に $(h\cdot s)(V_\bullet):=h\,s(h^{-1}V_\bullet)$ で作用する。また
$$
\operatorname{Ind}(\lambda):=\{f\in\mathcal{O}(G)\mid f(gb)=\lambda(b)f(g)\ (g\in G,\ b\in B)\}
$$
とおき、$G$ を $(h\cdot f)(g):=f(h^{-1}g)$ で作用させる。
- $\lambda$ が支配的なら、$H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ は $G$ の既約表現で、最高ウェイト $\lambda$ の既約表現 $V_\lambda$ の双対 $V_\lambda^\vee$ に同型である。$U^-$ で動かない切断はスカラー倍を除いてただ一つで、bw-prop-induced の同一視のもとで
$$ f_\lambda:=\Delta_1^{\lambda_1-\lambda_2}\,\Delta_2^{\lambda_2-\lambda_3}\cdots\Delta_{n-1}^{\lambda_{n-1}-\lambda_n}\,\det{}^{\lambda_n} $$
に対応する。 - $\lambda_i< \lambda_{i+1}$ となる $i$ があれば、$H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)=0$ である。
証明は次の節で行う。開いた胞体の補題（bw-lem-big-cell）で切断を関数に置き換え（bw-prop-induced）、$U^-$ で動かない関数を決定し（bw-lem-lowest）、最後に既約性と $V_\lambda^\vee$ との同型を示す（bw-prf-main）。直線束の規約は 旗多様体 の記事に合わせた。文献によっては $\mathcal{L}_i$ の正の冪で直線束を定め、切断が $V_\lambda$ そのものになる形で述べる。
直感
$\lambda=(1,0,\dots,0)$ では $\mathcal{L}_\lambda=\mathcal{L}_1^\vee$ は、$V_\bullet\mapsto V_1$ による $\mathbb{P}(V)$ の $\mathcal{O}(1)$ の引き戻しで、切断は $V$ の上の線形形式、すなわち $V^\vee$ である。関数の言葉では、切断は $g$ の第 $1$ 列の 1 次式 $f(g)=\sum_ia_ig_{i1}$ にあたる。より一般に、$\mathcal{L}_1^\vee\otimes\cdots\otimes\mathcal{L}_k^\vee=\det(\mathcal{V}_k)^\vee$ の切断は $g$ の最初の $k$ 列の $k\times k$ 小行列式（Plücker 座標）の 1 次結合で、$\Lambda^kV^\vee$ をなす。支配的な $\lambda$ では、これらの積として $\mathcal{L}_\lambda$ の切断が作られる。
既約性の鍵は、下三角の群 $U^-$ と上三角の群 $B$ の積 $U^-B$ が $G$ の中で稠密な開集合をなすことである。$U^-$ で動かない切断は、この開集合の上で $B$ の変換規則だけから値が決まってしまうので、スカラー倍を除いて一つしかない。一方、表現が二つの部分に分かれれば、それぞれに $U^-$ で動かないベクトルがあるはずなので、表現は分かれない。$\lambda$ が支配的でないときは、候補の関数が小行列式の負の冪を含み、$G$ 全体に延びない。
証明
開いた胞体
- $u\in U^-$、$g\in G$、$b\in B$ について $\Delta_k(ugb)=\Delta_k(g)\,b_{11}\cdots b_{kk}$ である。
- $g\in G$ が $U^-B$ に属することと、すべての $k$ で $\Delta_k(g)\ne0$ であることは同値で、そのとき $g=ub$（$u\in U^-$、$b\in B$）と一意に書ける。$u,b$ の成分は $g$ の成分の多項式を $\Delta_1(g)\cdots\Delta_n(g)$ の冪で割ったものであり、$b_{kk}=\Delta_k(g)/\Delta_{k-1}(g)$ である。$\Omega:=U^-B$ は $G$ の稠密な開集合である。
- $\operatorname{Fl}_n^\circ:=\{V_\bullet\mid V_k\cap\langle e_{k+1},\dots,e_n\rangle=0\ (1\le k\le n)\}$ は開集合で、$u\mapsto uF_\bullet$ は $U^-$ から $\operatorname{Fl}_n^\circ$ への代数多様体の同型である。$g\mapsto gF_\bullet$ による $\operatorname{Fl}_n^\circ$ の逆像は $\Omega$ であり、$g\operatorname{Fl}_n^\circ$（$g\in G$）は $\operatorname{Fl}_n$ を覆う。
