Stone–Weierstrassの定理

連続関数の一様極限は連続なので（一様収束 の定理「連続関数の一様極限の連続性」）、$\overline{\mathcal{A}}\subset C(X,\mathbb{K})$ である。$f_n\to f$、$g_n\to g$（一様収束、$f_n,g_n\in\mathcal{A}$）とすると、$f_n+g_n\to f+g$、$cf_n\to cf$ は明らかである。積については
$$ \| f_ng_n-fg\|\le\| f_n\|\,\| g_n-g\|+\| g\|\,\| f_n-f\| $$
であり、$\| f_n\|\le\| f\|+\| f_n-f\|$ は有界なので、右辺は $0$ に近づく。よって $\overline{\mathcal{A}}$ は関数の代数である。後半は、閉包が閉集合であること（$\overline{\mathcal{A}}$ の元 $h_k\to h$ なら、各 $h_k$ に $\frac1k$ 以内の $\mathcal{A}$ の元をとれば $h$ に一様収束する）による。$\square$

Diniの定理 の系「$\lvert x\rvert$ の多項式による一様近似」により、多項式 $P_n(x)=p_n(x^2)$ は $[-1,1]$ 上で $\lvert x\rvert$ に一様収束する。ここで $p_n$ は $p_0=0$、$p_{n+1}(t)=p_n(t)+\frac12(t-p_n(t)^2)$ で定まる多項式であり、帰納法で $p_n(0)=0$ が分かるので、$P_n$ は定数項をもたない。$P_n(x)=\sum_{k=1}^{d_n}c_{n,k}x^k$ と書く。
$f\in\overline{\mathcal{A}}$ とし、$M:=\| f\|$ とおく。$M=0$ なら $\lvert f\rvert=0=f$ である。$M>0$ なら、$h_n:=MP_n(f/M)=\sum_{k=1}^{d_n}c_{n,k}M^{1-k}f^k$ は定数項がないので、lem-sw-closure により $\overline{\mathcal{A}}$ に属する。$\lvert f(x)/M\rvert\le1$ なので
$$ \bigl\lvert h_n(x)-\lvert f(x)\rvert\bigr\rvert=M\,\Bigl\lvert P_n\Bigl(\frac{f(x)}M\Bigr)-\Bigl\lvert\frac{f(x)}M\Bigr\rvert\Bigr\rvert\le M\sup_{\lvert s\rvert\le1}\bigl\lvert P_n(s)-\lvert s\rvert\bigr\rvert $$
であり、右辺は $x$ によらず $0$ に近づく。よって $\lvert f\rvert\in\overline{\mathcal{A}}$ である。最大と最小は
$$ \max\{f,g\}=\frac{f+g+\lvert f-g\rvert}2,\qquad\min\{f,g\}=\frac{f+g-\lvert f-g\rvert}2 $$
から従う。$\square$

$g(x)\ne g(y)$ となる $g\in\mathcal{A}$ と、$u(x)\ne0$、$v(y)\ne0$ となる $u,v\in\mathcal{A}$ をとる。
$$ h_1:=(g-g(y))\,u=gu-g(y)u,\qquad h_2:=(g-g(x))\,v=gv-g(x)v $$
とおくと、右辺の形から $h_1,h_2\in\mathcal{A}$ である。$h_1(y)=0$、$h_1(x)=(g(x)-g(y))u(x)\ne0$、$h_2(x)=0$、$h_2(y)=(g(y)-g(x))v(y)\ne0$ なので、$h:=\frac a{h_1(x)}h_1+\frac b{h_2(y)}h_2$ が求めるものである。$\square$

$X=\emptyset$ なら主張は自明なので、$X\ne\emptyset$ とする。$\mathcal{B}:=\overline{\mathcal{A}}$ とおき、$f\in C(X,\mathbb{R})$ と $\varepsilon>0$ を固定する。$\| f-g\|<\varepsilon$ となる $g\in\mathcal{B}$ を作れば、$\mathcal{B}$ は閉集合なので $f\in\mathcal{B}$ となり、$\mathcal{B}=C(X,\mathbb{R})$ が分かる。
第 1 段（下から抑える）。 点 $x\in X$ を固定する。各 $y\in X$ について、$h_y\in\mathcal{A}$ で $h_y(x)=f(x)$、$h_y(y)=f(y)$ となるものをとる。$y\ne x$ なら lem-sw-interpolation による。$y=x$ なら、$u(x)\ne0$ となる $u\in\mathcal{A}$ をとって $h_x:=\frac{f(x)}{u(x)}u$ とおけばよい。$h_y-f$ は連続なので
$$ V_y:=\{z\in X\mid h_y(z)>f(z)-\varepsilon\} $$
は開集合で、$y\in V_y$ である。$X$ はコンパクトなので、有限個の $y_1,\dots,y_m$ で $X=V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_m}$ となる。$g_x:=\max\{h_{y_1},\dots,h_{y_m}\}$ とおくと、lem-sw-lattice により $g_x\in\mathcal{B}$ であり、
$$ g_x(x)=f(x),\qquad g_x(z)>f(z)-\varepsilon\quad(z\in X) $$
が成り立つ。前者は各 $h_{y_i}(x)=f(x)$ から、後者は $z$ を含む $V_{y_i}$ をとれば $g_x(z)\ge h_{y_i}(z)>f(z)-\varepsilon$ となることから従う。
第 2 段（上から抑える）。 各 $x\in X$ について $W_x:=\{z\in X\mid g_x(z)< f(z)+\varepsilon\}$ は開集合で、$g_x(x)=f(x)$ より $x\in W_x$ である。コンパクト性により、有限個の $x_1,\dots,x_k$ で $X=W_{x_1}\cup\cdots\cup W_{x_k}$ となる。$g:=\min\{g_{x_1},\dots,g_{x_k}\}$ とおくと、lem-sw-lattice により $g\in\mathcal{B}$ である。各 $z\in X$ について、$z\in W_{x_j}$ となる $j$ をとれば $g(z)\le g_{x_j}(z)< f(z)+\varepsilon$ であり、各 $g_{x_i}(z)>f(z)-\varepsilon$ なので $g(z)>f(z)-\varepsilon$ である。よって各点で $\lvert f(z)-g(z)\rvert<\varepsilon$ であり、連続関数 $\lvert f-g\rvert$ はコンパクトな $X$ 上で最大値をとるので、$\| f-g\|<\varepsilon$ である。$\square$

