Hilbertのsyzygy定理

$\varepsilon$ は全射で、$T$ が可換なので $\varepsilon\delta(f\otimes m)=Xfm-fXm=0$ である。$T$ は $1,X,X^2,\dots$ を基底とする自由 $R$ 加群なので、$P$ の元は有限和 $\sum_{i=0}^NX^i\otimes m_i$（$m_i\in M$）とただ一通りに書ける。
$\delta$ は単射。 $0$ でない元を $\sum_{i=0}^NX^i\otimes m_i$（$m_N\ne0$）と書くと、その $\delta$ による像の $X^{N+1}\otimes(\cdot)$ の成分は $m_N$ なので、像は $0$ でない。
$\ker\varepsilon\subset\operatorname{im}\delta$。 $i\ge1$ について、和をとると隣り合う項が消えて
$$ X^i\otimes m-1\otimes X^im=\delta\Bigl(\sum_{j=0}^{i-1}X^j\otimes X^{i-1-j}m\Bigr) $$
となる。よって $\operatorname{im}\delta$ を法として $\sum_iX^i\otimes m_i\equiv1\otimes\sum_iX^im_i=1\otimes\varepsilon(\sum_iX^i\otimes m_i)$ であり、$\varepsilon$ で $0$ に写る元は $\operatorname{im}\delta$ に入る。$\square$

$\operatorname{gldim}R=d<\infty$ としてよい。$T$ 加群 $M$ を $R$ 加群とみなすと、長さ $d$ 以下の射影分解 $Q_\bullet\to M$ がある。$T$ は自由 $R$ 加群なので $T\otimes_R-$ は完全列を保ち（$R$ 加群としては同じ列の直和をとる操作である）、射影加群 $Q_i$ が自由加群 $F$ の直和因子なら $T\otimes_RQ_i$ は自由 $T$ 加群 $T\otimes_RF$ の直和因子である。よって $T\otimes_RQ_\bullet$ は $P=T\otimes_RM$ の長さ $d$ 以下の射影分解で、$\operatorname{pd}_TP\le d$ である。lem-syzygy-basic-sequence の完全列と 射影次元 の命題「短完全列での三つの上界」の第 3 式から
$$ \operatorname{pd}_TM\le\max(\operatorname{pd}_TP,\ \operatorname{pd}_TP+1)\le d+1 $$
である。$M$ は任意の $T$ 加群だったので $\operatorname{gldim}T\le d+1$ である。$\square$

上界。 体 $k$ 上のベクトル空間は基底をもつので自由であり（無限次元なら Zorn の補題を使う）、$\operatorname{gldim}k=0$ である。$k[x_1,\dots,x_i]=k[x_1,\dots,x_{i-1}][x_i]$ に prop-syzygy-one-variable を $i=1,\dots,n$ と順に当てて $\operatorname{gldim}S\le n$ を得る。
下界。 $1\le i\le n$ について $S/(x_1,\dots,x_{i-1})\cong k[x_i,\dots,x_n]$ は整域で、$x_i$ はその $0$ でない元なので零因子でない。最後の商 $S/(x_1,\dots,x_n)=k$ は $0$ でない。よって $x_1,\dots,x_n$ は $S$ 正則列であり、Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」により Koszul 複体 $K_\bullet=K_\bullet(x_1,\dots,x_n;S)$（$K_q=\bigwedge^qS^n$）は $k$ の長さ $n$ の自由分解である。$\operatorname{Hom}_S(K_\bullet,k)$ の微分は成分 $0$ または $\pm x_j$ の行列で与えられ、$x_j$ は $k$ に $0$ で作用するので、微分はすべて $0$ である。よって
$$ \operatorname{Ext}^n_S(k,k)=\operatorname{Hom}_S\Bigl(\bigwedge^nS^n,k\Bigr)\cong k\ne0 $$
であり、射影次元 の定理「全係数Extの消滅判定」により $\operatorname{pd}_Sk\ge n$ である。$n=0$ では $S=k$ で、主張は $\operatorname{gldim}k=0$ である。
上界と合わせて $n\le\operatorname{pd}_Sk\le\operatorname{gldim}S\le n$ となり、1 が従う。2 は、1 によりすべての $M$ で $\operatorname{pd}_SM\le n$ であることに 射影次元 の定理「全係数Extの消滅判定」の 1 ⇒ 4 を当てて得られる。$\square$