1：$u$ は下三角なので $(ug)$ の上から $k$ 行は $g$ の上から $k$ 行にしか依存せず、$b$ は上三角なので $(gb)$ の左から $k$ 列は $g$ の左から $k$ 列にしか依存しない。よって左上の $k\times k$ ブロックについて $(ugb)_{[k],[k]}=u_{[k],[k]}\,g_{[k],[k]}\,b_{[k],[k]}$ であり、$\det u_{[k],[k]}=1$ から主張を得る。
要点：2 は左上のブロックについての帰納法、3 は $V_k$ の中で最初の $k$ 座標が $e_k$ になるベクトルを並べて $U^-$ の元を作ることによる。
2 と 3 の証明を開く
2：1 により $\Omega$ の上で $\Delta_k\ne0$ である。逆を $n$ の帰納法で示す。$g=\begin{pmatrix}A&c\\r&d\end{pmatrix}$（$A$ は $(n-1)$ 次）とし、$A=u_1b_1$ と分解できるとすると $g=\begin{pmatrix}u_1&0\\rb_1^{-1}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1&u_1^{-1}c\\0&d-rA^{-1}c\end{pmatrix}$ であり、$d-rA^{-1}c=\det g/\det A\ne0$ である。成分は帰納的に $g$ の成分の多項式を $\Delta_k$ の冪で割ったものになる。一意性は $U^-\cap B=\{1\}$ による。$b_{kk}$ の式は 1 で $u=1$ とした式 $\Delta_k(g)=\Delta_k(b)=b_{11}\cdots b_{kk}$ から従う。$\Omega$ は $G$ の中で多項式 $\Delta_1\cdots\Delta_{n-1}$ が消えない開集合で、$G$ は既約（$\mathbb{C}^{n^2}$ の空でない開集合）なので稠密である。
3：$u\in U^-$ なら $u_{[k],[k]}$ は可逆なので、$(uF)_k$ を最初の $k$ 座標へ射影する写像は同型で、$(uF)_k\cap\langle e_{k+1},\dots,e_n\rangle=0$ である。逆に $V_\bullet\in\operatorname{Fl}_n^\circ$ なら、最初の $k$ 座標が $e_k$ に等しい $V_k$ のベクトル $v_k$ がただ一つあり、$v_k\in e_k+\langle e_{k+1},\dots,e_n\rangle$ なので $\psi(V_\bullet):=(v_1\mid\cdots\mid v_n)\in U^-$ である。$v_j\in V_j\subset V_k$（$j\le k$）は一次独立なので $\psi(V_\bullet)F_\bullet=V_\bullet$ であり、$uF_\bullet=V_\bullet$ なら $ue_k$ が $v_k$ の条件を満たすので $u=\psi(V_\bullet)$ である。$\operatorname{Gr}(k,V)$ の座標近傍（$V_k$ を、上の $k\times k$ ブロックが単位行列である $n\times k$ 行列 $A_k$ の列で表すもの。旗多様体 の命題「旗多様体は射影多様体である」の証明）の積の上で $\operatorname{Fl}_n^\circ$ は開集合であり、$v_k=A_ke_k$ は座標の多項式、逆に $A_k=u_{\bullet,[k]}(u_{[k],[k]})^{-1}$ は $u$ の多項式なので、$u\mapsto uF_\bullet$ と $\psi$ はともに射である。$gF_\bullet\in\operatorname{Fl}_n^\circ$ は $g$ の最初の $k$ 列の上の $k\times k$ 小行列式 $\Delta_k(g)$ が $0$ でないことと同値なので、逆像は $\Omega$ である。$V_\bullet=gF_\bullet$ なら $V_\bullet\in g\operatorname{Fl}_n^\circ$ である。$\square$
切断と関数
$s\in H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ に、$s(gF_\bullet)=f_s(g)\,\varepsilon(g)^{\lambda}$ で定まる関数 $f_s$ を対応させる写像は、$G$ の作用と可換な線形同型 $H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)\to\operatorname{Ind}(\lambda)$ である。ここで $\varepsilon_i(g)$ は $(\mathcal{L}_i)_{gF_\bullet}=gF_i/gF_{i-1}$ の基底 $ge_i\bmod gF_{i-1}$、$\varepsilon(g)^\lambda:=\bigotimes_i(\varepsilon_i(g)^\vee)^{\otimes\lambda_i}$ は $\mathcal{L}_\lambda$ のファイバーの基底である。
