弦の振動

同義語：弦の振動方程式vibrating string波動方程式と弦の振動

概要

前提知識: 半区間展開, 偏微分, 部分積分, Fourier級数

両端を固定した弦は、端で零になる正弦の形で振動する。一つの正弦の形だけなら、空間の形を保ったまま時間の余弦で振動する。一般にはいくつもの振動が重なり、初期変位と初期速度の二つによって各成分の時間の位相が決まる。熱方程式で使った同じ正弦の空間モードでも、熱では指数的に減衰し、弦では周期的に振動する。
本記事では有限区間の弦の解を計算し、固有振動数、初期速度の係数、はじいた弦の三角形の分布を扱う。周期的な奇延長を使うと、二つの進行波の重ね合わせとしても同じ解を書ける。全直線の波動方程式の一般論ではなく、固定端の境界条件を満たす延長と、級数解との一致を中心とする。

弦の初期境界値問題

両端固定の弦の振動

$L>0$、$a>0$ とし、実数値の変位 $y$ が
$$ y_{tt}=a^2y_{xx}\quad(0< x< L),\qquad y(0,t)=y(L,t)=0, \qquad y(x,0)=f(x),\quad y_t(x,0)=g(x) $$
を満たす問題を考える。$a$ は波の速さ、$f$ は初期変位、$g$ は初期速度である。$y$ と必要な二階導関数が連続で方程式が各点で成立する場合を、ここでは古典解と呼ぶ。

この線形モデルは小さい横振動を扱う。速さの単位は長さを時間で割ったもので、$L/a$ は波が弦を一度横切る時間である。数値例では特に断らない限り $L=a=1$ として無次元化する。モデルの非線形な伸びや摩擦は含めず、減衰のない振動を考える。
$y=X(x)T(t)$ と置くと、$-X''=\lambda X$、$T''+a^2\lambda T=0$ となる。半区間展開の定理「固定端と自由端の固有関数」から、両端固定では $X_n=\sin(n\pi x/L)$、$\lambda_n=(n\pi/L)^2$ を使う。時間の角振動数を $\Omega_n=an\pi/L$ とすると、$T_n=A_n\cos\Omega_nt+C_n\sin\Omega_nt$ である。
初期変位と速度の正弦係数をそれぞれ $F_n,G_n$ と書けば、$A_n=F_n$、$C_n=G_n/\Omega_n$ となる。初期速度は時間微分した式に現れるため、時間の正弦項の係数には角振動数で割る因子が必要である。初期変位の係数と同じように $G_n$ をそのまま置くと、速度を $\Omega_n$ 倍に誤る。

級数と進行波の一致

滑らかな初期変位の固定端解

$f\in C^2([0,L])$、$f(0)=f(L)=f''(0)=f''(L)=0$、$g=0$ とする。$\widetilde f$ を周期 $2L$ の奇延長とし、$F_n$ を $f$ の正弦係数とすると
$$ y(x,t)=\frac12\{\widetilde f(x+at)+\widetilde f(x-at)\} =\sum_{n=1}^{\infty}F_n\cos\Omega_nt\sin\frac{n\pi x}{L} $$
である。級数は $(x,t)$ 全体で絶対一様収束し、左の表示は古典解である。

まず延長の滑らかさを確かめる。負の側では $\widetilde f(x)=-f(-x)$ なので一階導関数は $f'(-x)$、二階導関数は $-f''(-x)$ となる。原点の左右で値が一致するのは $f(0)=0$、一階導関数は自動的に一致し、二階導関数が一致するのは $f''(0)=0$ による。周期の継ぎ目でも同じ計算で $f(L)=f''(L)=0$ が接続を保証する。従って $\widetilde f$ は全直線で $C^2$ 級である。
二つの平行移動した関数を直接微分すると、$y_{tt}$ はそれぞれの二階導関数に $a^2$ を掛けたもの、$y_{xx}$ は同じ二階導関数の平均であるから、方程式を満たす。奇性により $y(0,t)=0$ であり、周期性と奇性から $\widetilde f(L+s)=-\widetilde f(L-s)$ なので $y(L,t)=0$ となる。$t=0$ では $y=f$、時間微分は二つの一階導関数が逆符号で相殺して零となる。
係数は二回の部分積分で
$$ F_n=-\frac2{L(n\pi/L)^2}\int_0^Lf''(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx $$
となる。一回目の境界項は $f$ の端の値が零なので消え、二回目の境界項は正弦の端の値が零なので消える。従って $|F_n|\le C/n^2$ であり、正弦級数は絶対一様収束する。半区間展開の定理「半区間の級数が表す値」により、この級数は $\widetilde f$ を表す。
この一様収束した級数に $x+at$ と $x-at$ を代入して平均をとる。三角恒等式 $\{\sin(\theta+\phi)+\sin(\theta-\phi)\}/2=\sin\theta\cos\phi$ を各項に使えば、右の級数を得る。絶対値は $|F_n|$ で抑えられるから全 $(x,t)$ で絶対一様収束する。古典解であることは左の $C^2$ 表示から示しており、二階微分した無限級数が絶対収束すると仮定する必要はない。$\square$

