魔方陣

前提知識: 連立1次方程式と掃き出し法, 場合の数の数え方の体系

高校での出発点：1 から 9 を並べる

$3\times3$ のマスに $1$ から $9$ までの数を 1 回ずつ入れて、縦・横・斜めのどの 3 つの和も等しくしたい。まず、そのような並びが 1 つあることを確かめる。

行・列・対角線の 8 本の和がどれも 15 になる 3×3 の並び。中央は 5
和が $15$ になるのは偶然ではない。$1$ から $9$ までの和は $45$ で、3 本の行はマス全体を 1 回ずつ覆うので、行の和がそろうなら 1 本あたり $45\mathbin{÷}3=15$ でなければならない。
では、このような並びはいくつあるのか。中央はいつも $5$ なのか。ex-msq-start を回したり裏返したりしても条件は保たれるが、それ以外の並びはあるのか。この記事では、8 本の条件を連立 1 次方程式とみて掃き出し法（連立1次方程式と掃き出し法）で解き、次の問いに答える。

1. 8 本の和が等しい $3\times3$ の数の並びは、どんな形をしているか。中央の数は何か。→ thm-msq-general
2. $1$ から $9$ を 1 回ずつ使うものはいくつあるか。→ thm-msq-normal
3. 対角線の条件を外すと、何が変わるか。→ ex-msq-semi

   高校の見方	この記事の言葉	大学の言葉
   8 本の和が等しい	8 本の 1 次方程式	係数行列の階数 $7$
   自由に決めてよい数	$m$、$u$、$v$ の 3 つ	3 次元のベクトル空間
   回転・裏返し	正方形の 8 つの対称性	対称性の群の作用

言葉の準備

8 本の条件を式で書くと、
$$ \begin{aligned} &a+b+c=S,\quad d+e+f=S,\quad g+h+i=S &&(\text{行})\\ &a+d+g=S,\quad b+e+h=S,\quad c+f+i=S &&(\text{列})\\ &a+e+i=S,\quad c+e+g=S &&(\text{対角線}) \end{aligned} $$
である。未知数は 9 つのマスと $S$ の 10 個、式は 8 本の連立 1 次方程式である。

(1)(2)(3) のどれも、中央の数は定和の $\frac13$（$5$、$10$、$m$）になっている。これが最初の定理の出発点である。

主定理 1：$3\times3$ の魔方陣の一般の形

中央を $m=\dfrac S3$ とおく。残り 8 マスのうち、左上 $a$ と右上 $c$ を決めると、ほかがすべて決まることを示す。

中央 m と、左上の m+u、右上の m+v を決めると、ほかの 6 マスが決まる

段 1 で使ったのは 8 本のうち 6 本（2 本の対角線、上下の行、左右の列）と、lem-msq-center の証明で使った中央を通る 4 本の和である。真ん中の行と真ん中の列の式は、段 2 で自動的に成り立った。8 本の式は互いに独立ではなく、実質的な条件は 7 本である。

主定理 2：1 から 9 の魔方陣はちょうど 8 個

証明の前に、回転と裏返しが thm-msq-general の $(u,v)$ をどう変えるかを見る。正方形を時計回りに $90^\circ$ 回すと、左上のマスには左下のマスの数 $m-v$ が、右上のマスには左上の数 $m+u$ が来る。新しい左上は $m+(-v)$、右上は $m+u$ なので、$(u,v)$ は $(-v,u)$ に変わる。左右を裏返すと、左上と右上が入れ替わるので $(u,v)$ は $(v,u)$ に変わる。回転と裏返しを組み合わせた 8 つの動きについてまとめると、次の表になる。

8 つの動きで、$(u,v)$ は「成分の入れ替え」と「符号の付け替え」を組み合わせたすべての形 $(\pm u,\pm v)$、$(\pm v,\pm u)$ に移る。行き先の 8 組はすべて異なる（図 3）。
1 から 9 の魔方陣 8 個。上の段は回転、下の段は裏返してから回転したもので、下に一般の形の u、v を記した

段 5 の表の 8 つの動きが、どれも魔方陣を魔方陣に移すことは、図形の見方からも分かる。回転・裏返しは 3 本の行と 3 本の列を「行と列」の 6 本の中で入れかえ、2 本の対角線を 2 本の対角線に移すので、8 本の和が等しいという条件は保たれる。正方形を自分自身に重ねる動きがこの 8 つであることは、回転・鏡映と行列の群 で扱う。