要点：$\varepsilon(gb)^\lambda=\lambda(b)^{-1}\varepsilon(g)^\lambda$ と $\varepsilon(hg)^\lambda=h\,\varepsilon(g)^\lambda$ から変換規則と同変性が出て、正則性は bw-lem-big-cell の局所的な切断で確かめる。
証明を開く
$b\in B$ について $gbe_i=\sum_{j\le i}b_{ji}ge_j\equiv b_{ii}ge_i\pmod{gF_{i-1}}$ なので $\varepsilon_i(gb)=b_{ii}\varepsilon_i(g)$、双対では $b_{ii}^{-1}$ 倍となり、$\varepsilon(gb)^\lambda=\lambda(b)^{-1}\varepsilon(g)^\lambda$ である。$s(gbF_\bullet)=s(gF_\bullet)$ なので $f_s(gb)=\lambda(b)f_s(g)$ である。$h\in G$ は $ge_i$ を $hge_i$ に写すので $h\,\varepsilon(g)^\lambda=\varepsilon(hg)^\lambda$ であり、$(h\cdot s)(gF_\bullet)=h\,s(h^{-1}gF_\bullet)=f_s(h^{-1}g)\,\varepsilon(g)^\lambda$、すなわち $f_{h\cdot s}=h\cdot f_s$ である。
正則性：$g_0\in G$ を固定し、$W:=g_0\operatorname{Fl}_n^\circ$ の上で $\tau(V_\bullet):=\varepsilon\bigl(g_0\psi(g_0^{-1}V_\bullet)\bigr)^\lambda$ とおく（$\psi$ は bw-lem-big-cell の 3 の逆写像）。$g_0\psi(g_0^{-1}V_\bullet)e_i$ は $V_\bullet$ の正則なベクトル値関数なので、$\tau$ は $\mathcal{L}_\lambda|_W$ の至るところ $0$ でない正則な切断である。$g\in g_0\Omega$ を $g=g_0ub$ と分解すると、$u,b$ は $g$ の正則関数で（bw-lem-big-cell の 2 を $g_0^{-1}g$ に当てる）、$u=\psi(g_0^{-1}gF_\bullet)$ だから $\varepsilon(g)^\lambda=\lambda(b)^{-1}\tau(gF_\bullet)$ である。$s=\tilde s\,\tau$（$\tilde s$ は $W$ 上の正則関数）と書くと $f_s(g)=\lambda(b)\,\tilde s(gF_\bullet)$ は $g_0\Omega$ 上で正則であり、$g_0\Omega$ は $G$ を覆うので $f_s\in\mathcal{O}(G)$ である。
逆写像：$f\in\operatorname{Ind}(\lambda)$ について、$f(g)\,\varepsilon(g)^\lambda$ は変換規則により $gF_\bullet$ だけで決まる。$W$ の上では $V_\bullet\mapsto f\bigl(g_0\psi(g_0^{-1}V_\bullet)\bigr)\,\tau(V_\bullet)$ に等しいので正則であり、貼り合わさって切断 $s$ を与え、$f_s=f$ である。$f_s=0$ なら $s=0$ なので、対応は線形同型である。
$\operatorname{Fl}_n$ は射影多様体なので、$H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$、したがって $\operatorname{Ind}(\lambda)$ は有限次元である（Har77 III Theorem 5.2、p. 228）。また $\operatorname{Ind}(\lambda)$ の基底 $f_1,\dots,f_m$ と、値の写像 $f\mapsto(f(g_1),\dots,f(g_m))$ が同型になる点 $g_1,\dots,g_m$ をとると、$h\cdot f_j$ を基底で展開した係数は $f_j(h^{-1}g_k)$ の 1 次結合なので $h$ の正則関数である。すなわち $G$ の $\operatorname{Ind}(\lambda)$ への作用は代数群の表現である。
下三角の群で動かない関数
$f\in\operatorname{Ind}(\lambda)$ がすべての $u\in U^-$ について $u\cdot f=f$ を満たすなら、$\Omega$ の上で