この証明は、滑らかな初期変位について級数と進行波を同時に正当化する。$C^2$ 級の関数の係数が $1/n^2$ 以下であることだけから、二回微分した級数の絶対収束は出ない。そこで微分するのは進行波の表示とし、級数の等式には一様収束と三角恒等式を用いた。等式を示す手段と、微分を正当化する手段を分けると、余分な滑らかさを要求せずに済む。
初期速度もある場合、$g\in C^1([0,L])$、$g(0)=g(L)=0$ なら、その奇延長 $\widetilde g$ は $C^1$ 級である。上の式に
$$ \frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\widetilde g(s)\,ds $$
を加えると、直接の微分で $y(x,0)=f(x)$、$y_t(x,0)=g(x)$ と方程式を確認できる。奇性と周期性により端での積分は零になる。$\widetilde g$ の級数は連続・区分的 $C^1$ の一様収束の定理で積分でき、各項から $G_n\sin\Omega_nt/\Omega_n$ を得る。全直線での公式の一般的な導出は LebDQ26 §4.8.1（pp. 252–253）を参照できる。ここでは固定端の延長に適用した形を確認した。

エネルギーの保存と一意性

古典的な固定端解のエネルギー

固定端の古典解 $y$ に対し、
$$ E(t)=\frac12\int_0^L\{y_t(x,t)^2+a^2y_x(x,t)^2\}\,dx $$
は時間によらない。同じ初期変位・初期速度を持つ古典解は一つだけである。

端まで二階導関数が連続であるので、積分を時間で微分し、方程式と部分積分を用いると
$$ E'(t)=\int_0^L(y_ty_{tt}+a^2y_xy_{xt})dx =a^2\int_0^L(y_ty_{xx}+y_xy_{xt})dx =a^2[y_ty_x]_0^L. $$
端の変位は時間によらず零なので、端で $y_t=0$ である。従って $E'=0$ となり保存が従う。端で力が仕事をしないことが、境界項の消失として現れている。
同じ初期値の二つの解の差 $w$ をとると、同じ方程式と固定端条件を満たし、初期変位・速度は零である。従って $E_w(0)=0$ であり、保存から $E_w(t)=0$ となる。被積分関数は非負で連続だから $w_t=w_x=0$ が各点で成立する。$w_x=0$ により空間で定数、端で $w=0$ によりその定数も零となる。従って二つの解は一致する。$\square$

熱の場合は二乗積分が減ったが、弦では運動の項 $y_t^2$ と変形の項 $a^2y_x^2$ の和が保存される。一つのモードでも、変位が最大の瞬間には速度が零で、変位が零の瞬間には速度が最大になる。変位の大きさだけを見ると増減するが、それはエネルギーの消失ではなく二つの項の間の移り変わりである。

公式の表

量	公式	条件・意味	根拠
空間モード	$\sin(n\pi x/L)$	両端固定、$n\ge1$	半区間展開
角振動数	$\Omega_n=an\pi/L$	radianを用いた時間位相	分離した時間方程式
振動数	$\nu_n=na/(2L)$	単位時間当たりの回数	$\Omega_n/(2\pi)$
変位からの成分	$F_n\cos\Omega_nt$	$F_n$ は正弦係数	thm-wvs-traveling
速度からの成分	$(G_n/\Omega_n)\sin\Omega_nt$	初期速度を時間微分で合わせる	進行波の積分表示
保存量	$E(t)=E(0)$	古典解・固定端	thm-wvs-energy

整数倍の振動数が並ぶことを、基本振動と倍音の関係として読む。第1モードの空間内部に節はなく、第2モードには中心に一つの節がある。第 $n$ モードには内部に $n-1$ 個の節がある。これらは正弦の零点から得られる有限の計算であり、境界条件が異なれば振動数の並びも変わる。

はじいた弦の係数

点 $b\in(0,L)$ で高さ $h$ に引いた三角形の初期変位を
$$ f(x)=\begin{cases}hx/b&(0\le x\le b),\\h(L-x)/(L-b)&(b\le x\le L)\end{cases} $$
とする。速度は零とする。区間ごとの傾きは $h/b,-h/(L-b)$ で、区分点 $b$ に傾きの跳びがある。二回の区分的な部分積分により
$$ F_n=\frac{2hL^2}{n^2\pi^2b(L-b)}\sin\frac{n\pi b}{L} $$
となる。実際、一回目の境界項は両端の値が零で消え、二回目の区分点の境界項に傾きの差が残る。これは Fourier級数の計算の跳び公式を半区間の奇延長へ用いた計算でもある。
この初期分布は角を持つので、上の $C^2$ 古典解の定理の仮定は満たさない。それでも係数は $1/n^2$ 以下であり、奇延長は連続で区分的に一次式だから、級数は絶対一様収束する。進行波の平均と級数の一致は同じ三角恒等式で示せるが、移動する角の軌跡では二階微分が存在しない。従ってその場合は、角の軌跡の外で方程式を満たす区分的な解として区別する。