1：$N\ne0$ なら、$N_d\ne0$ となる最小の $d$ がある。$(\mathfrak mN)_d=\sum_{e\ge1}S_eN_{d-e}=0$ なので $N_d\not\subset\mathfrak mN$ となり、$N=\mathfrak mN$ に反する。2：$y_1,\dots,y_r$ が生成する部分加群を $N'$ とすると $N=N'+\mathfrak mN$ なので、有限生成の次数付き加群 $N/N'$ は $\mathfrak m(N/N')=N/N'$ をみたし、1 により $N=N'$ である。$\square$

$k\otimes_SF_\bullet=F_\bullet/\mathfrak mF_\bullet$ の微分は、極小性 $d_i(F_i)\subset\mathfrak mF_{i-1}$ により $0$ なので、$\operatorname{Tor}_i^S(k,M)=H_i(k\otimes_SF_\bullet)=F_i/\mathfrak mF_i$ である。一方、$k$ には長さ $n$ の自由分解 $K_\bullet(x_1,\dots,x_n;S)$ がある（節「大域次元の計算」の証明の下界の段）。Tor関手 の命題「平衡性」により $\operatorname{Tor}_i^S(k,M)=H_i(K_\bullet\otimes_SM)$ であり、$i>n$ では $K_i=0$ なので $0$ である。よって $i>n$ で $F_i=\mathfrak mF_i$ となり、lem-syzygy-graded-nakayama の 1 により $F_i=0$ である。$\square$

前半は prop-syzygy-graded-length の極小な次数付き自由分解そのものである。後半：$G_\bullet\to M$ を有限階数の次数付き自由加群による次数付き自由分解とし、第 $n$ 関係加群を $P=\ker(G_{n-1}\to G_{n-2})$（$n\ge2$。$n=1$ なら $\ker(G_0\to M)$、$n=0$ なら $P=M$）とおく。$P$ は次数付きで、$S$ が Noether 環なので有限生成であり、主定理の 2 により射影加群である。$P/\mathfrak mP$ の斉次な基底を持ち上げて、補題の 2 により全射 $\pi\colon F=\bigoplus_jS(-a_j)\to P$ で $F/\mathfrak mF\cong P/\mathfrak mP$ となるものをとる。$P$ は射影的なので $\pi$ は分裂し、$F\cong P\oplus L$、$L=\ker\pi$ は次数付きで、$F$ の商でもあるので有限生成である。$\mathfrak m$ を法とすると $F/\mathfrak mF\cong P/\mathfrak mP\oplus L/\mathfrak mL$ となり、次元を比べて $L/\mathfrak mL=0$、補題の 1 により $L=0$ である。よって $P\cong F$ は次数付き自由加群である。$\square$

次数を保つ完全列は各次数で $k$ ベクトル空間の有限次元の完全列になるので、交代和をとると $\dim_kM_d=\sum_i(-1)^i\dim_k(F_i)_d$ である（長い完全列を短完全列に分けて Hilbert関数 の補題「完全列と次数のずらし」を繰り返し使う）。同じ補題と例「多項式環」により $\operatorname{HS}_{S(-a)}(t)=t^a/(1-t)^n$ なので式を得る。$n\ge1$ なら $t^a/(1-t)^n$ の $t^d$ の係数は $d\ge a$ で $\binom{d-a+n-1}{n-1}$ であり、これは $d$ の多項式である。有限個の和なので最後の主張が従う（$n=0$ なら $M$ は有限次元で、十分大きい $d$ で $M_d=0$）。$\square$