$$
f(g)=f(1)\,\prod_{k=1}^{n}\Delta_k(g)^{\lambda_k-\lambda_{k+1}}\qquad(\lambda_{n+1}:=0)
$$
である。とくに $U^-$ で動かない元のなす部分空間は高々 $1$ 次元である。
$u\cdot f=f$ は $f(u^{-1}g)=f(g)$ のことである。$g=ub\in\Omega$ について $f(g)=f(b)=\lambda(b)f(1)$ であり、bw-lem-big-cell の 2 により $b_{kk}=\Delta_k(g)/\Delta_{k-1}(g)$ だから
$$
\lambda(b)=\prod_{k=1}^n\Bigl(\frac{\Delta_k(g)}{\Delta_{k-1}(g)}\Bigr)^{\lambda_k}=\prod_{k=1}^n\Delta_k(g)^{\lambda_k-\lambda_{k+1}}
$$
である。$\Omega$ は稠密なので、$f$ は $f(1)$ で決まる。$\square$
主定理の証明
bw-prop-induced により $\operatorname{Ind}(\lambda)$ について示せばよい。
$U^-$ で動かない元はあれば $0$ でない値 $f(1)$ をもつ．$G$ の $0$ でない部分表現 $W\subset\operatorname{Ind}(\lambda)$ をとる。$B^-:=U^-T$ は連結で可解な代数群なので、Lie–Kolchin の定理（Borel部分群 の定理「Lie–Kolchin の定理」、MilAG Theorem 17.33）により $W$ には $B^-$ の共通の固有ベクトル $f\ne0$ がある。$u\mapsto(u\cdot f)/f$ は $U^-$ の指標 $\chi$ で、$f(g_0)\ne0$ となる $g_0$ について $\chi(u)=f(u^{-1}g_0)/f(g_0)$ は $u$ の正則関数である。行列単位 $E_{ij}$（$i>j$）について $t\mapsto\chi(1+tE_{ij})$ は $\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}^\times$ への多項式関数で、零点をもたないので定数 $\chi(1)=1$ である。$U^-$ はこれらの元で生成されるので $\chi=1$、すなわち $f$ は $U^-$ で動かない。bw-lem-lowest により $f$ は $\Omega$ 上で $f(1)$ 倍の関数で、$f\ne0$ と $\Omega$ の稠密性から $f(1)\ne0$ である。
2 の証明．$\lambda_i< \lambda_{i+1}$ とし、$\operatorname{Ind}(\lambda)\ne0$ と仮定する。前段の $f$ について、$g(t)$ を、第 $i,i+1$ 行と第 $i,i+1$ 列のブロックが $\begin{pmatrix}t&1\\1&0\end{pmatrix}$ で、それ以外は単位行列と同じ行列とする。$\det g(t)=-1$ で、$\Delta_k(g(t))$ は $k< i$ で $1$、$k=i$ で $t$、$k>i$ で $-1$ である。$t\ne0$ なら $g(t)\in\Omega$ で、bw-lem-lowest により $f(g(t))=\pm f(1)\,t^{\lambda_i-\lambda_{i+1}}$ である。$\lambda_i-\lambda_{i+1}<0$ なので $t\to0$ で絶対値が限りなく大きくなる。一方 $f$ は $g_{jk}$ と $\det^{-1}$ の多項式で $\det g(t)=-1$ だから、$f(g(t))$ は $t$ の多項式であり、$t\to0$ で有界である。これは矛盾なので $\operatorname{Ind}(\lambda)=0$ である。
1 の証明．$\lambda$ は支配的なので、$f_\lambda$ の指数 $\lambda_k-\lambda_{k+1}$（$k\le n-1$）は $0$ 以上で、$\det$ の冪は可逆なので $f_\lambda\in\mathcal{O}(G)$ である。bw-lem-big-cell の 1 により、$u\in U^-$、$b\in B$ について
$$
f_\lambda(ugb)=\prod_{k=1}^n\bigl(\Delta_k(g)\,b_{11}\cdots b_{kk}\bigr)^{\lambda_k-\lambda_{k+1}}=f_\lambda(g)\prod_{j=1}^nb_{jj}^{\lambda_j}=\lambda(b)f_\lambda(g)
$$
