写像のグラフ

（1 ⇒ 2）$G=\Gamma_f$ とし、$x\in X$ とする。$(x,f(x))\in\Gamma_f$ なので、$(x,y)\in G$ を満たす $y$ は存在する。$(x,y)\in\Gamma_f$ ならばグラフの定義から $y=f(x)$ なので、そのような $y$ は $f(x)$ に限る。
（2 ⇒ 1）各 $x\in X$ に対し、2 によってただ一つ定まる $y$ を $f(x)$ と定める。これは $X$ の各元に $Y$ の元をただ一つ対応させる規則なので、写像 $f\colon X\to Y$ が定まる。定義から $(x,y)\in G$ と $y=f(x)$ は同値なので $G=\{(x,y)\in X\times Y\mid y=f(x)\}=\Gamma_f$ である。
一意性：$\Gamma_f=\Gamma_g$ とし、$x\in X$ とする。$(x,f(x))\in\Gamma_f=\Gamma_g$ なので、グラフの定義から $f(x)=g(x)$ である。$f,g$ は定義域と終域が同じで、すべての $x$ で値が一致するので $f=g$ である。$\square$

$i_f(x)=i_f(x')$ なら第一成分を比較して $x=x'$ だから単射である。また $\Gamma_f$ の任意の元は定義により $(x,f(x))=i_f(x)$ と書けるので、終域を $\Gamma_f$ とした写像は全射でもある。$\square$

$\Gamma_f^{\mathrm t}$ が写像のグラフなら、各 $y\in Y$ に対して $f(x)=y$ となる $x$ がただ一つ存在する。存在は全射性、一意性は単射性を意味するので $f$ は全単射である。逆に $f$ が全単射なら、各 $y$ に対して唯一の $x=f^{-1}(y)$ があり、$\Gamma_f^{\mathrm t}=\Gamma_{f^{-1}}$ である。$\square$

任意の $x\in X$ に対し $\pi_X(i_f(x))=x$ である。逆に $(x,f(x))\in\Gamma_f$ に対して
$$ i_f(\pi_X(x,f(x)))=i_f(x)=(x,f(x)) $$
なので、二つの写像は互いに逆である。第二射影の像は
$$ \{\pi_Y(x,f(x)):x\in X\}=\{f(x):x\in X\}=f(X) $$
である。最後の式も各 $x$ における値を計算すれば従う。

$(x,y)$ が左辺に属することは、$x\in A$ かつ $y=f|_A(x)=f(x)$ であることと同値である。これは $(x,y)\in\Gamma_f$ かつ $(x,y)\in A\times Y$ であること、すなわち右辺への所属と同値である。

$(x,z)\in\Gamma_{g\circ f}$ なら $z=g(f(x))$ である。$y=f(x)$ とおけば $(x,y)\in\Gamma_f$ かつ $(y,z)\in\Gamma_g$ である。
逆に右辺の条件を満たす $y$ が存在するとする。グラフの定義から $y=f(x)$ かつ $z=g(y)$ なので、$z=g(f(x))$ である。従って $(x,z)\in\Gamma_{g\circ f}$ である。

$(x_0,y_0)\notin\Gamma_f$ とする。このとき $y_0\neq f(x_0)$ である。Hausdorff性により、$f(x_0)$ と $y_0$ の互いに交わらない開近傍 $V,W\subseteq Y$ を取れる。$f$ の連続性から $U=f^{-1}(V)$ は $x_0$ の開近傍である。
積開集合 $U\times W$ は $(x_0,y_0)$ を含む。もし $(x,y)\in(U\times W)\cap\Gamma_f$ なら、$x\in U$ から $f(x)\in V$、グラフへの所属と $y\in W$ から $f(x)=y\in W$ となり、$V\cap W=\emptyset$ に矛盾する。従ってグラフの補集合は開であり、$\Gamma_f$ は閉じている。