計算の手順

区間の長さ、波の速さ、端の条件、初期変位と初期速度を明記する。
境界条件から空間の基底と固有値を選び、時間の角振動数を求める。
$f,g$ の正弦係数を別々に求める。時間の正弦項では速度の係数を $\Omega_n$ で割る。
初期関数の滑らかさと端の適合条件を確認する。古典解の定理を使うのか、角を持つ区分的な解として計算するのかを明示する。
級数を作り、必要なら奇延長の進行波表示に直す。固定端での反射は延長の符号反転として扱う。
初期時刻の変位・速度、両端の値、方程式をそれぞれ照合する。古典解ではエネルギー保存でも確認できる。
変位と速度を別々に計算するのは、両者の物理的な役割が違うためである。変位は弦の初期の形を指定し、速度はその形が最初にどの向きへ動くかを指定する。同じ初期形でも、速度を変えると進行波の二つの成分の比が変わる。初期変位だけ与えて「弦の解」を決めたつもりにならないことが大切である。

例題

近似値は小数第6位までである。

二つの滑らかなモード

$f(x)=\sin\pi x+\frac14\sin2\pi x$、$g=0$ なら、$y=\cos\pi t\sin\pi x+\frac14\cos2\pi t\sin2\pi x$ である。$x=1/2,t=1/4$ の値は $\sqrt2/2\approx0.707107$。初期エネルギーは $E(0)=5\pi^2/16\approx3.084251$ で、どの時刻でも同じである。第2モードの変位が小さくても、その傾きには二倍の周波数が掛かるので、エネルギーへの寄与には周波数の二乗が現れる。

速度だけを与えた弦

$f=0$、$g(x)=\sin2\pi x$ なら、$y=\sin2\pi t\sin2\pi x/(2\pi)$ である。$x=1/4,t=1/8$ では $y=\sqrt2/(4\pi)\approx0.112540$。時間微分して $t=0$ を代入すると $g$ を得る。$1/(2\pi)$ を省くと初期速度は $2\pi$ 倍になるため、初期変位だけの照合ではその誤りを見つけられない。

中心から外れた点ではじく

$b=2/5$、$h=1$ とする。係数は $F_n=25\sin(2n\pi/5)/(3n^2\pi^2)$ である。第1係数は $25\sin(2\pi/5)/(3\pi^2)\approx0.803018$。$x=1/2,t=1/10$ では進行波表示から、$f(3/5)=2/3$、$f(2/5)=1$ の平均 $y=5/6\approx0.833333$ を得る。角が通る点では古典解とは呼ばず、連続な区分的解の値として読む。
はじく位置が中心の場合は偶数モードが消えるが、$b=2/5$ では五の倍数のモードが消える。これは $\sin(2n\pi/5)=0$ から分かる。はじく位置によって倍音の比が変わることを、係数の位相から説明できる。

長さと速さを変える

長さ $L=2\,\mathrm m$、速さ $a=3\,\mathrm{m/s}$ の弦では、基本振動数は $\nu_1=a/(2L)=0.75\,\mathrm{Hz}$、角振動数は $\Omega_1=3\pi/2\,\mathrm{s}^{-1}\approx4.712389\,\mathrm{s}^{-1}$ である。周期は $4/3\,\mathrm s$。角振動数と振動数を同じ数として扱うと、周期を $2\pi$ 倍に誤る。単位を明記すると両者の区別を保ちやすい。

使える条件と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
端の初期変位の適合	$f=1$ と固定端	初期時刻の端まで連続にならない
初期速度の指定	同じ $f=0$、異なる $g$	解が一意に決まらない
古典解の滑らかさ	三角形の初期変位	移動する角で二階微分が存在しない
固定端という境界条件	時間で動く端	エネルギーの境界項が零とは限らない

初期速度を指定しない反例では、零解と ex-wvs-velocity の解はどちらも $y(x,0)=0$、固定端条件を満たす。しかし正の時刻の値は異なる。二階の時間方程式には初期変位と速度の二つが必要である。エネルギーの一意性の証明も、その差の初期速度まで零であることを用いている。
動く端では $E'=a^2[y_ty_x]_0^L$ が残る。端で変位が指定されていても、その指定が時間で変われば $y_t$ は零でない。境界の力が仕事をするため、エネルギーは増減しうる。保存の式を使う前に、端の時間微分が零かを確かめる必要がある。