である（$b_{jj}$ の指数は $\sum_{k\ge j}(\lambda_k-\lambda_{k+1})=\lambda_j$）。よって $f_\lambda\in\operatorname{Ind}(\lambda)$ は $U^-$ で動かず、$f_\lambda(1)=1$ である。bw-lem-lowest により $U^-$ で動かない元は $f_\lambda$ の定数倍に限る。
既約性：標数 $0$ では簡約群 $G$ の有限次元表現は完全可約である（MilAG Theorem 22.138、p. 424）。$\operatorname{Ind}(\lambda)=W_1\oplus W_2$（$W_1,W_2\ne0$ は部分表現）と分かれたとすると、前段により各 $W_j$ に $U^-$ で動かない $0$ でない元があり、それらは一次独立なので bw-lem-lowest に反する。$\operatorname{Ind}(\lambda)\ni f_\lambda\ne0$ なので、$\operatorname{Ind}(\lambda)$ は既約である。
$V_\lambda^\vee$ との同型：$\lambda$ が支配的なとき、最高ウェイト $\lambda$ の既約表現 $V_\lambda$ が、$V$ の対称冪・外冪と行列式の冪のテンソル積の中に構成される（FH91 Proposition 15.47、p. 232。最高ウェイト の節「一般線形群の最高ウェイト」）。その最高ウェイトベクトル $v_\lambda$ は上三角の単位行列の群で動かず、$T$ は $\lambda$ 倍で作用するので、$bv_\lambda=\lambda(b)v_\lambda$（$b\in B$）である。$\varphi\in V_\lambda^\vee$ に $\Phi(\varphi)(g):=\varphi(gv_\lambda)$ を対応させると、$\Phi(\varphi)(gb)=\lambda(b)\Phi(\varphi)(g)$ なので $\Phi(\varphi)\in\operatorname{Ind}(\lambda)$ で、$\Phi(h\varphi)(g)=\varphi(h^{-1}gv_\lambda)=(h\cdot\Phi(\varphi))(g)$ なので $\Phi$ は $G$ の作用と可換である。$\Phi(\varphi)=0$ なら $\varphi$ は $Gv_\lambda$ の張る空間、すなわち既約な $V_\lambda$ 全体の上で $0$ なので $\Phi$ は単射である。$\operatorname{Ind}(\lambda)$ は既約なので $\Phi$ は同型である。$\square$
$f_\lambda$ には $t\in T$ が $(t\cdot f_\lambda)(g)=f_\lambda(t^{-1}g)=t_1^{-\lambda_1}\cdots t_n^{-\lambda_n}f_\lambda(g)$ で作用するので、$f_\lambda$ はウェイト $-\lambda$ の、$U^-$ で動かないベクトル（最低ウェイトベクトル）である。$f_\lambda$ は、FH91 §15.5（p. 231）が $V_\lambda$ の最高ウェイトベクトルとして使う $e_1^{a_1}(e_1\wedge e_2)^{a_2}\cdots$（$a_k=\lambda_k-\lambda_{k+1}$）の、双対の側の対応物である。
例
$1\le k\le n$ とし、$\lambda=(1,\dots,1,0,\dots,0)$（$1$ が $k$ 個）とする。$f_\lambda=\Delta_k$ である。$g$ の最初の $k$ 列から行 $I=\{i_1< \cdots< i_k\}$ を選んだ小行列式 $p_I(g)$ は、$p_I(gb)=b_{11}\cdots b_{kk}\,p_I(g)$ を満たすので $\operatorname{Ind}(\lambda)$ に入る。$G$ の作用は $p_I$ たちを互いの 1 次結合に移し（Cauchy–Binet の公式）、$p_I$ は置換行列での値を見ると一次独立な $\binom nk$ 個の関数で、$\Delta_k=p_{\{1,\dots,k\}}$ を含む。bw-thm-main により $\operatorname{Ind}(\lambda)$ は既約なので、$\operatorname{Ind}(\lambda)$ は $p_I$ の張る空間 $\cong\Lambda^kV^\vee$ に等しい。$\mathcal{L}_\lambda$ は $V_\bullet\mapsto V_k$ による Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,V)$ の Plücker 束 $\det(\mathcal{V}_k)^\vee$ の引き戻しで、$p_I$ はその Plücker 座標である。$k=1$ では $\mathbb{P}(V)$ の $\mathcal{O}(1)$ の切断 $V^\vee$ である。
