正規部分群
概要
正規部分群（normal subgroup）とは、群 $G$ の部分群 $N$ で、すべての $g\in G$ について共役 $gNg^{-1}$ が $N$ に含まれるものであり、$N\trianglelefteq G$ と書く。これは左剰余類と右剰余類がすべて一致すること、剰余類の積 $(xN)(yN)=xyN$ が代表元によらず定まること、ある群準同型の核であることのいずれとも同値であり、正規部分群はちょうど剰余群 $G/N$ を作れる部分群である。アーベル群の部分群、中心、交換子部分群、交代群 $A_n\subset S_n$、指数 $2$ の部分群が代表例である。$S_3$ の位数 $2$ の部分群は正規でなく、正規性は推移的でない。
定義
以下、群 $G$ の演算を積 $xy$ で書き、単位元を $e$、$x$ の逆元を $x^{-1}$ と書く。$g\in G$ と部分集合 $S\subset G$ に対し
$$
gSg^{-1}:=\{gsg^{-1}\mid s\in S\},\qquad gS:=\{gs\mid s\in S\},\qquad Sg:=\{sg\mid s\in S\}
$$
とおく。元 $x$ を $gxg^{-1}$ に写すことを $g$ による共役といい、$gxg^{-1}$ を $x$ の共役元という。$H$ が $G$ の部分群のとき、$gH$ を $g$ の左剰余類、$Hg$ を右剰余類という（剰余類）。
$N$ を群 $G$ の部分群とする。すべての $g\in G$ とすべての $n\in N$ について
$$
gng^{-1}\in N
$$
が成り立つとき、すなわちすべての $g\in G$ について $gNg^{-1}\subset N$ であるとき、$N$ を $G$ の正規部分群（normal subgroup）といい、$N\trianglelefteq G$ と書く。
どの群 $G$ でも $\{e\}$ と $G$ 自身は正規部分群である。単位元だけからなる群でなく、正規部分群がこの 2 つしかない群を単純群という。定義は包含 $gNg^{-1}\subset N$ だけを要求しているが、すべての $g$ について要求しているので等号 $gNg^{-1}=N$ が自動的に従う（thm-normal-subgroup-equivalent の 2）。一つの $g$ だけについては、$gNg^{-1}\subset N$ から $gNg^{-1}=N$ は一般には従わないので、定義の「すべての $g$」は省けない。たとえば実数直線の変換 $x\mapsto 2^kx+b$（$k\in\mathbb{Z}$、$b$ は分母が $2$ の冪の有理数）のなす群 $G$ で、$N:=\{x\mapsto x+b\mid b\in\mathbb{Z}\}$、$g(x):=2x$ とすると、$g\circ(x\mapsto x+b)\circ g^{-1}$ は $x\mapsto x+2b$ なので $gNg^{-1}=\{x\mapsto x+2b\mid b\in\mathbb{Z}\}\subsetneq N$ である（この $N$ は $g^{-1}Ng\not\subset N$ なので正規でない）。
正規部分群は次のように言い換えられる。条件 5 の「代表元の選び方によらない」とは、$xN=x'N$、$yN=y'N$ ならば $xyN=x'y'N$ となることである。
$N$ を群 $G$ の部分群とする。次は同値である。
- $N\trianglelefteq G$、すなわちすべての $g\in G$ について $gNg^{-1}\subset N$。
- すべての $g\in G$ について $gNg^{-1}=N$。
- すべての $g\in G$ について $gN=Ng$（左剰余類と右剰余類が一致する）。
- すべての左剰余類は右剰余類でもある。すなわち、各 $g\in G$ に対し $gN=Ng'$ となる $g'\in G$ がある。
- 左剰余類の集合 $G/N$ 上で、$(xN)(yN):=xyN$ が代表元 $x,y$ の選び方によらずに定まる。
- ある群 $H$ と群準同型 $f\colon G\to H$ があって $N=\ker f$ となる。
1 ⇒ 2：$g\in G$ とする。1 を $g^{-1}$ に適用すると $g^{-1}Ng\subset N$ である。両辺を $g$ で共役すると $N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subset gNg^{-1}$ となり、1 の $gNg^{-1}\subset N$ と合わせて $gNg^{-1}=N$ である。
2 ⇒ 3：$gN=(gNg^{-1})g=Ng$ である。実際、$gn=(gng^{-1})g$ なので $gN=(gNg^{-1})g$ であり、2 によりこれは $Ng$ に等しい。