反射と打ち切りの読み方

奇延長を用いると、波が端に達した後の反射を別の式で作り直す必要がない。原点の外へ出る波は符号を反転した延長の値を読み、右端の外へ出る波も周期性によって同じ規則を読む。固定端では反射した変位の符号が逆になることが、奇延長の対称性に含まれている。
周期 $2L$ の延長と速さ $a$ により、零初期速度の解は時間周期 $2L/a$ を持つ。あるモードしか存在しない場合にはそれより短い周期を持つこともある。全モードの振動数が基本振動数の整数倍であるため、共通周期が得られる。この性質は均一な弦のモデルに特有で、一般のSturm–Liouville固有値では振動数の比が整数になるとは限らない。
三角形の初期分布の級数を有限で打ち切ると、角の近くが丸くなる。関数の値は一様に近づくが、導関数は角の近くで振れる。この違いは Fourier級数の項別微分の条件と反例で扱った。変位の図がよく合うことだけから、張力に関わる傾きや加速度の近似も同じ精度であると結論しない。
はじいた弦の進行波表示と最初の三つの空間モード
左の図は、$b=2/5$、$h=L=a=1$、初期速度零の弦について、進行波の平均から求めた $t=0,0.1,0.3$ の波形を示す。右の図は最初の三つの空間モード $\sin(n\pi x)$（$n=1,2,3$）である。左の角は二つの向きへ移動する。波形の値の表示と、角で二階微分できるかという問題を区別して読む。
弦の分離と初期速度の合わせ方は LebDQ26 §4.7（pp. 243–247）、進行波による表現は §4.8（pp. 252–253）にある。固定端の滑らかな延長、級数との一致、保存と一意性は上で条件を明示して示した。

よくある誤り

誤り	正しくは	理由
速度係数をそのまま時間の正弦へ置く	$\Omega_n$ で割る	初期の時間微分
角振動数をHzと読む	$2\pi$ で割る	位相と回数の違い
三角形にも古典解定理をそのまま使う	区分的解として区別	移動する角
変位の減少をエネルギーの減少と読む	速度と傾きも含める	thm-wvs-energy
固定端に偶延長を使う	奇延長を使う	端の変位の相殺

初期の形の滑らかさと振動の意味

固定端の延長では、端で変位を零にする条件が連続性を保証する。さらに二階まで滑らかな進行波を作るには、奇延長の二階導関数がつながることも必要である。一階導関数は奇延長によって偶関数の形でつながるが、二階導関数は再び符号が反転する。このため、定理では初期変位の端の二階導関数も零とした。端点の値だけを見て延長後の滑らかさを断定しない。
撥弦の折れ線は、途中に角を持つ。進行波をずらして平均する式は連続な値を与え、級数もその値を表すが、角を運ぶ直線上では二階微分が存在しない。滑らかな初期関数に対する古典解の定理と、折れ線の連続な区分的解を区別したのはこの理由による。波形の角が移動することは計算の失敗ではなく、波動方程式が初期の滑らかさの不足を運ぶことの表れである。
熱の時間因子とは異なり、$\cos\Omega_nt$ と $\sin\Omega_nt$ は高い番号のモードを一様に小さくしない。初期の細かい形がただちに滑らかになることは期待できない。正の時刻だから二階微分した級数が必ず収束すると考えるのも誤りである。本記事では、滑らかな延長の進行波を先に作り、その Fourier 級数と一致することを示した。この方法なら、二階微分した級数の収束を根拠なく仮定せずに古典解を得られる。
モード係数の値は、変位と速度で同じ形にはならない。初期変位の係数は余弦の時間因子に掛かる。初期速度の係数は時間積分に対応するため、正弦の時間因子に掛ける前に角振動数で割る。高い周波数ほど、同じ初期速度から生じる変位の振幅は小さくなる。この因子は初期時刻の変位だけを代入しても確認できず、時間微分して初期速度と合わせる必要がある。
エネルギーの保存は、変位の各点の値が一定という意味ではない。時間とともに変位と速度は変わり、運動に対応する項と傾きに対応する項の間で寄与が移る。積分した和が一定になることを部分積分で示した。固定端では時間を通じて端の変位が零なので端の速度も零であり、境界からエネルギーを出し入れする項が消える。端を動かす問題では、この境界項を捨てることはできない。
物理的な弦のエネルギーを求めるには、単位長さ当たりの質量を掛ける。方程式の速さだけを指定した無次元の例では、記事の $E$ は保存を確認するための二次量である。振動数の例のように単位を入れる場合には、張力と質量密度の比が速さの二乗になること、角振動数の次元が時間の逆数になることも合わせて確認する。数学的な固有値と測定する振動数を結び付けるには、区間の長さと速さの尺度が必要になる。