Floquetの定理

前提知識: 線形微分方程式, 行列の指数関数, Jordan標準形

係数が時間について周期的に変わる線形微分方程式 $x'=A(t)x$（$A(t+T)=A(t)$）は、ぶらんこを漕ぐ運動、周期的に変わる電場の中の荷電粒子、周期軌道のまわりの線形化など、多くの場面に現れる。係数が定数なら解は $e^{tA}x_0$ と書けるが、周期的な係数では一般に解を式で書くことはできない。Floquet の定理 は、それでも解作用素が「周期的な行列」と「行列の指数関数」の積
$$ \Pi(t,0)=P(t)\,e^{tQ}\qquad(P(t+T)=P(t)) $$
に分解されることを述べる。周期的な部分 $P(t)$ は有界なので、解の長い時間の振る舞いは定数行列 $Q$、つまり 1 周期の時間発展を表す行列（モノドロミー行列）の固有値で決まる。
この記事では、解作用素の周期性からモノドロミー行列を定義し、行列の対数の存在から Floquet の定理を証明する。次に、モノドロミー行列の固有値（Floquet 乗数）によって、周期解の存在と解の安定性を判定する。最後に 2 階の Hill の方程式 $y''+q(t)y=0$ に当てはめ、モノドロミー行列の跡（判別式）の大きさで安定性が決まることを示す。係数 $A(t)$ の固有値をみても安定性は分からないことを、具体的な反例で確かめる。

設定と解作用素の周期性

以下、$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$、$T>0$ とし、$A\colon\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{K})$ は連続で $A(t+T)=A(t)$（すべての $t$）を満たすとする。斉次方程式 $x'=A(t)x$ の解作用素を $\Pi(t,s)$ と書く（線形微分方程式 の命題「解作用素」。$\Pi(t,s)v$ は時刻 $s$ で $v$ をとる解の時刻 $t$ での値で、$\Pi(t,s)\Pi(s,r)=\Pi(t,r)$、$\Pi(t,s)^{-1}=\Pi(s,t)$、$\partial_t\Pi(t,s)=A(t)\Pi(t,s)$ を満たす）。行列のノルムは作用素ノルムとする。

モノドロミー行列は、時刻 $s$ の状態を 1 周期後の状態に移す線形写像である。lem-fl-periodic の 2 により、時刻 $t$ の状態から $k$ 周期後の状態へは $M$ の $k$ 乗で移る。

Floquet の定理

$M$ は正則なので、複素行列の範囲では対数をもつ。これが定理の鍵である。

定理と証明は Tes12 §3.6 の Theorem 3.15（p. 92）、Corollary 3.16・3.18（p. 93）による。2 は、周期的な係数の方程式が、周期的な座標変換 $x=P(t)y$ で定数係数の方程式に直ることを表す。ただし $P$ と $Q$ を求めるには $M$ が必要で、$M$ は一般に方程式を 1 周期だけ解かないと分からない。
$Q$ は一意ではない。$Q$ の固有値 $\mu$ は $e^{T\mu}$ が Floquet 乗数になる数で（行列の指数関数 の定理「指数関数の固有値と行列式」）、Floquet 指数（特性指数）という。Floquet 乗数 $\rho\ne0$ に対する Floquet 指数は $\frac1T\log\rho$ で、$\frac{2\pi i}T$ の整数倍の差を除いて決まる。実部 $\operatorname{Re}\mu=\frac1T\log\lvert\rho\rvert$ は一意に決まり、解の指数関数的な増え方・減り方の速さを表す。

Floquet 乗数と解の形

解 $e^{\mu t}p(t)$ は、周期的な振動 $p(t)$ に指数関数 $e^{\mu t}$ を掛けたものである。$M$ が対角化できるなら、固有ベクトルの解はこの形の $n$ 個の 1 次独立な解をなし、すべての解はそれらの 1 次結合である。

安定性

解の長い時間の振る舞いは Floquet 乗数の絶対値で決まる。$C^1$ 級の自励系の平衡点では、線形化の行列の固有値の実部がすべて負なら指数安定、実部が正の固有値があれば不安定である（Lyapunovの安定性定理 の定理「線形化による安定性の判定」）。係数が周期的に変わる系では、固有値の代わりに Floquet 乗数を使う。