$\mathcal{A}_{\mathbb{R}}:=\mathcal{A}\cap C(X,\mathbb{R})$ とおくと、これは実数上の関数の代数である。$f\in\mathcal{A}$ について、共役で閉じていることから
$$ \operatorname{Re}f=\frac{f+\overline f}2,\qquad\operatorname{Im}f=\frac{f-\overline f}{2i} $$
は $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ に属する。$f(x)\ne f(y)$ なら実部か虚部が $x,y$ で異なり、$f(x)\ne0$ なら実部か虚部が $x$ で $0$ でないので、$\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ は点を分離し、どの点でも消えない。thm-sw-real により、$F=u+iv\in C(X,\mathbb{C})$（$u,v$ は実数値）と $\varepsilon>0$ に対して $\| u-p\|<\varepsilon/2$、$\| v-q\|<\varepsilon/2$ となる $p,q\in\mathcal{A}_{\mathbb{R}}$ がある。$p+iq\in\mathcal{A}$ であり、$\| F-(p+iq)\|\le\| u-p\|+\| v-q\|<\varepsilon$ である。$\square$

$K$ はコンパクトである（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。$K$ 上の実数係数の多項式関数の全体は $1$ を含む関数の代数であり、$x\ne y$ ならある座標 $x_j\ne y_j$ があるので、座標関数 $x\mapsto x_j$ が点を分離する。thm-sw-real により稠密である。複素数係数の多項式関数の全体も $1$ を含み点を分離し、$K$ の点は実数の組なので、多項式 $\sum a_\alpha x^\alpha$ の共役は係数を共役にした多項式 $\sum\overline{a_\alpha}x^\alpha$ である。thm-sw-complex により稠密である。$\square$

単位円周 $S^1:=\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z\rvert=1\}$ は $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ の有界閉集合なので、コンパクトである。$e(x):=e^{ix}$ は $[0,2\pi]$ から $S^1$ への連続な全射で、$e(x)=e(x')$ となるのは $x=x'$ か $\{x,x'\}=\{0,2\pi\}$ のときに限る。$f$ の周期性から $f(0)=f(2\pi)$ なので、$F(e^{ix}):=f(x)$ によって $F\colon S^1\to\mathbb{C}$ が定まる。
$F$ は連続である。実際、閉集合 $C\subset\mathbb{C}$ について、$F^{-1}(C)=e(D)$、$D:=\{x\in[0,2\pi]\mid f(x)\in C\}$ である。$D$ はコンパクトな $[0,2\pi]$ の閉集合なのでコンパクトであり、その連続像 $e(D)$ はコンパクト、したがって Hausdorff 空間 $S^1$ の閉集合である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」）。
$S^1$ 上の関数 $\sum_{k=-N}^Nc_kz^k$ の全体を $\mathcal{A}$ とすると、$z^jz^k=z^{j+k}$ から $\mathcal{A}$ は複素数上の関数の代数であり、$1$ を含み、関数 $z$ が点を分離する。$\lvert z\rvert=1$ なら $\overline{z^k}=z^{-k}$ なので、$\mathcal{A}$ は共役で閉じている。thm-sw-complex により、$\| F-P\|<\varepsilon$ となる $P(z)=\sum_{k=-N}^Nc_kz^k\in\mathcal{A}$ がある。$T(x):=P(e^{ix})=\sum c_ke^{ikx}$ とおけば、$x\in[0,2\pi]$ で $\lvert f(x)-T(x)\rvert<\varepsilon$ であり、両辺の周期性からすべての $x\in\mathbb{R}$ で成り立つ。$f$ が実数値なら、$\operatorname{Re}T$ は実数値の三角多項式で、$\lvert f-\operatorname{Re}T\rvert=\lvert\operatorname{Re}(f-T)\rvert\le\lvert f-T\rvert<\varepsilon$ である。$\square$

$X\times Y$ は直積位相でコンパクトである（Tychonoffの定理）。$\sum_ig_i(x)h_i(y)$ の形の関数の全体 $\mathcal{A}$ は、$(g(x)h(y))(g'(x)h'(y))=(gg')(x)(hh')(y)$ から関数の代数であり、$1=1\cdot1$ を含む。$(x,y)\ne(x',y')$ とし、たとえば $x\ne x'$ なら、$g(z):=d_X(x,z)$ は $g(x)=0\ne g(x')$ を満たすので、$g(x)\cdot1$ が 2 点を分離する。$y\ne y'$ の場合も同様である。thm-sw-real による。$\square$