$\operatorname{Fl}_2=\mathbb{P}^1$、$\lambda=(a,b)$ とする。$P$ を $a-b$ 次の斉次多項式とすると、$f(g):=P(g_{11},g_{21})\det(g)^b$ は $c\in B$ について $f(gc)=c_{11}^{a}c_{22}^{b}f(g)$ を満たすので $\operatorname{Ind}(\lambda)$ に入る（第 $1$ 列は $c_{11}$ 倍、$\det$ は $c_{11}c_{22}$ 倍になる）。$a\ge b$ のとき、これらは $a-b+1$ 次元の空間 $\operatorname{Sym}^{a-b}V^\vee\otimes(\det V^\vee)^{\otimes b}$ をなし、$f_\lambda=g_{11}^{a-b}\det^b$ を含むので、既約性によりこれが $\operatorname{Ind}(\lambda)$ のすべてである。直線束としては $\mathcal{L}_{(a,b)}\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a-b)$ であり、$a< b$ では次数が負なので切断がない（主定理の 2）。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\lambda$ が支配的であること | $n=2$、$\lambda=(0,1)$ | 切断の空間が既約表現であること（$0$ になる） |
| 係数体の標数が $0$ であること（標数 $p$ の代数閉体に替える） | $n=2$、$\lambda=(p,0)$ | 切断の空間が既約であること |
- bw-ex-n2 により $\mathcal{L}_{(0,1)}\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)$ で、主定理の 2 により切断は $0$ である。$0$ は既約表現ではない。
- $k$ を標数 $p>0$ の代数閉体とし、$GL_2(k)$ と $\mathbb{P}^1_k$ で同じ構成をすると、$\mathcal{L}_{(p,0)}=\mathcal{O}(p)$ の切断は $V=k^2$ の上の $p$ 次斉次多項式の空間 $\operatorname{Sym}^pV^\vee$（次元 $p+1$）である（Har77 III Theorem 5.1、p. 225）。座標を $x,y$ とすると、$x^p,y^p$ の張る $2$ 次元の部分空間は $G$ で保たれる。実際 $(ax+by)^p=a^px^p+b^py^p$（標数 $p$ では二項係数 $\binom pj$（$0< j< p$）が $0$）なので、$x,y$ の 1 次変換は $x^p,y^p$ をそれらの 1 次結合に移す。$p+1>2$ なので、切断の空間は既約でない。標数 $0$ の証明で使った完全可約性がここで崩れている。
補足
連結な複素簡約代数群 $G$、その Borel 部分群 $B$ と極大トーラス $T\subset B$（Borel部分群）について、$T$ の指標 $\lambda$ から $G/B$ 上の直線束が作られ、$\lambda$ が支配的なら大域切断の空間は最高ウェイト $\lambda$ の既約表現（規約により、その双対）になる。さらに Bott は、一般の $\lambda$ について $H^i(G/B,\mathcal{L}_\lambda)$ が高々一つの次数を除いて $0$ であり、その次数が Weyl 群（Weyl群）の作用で決まることを示した（Borel–Weil–Bott の定理）。主張は FH91 §23.3 の Claim 23.56・Claim 23.57（p. 393）に述べられている。とくに支配的な $\lambda$ では $H^i(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)=0$（$i>0$）となる。$n=2$ では、$\mathbb{P}^1$ 上で $H^1(\mathcal{O}(m))=0$（$m\ge-1$）から直接確かめられる（Har77 III Theorem 5.1、p. 225）。
この定理は A. Borel と A. Weil によるもので、J.-P. Serre の Bourbaki セミナーの講演 Ser54 で紹介された。そこでは単連結な連結半単純コンパクト Lie 群 $K$ と、トーラスの中心化群 $U$ による等質空間 $K/U$ を複素多様体とみて、既約表現が $K/U$ を射影空間に埋め込むこと（定理 3）と、$K/U$ 上の正の因子の完全線形系が既約表現の空間の双対であること（定理 4）が述べられている。この記事の証明は、$GL_n$ に限って、開いた胞体 $U^-B$ と $U^-$ で動かない関数を使って組み立てたものである。
関連項目
参考文献
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