Tes12 Corollary 3.17（p. 93）は 2 と 1 の十分性を、同じ判定条件（代数的重複度と幾何的重複度が等しいこと）で述べている。Jordan 細胞がすべて 1 次であることは、その固有値の代数的重複度と幾何的重複度が等しいことと同じである。
判定には Floquet 乗数、つまり 1 周期分の解作用素が必要であり、各時刻の係数 $A(t)$ の固有値では判定できない。定数係数の方程式では「$A$ の固有値の実部がすべて負なら解は $0$ に近づく」が成り立つが、周期的な係数ではこれが成り立たない（ex-fl-frozen）。

ex-fl-frozen の $\Pi(t,0)=R(t)e^{t(B-J)}$ は、thm-fl-main の 3 の実の表示（$\widetilde P=R$ は周期 $2\pi=2T$、$\widetilde Q=B-J$）になっている。この例では周期 $T=\pi$ の実の表示は存在しない（反例の表の 4 行目）。

Hill の方程式

$q\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を連続で周期 $T$ の関数とし、2 階の方程式
$$ y''+q(t)\,y=0 $$
を Hill の方程式 という。$x=(y,y')$ とおくと $x'=A(t)x$、$A(t)=\begin{pmatrix}0&1\\-q(t)&0\end{pmatrix}$ となる。$c$ と $s$ を、それぞれ初期条件 $c(0)=1$、$c'(0)=0$ と $s(0)=0$、$s'(0)=1$ を満たす解とすると、$\Pi(t,0)=\begin{pmatrix}c(t)&s(t)\\c'(t)&s'(t)\end{pmatrix}$ であり、モノドロミー行列は
$$ M=\begin{pmatrix}c(T)&s(T)\\c'(T)&s'(T)\end{pmatrix} $$
である。$\operatorname{tr}A=0$ なので prop-fl-monodromy の 2 から $\det M=1$ であり、Floquet 乗数は
$$ \rho^2-D\rho+1=0,\qquad D:=\operatorname{tr}M=c(T)+s'(T) $$
の 2 根である。$D$ を Hill の方程式の 判別式 という。

Tes12 Theorem 3.19（p. 95）は $\Delta:=\frac12\operatorname{tr}M$ を使って同じ主張（$\lvert\Delta\rvert<1$ なら安定、$\lvert\Delta\rvert>1$ なら不安定）を述べている。$\lvert D\rvert<2$ の場合の解は、$\rho=e^{i\omega T}$（$\omega>0$）として $e^{\pm i\omega t}p_\pm(t)$（$p_\pm$ は周期 $T$）の 1 次結合であり、周期的な振動の重ね合わせになる。

Mathieu の方程式 $y''+\omega^2(1+\varepsilon\cos t)y=0$（$T=2\pi$）では、$\varepsilon=0$ のとき ex-fl-hill-constant から $D=2\cos2\pi\omega$ であり、$\lvert D\rvert=2$ となるのは $2\omega$ が $0$ 以上の整数のときである。$(\omega,\varepsilon)$ の平面で $\lvert D\rvert>2$ となる不安定な領域は、$\varepsilon=0$ のこれらの点から舌の形に広がる（数値計算による図が Tes12 Figure 3.6、p. 96 にある）。つまり、係数を振動数 $1$ で周期的に揺らすと、固有の振動数 $\omega$ が $\frac12$ の整数倍に近いところで、小さな揺らしでも振幅が指数関数的に大きくなりうる。これを パラメータ共振 という。

反例：条件を外すと成り立たないこと

2 行目は、凍結した係数の固有値で安定性を判定する方法が周期的な係数では使えないことを示す。ex-fl-frozen では固有値が時間によらず $-1$ なのに、すべての解ではなく一部の解が $e^t$ の速さで増える。

関連項目

• 前提: 線形微分方程式, 行列の指数関数, Jordan標準形, 常微分方程式
• 比較: 力学系, 正則特異点, Lyapunovの安定性定理
• 発展: Sturm–Liouville問題