条件を変えると何が変わるか

同じ連立 1 次方程式の見方で、条件を減らしたり、使う数を決めたりしたときの「自由に選べる数」と「1 から 9 を使うものの個数」を比べる。

未知数はどちらも 9 マスと $S$ の 10 個で、自由に選べる数は $10-(\text{階数})$ である。半魔方陣で階数が $6$ でなく $5$ なのは、「3 本の行の和の合計」と「3 本の列の和の合計」がどちらもマス全体の和で、6 本の式のうち 1 本が残りから出るからである。1 から 9 を使う半魔方陣が 72 個あることは、$9!=362880$ 通りの並べ方を計算機ですべて調べて確かめた数で、この記事では手で数える証明はしない。
対角線の条件は、lem-msq-center で中央を決めるのに使った。対角線の条件を外すと、中央は定和の $\frac13$ とは限らなくなる。

$4\times4$ の魔方陣の例

$3\times3$ より大きい魔方陣もある。$4\times4$ で $1$ から $16$ を 1 回ずつ使う場合、定和は全体の和 $136$ の $\frac14$ で $34$ である。作り方の 1 つを示す。

1 から 16 を左上から順に並べた 4×4 の並び。黄色は 2 本の対角線のマス

黄色のマスの数 x を 17−x に替えると、行・列・対角線の和がすべて 34 になる

大学数学で見る

魔方陣を 2 つ足しても、実数倍しても、また魔方陣になる（8 本の和が等しいという条件は 1 次式だから）。つまり $3\times3$ の魔方陣の全体は、足し算と実数倍について閉じた集まり、ベクトル空間 である（ベクトル空間）。thm-msq-general は、この空間が 3 つの魔方陣
$$ \underbrace{\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1&1&1\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&1&1\\ \hline\end{array}}_{m\text{ の方向}}\qquad \underbrace{\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1&-1&0\\ \hline -1&0&1\\ \hline 0&1&-1\\ \hline\end{array}}_{u\text{ の方向}}\qquad \underbrace{\begin{array}{|c|c|c|}\hline 0&-1&1\\ \hline 1&0&-1\\ \hline -1&1&0\\ \hline\end{array}}_{v\text{ の方向}} $$
の $m$ 倍・$u$ 倍・$v$ 倍の和でただ 1 通りに書けること、つまり 3 次元であることを言っている。これは 空間ベクトルと1次独立 の「1 次独立な 3 つのベクトルの 1 次結合」と同じ形で、係数行列の階数 $7$ と未知数 $10$ から $10-7=3$ と読むのが 行列の階数 の見方である。
1 から $n^2$ を 1 回ずつ使う $n\times n$ の魔方陣は、$n=2$ では作れず（ex-msq-2x2）、$n=3$ では回転・裏返しを除いて 1 個（thm-msq-normal）である。$n=4$ では、回転・裏返しを区別すると $7040$ 個、区別しないと $880$ 個ある（計算機で数えた結果で、Wei26 の表と一致する。この記事では証明しない）。Wei26 によれば、$n=5$ では回転・裏返しを除いて $275305224$ 個で、$n=6$ の個数は知られておらず、確率的な計算による推定値がある。

演習

さらに先へ

• 魔方陣の 8 本の条件は、連立1次方程式と掃き出し法 の掃き出しで「自由に選べる数が 3 つ」と読めた。同じように条件を連立 1 次方程式として読む例に、次に読む 誤り訂正符号 がある。そこでは $0$ と $1$ だけの世界で式を立てる。
• 回転・裏返しの 8 つの動きは、正方形の対称性の群をなす（回転・鏡映と行列の群）。thm-msq-normal は、1 から 9 の魔方陣全体にこの群が働き、ひとまとまりになっていることを言っている。
• 何通りあるかを数える考え方は 場合の数の数え方の体系 で扱う。

関連項目

• 前提: 連立1次方程式と掃き出し法, 場合の数の数え方の体系
• 前に読む: 連立1次方程式と掃き出し法, 場合の数の数え方の体系
• 次に読む: 誤り訂正符号, 回転・鏡映と行列の群
• 関連（高校数学）: 合同式の計算規則, 空間ベクトルと1次独立
• 発展: ベクトル空間, 行列の階数