3 ⇒ 4：$g'=g$ とすればよい。
4 ⇒ 1：$g\in G$ をとり、$gN=Ng'$ とする。$g=ge\in gN=Ng'$ である。一方 $g=eg\in Ng$ でもあるので、右剰余類 $Ng'$ と $Ng$ は $g$ を共有する。右剰余類どうしは一致するか交わらないかのどちらかである（剰余類 の記事の命題「剰余類による分割」）から、$Ng'=Ng$、よって $gN=Ng$ である。$n\in N$ とすると $gn\in gN=Ng$ なので、ある $n'\in N$ により $gn=n'g$ と書け、$gng^{-1}=n'\in N$ である。
5 ⇒ 1：$g\in G$、$n\in N$ とする。$gnN=gN$（$g^{-1}(gn)=n\in N$ による）なので、5 により $gN$ の代表元を $g$ から $gn$ に替えても積は変わらない。$g^{-1}N$ との積を 2 通りに計算すると
$$
N=gg^{-1}N=(gN)(g^{-1}N)=(gnN)(g^{-1}N)=gng^{-1}N
$$
であり、$gng^{-1}N=N$ から $gng^{-1}\in N$ である。
1 ⇒ 5 と 1 ⇒ 6：$N\trianglelefteq G$ なら、$G/N$ の積は代表元によらずに定まって $G/N$ は群になり、標準射影 $\pi\colon G\to G/N$、$x\mapsto xN$ は核が $N$ の群準同型である（剰余群 の記事の命題「剰余群の構成」）。したがって $H=G/N$、$f=\pi$ とすれば 6 が成り立つ。
6 ⇒ 1：群準同型の核は正規部分群である（群準同型 の記事の命題「核は正規部分群で像は部分群」）。$\square$
3 は集合としての等式であり、元ごとの等式 $gn=ng$ を意味しない。たとえば後の ex-normal-subgroup-alternating の $A_3\trianglelefteq S_3$ では $(1\,2)A_3=A_3(1\,2)$ だが、$(1\,2)$ と $(1\,2\,3)$ は可換でない。すべての $n\in N$ と $g\in G$ について $gn=ng$ となるのは、$N$ が中心 $Z(G)$ に含まれる場合である（ex-normal-subgroup-center）。
5 と 6 は、正規部分群が「その部分群で割った群」を作るための条件であり、しかもちょうど群準同型の核になりうる部分群であることを述べている。割った群の構成と性質は 剰余群 の記事が扱う。
直感
$g$ による共役 $x\mapsto gxg^{-1}$ は $G$ の自己同型であり（内部自己同型）、$G$ の元に「$g$ から見た名前」を付け直す操作と考えられる。正規部分群は、この付け直しをどの $g$ で行っても自分自身に戻る部分群である。したがって「$N$ に属する」という性質は $G$ の内部のどの視点から見ても変わらず、$N$ の元を一斉に単位元とみなして $G$ を「$N$ を法として」計算しても矛盾が生じない。これが剰余群の作れる理由であり、群準同型で $N$ を潰すことができる理由である。可換な群では共役が何も動かさないので、すべての部分群が正規である。非可換な群では、正規性は部分群に課される真の制約になる。
例と反例
置換の積は右から先に施す：$\sigma\tau$ は $\tau$ を施してから $\sigma$ を施す置換である。このとき $n$ 次の対称群 $S_n$ の任意の $\sigma$ と互換 $(a\,b)$ について $\sigma(a\,b)\sigma^{-1}=(\sigma(a)\,\sigma(b))$ が成り立つ（$\sigma(a)$ は $\sigma^{-1}$ で $a$ に、$(a\,b)$ で $b$ に、$\sigma$ で $\sigma(b)$ に写る。$\sigma(a),\sigma(b)$ 以外の点は動かない）。
$G$ がアーベル群なら、すべての部分群 $N$ は正規である。$gng^{-1}=ngg^{-1}=n\in N$ だからである。たとえば整数の加法群 $\mathbb{Z}$ の部分群 $n\mathbb{Z}$、実数の加法群 $\mathbb{R}$ の部分群 $\mathbb{Z}$ はいずれも正規であり、剰余群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が作れる。逆は成り立たない。位数（群の位数）$8$ の四元数群 $Q_8$ はすべての部分群が正規だが可換でない（アーベル群 の記事の例「反例：部分群がすべて正規でも可換とは限らない」）。
$x,y\in G$ に対し $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ を交換子という。交換子全体が生成する部分群 $[G,G]$ を $G$ の交換子部分群（交換子群、導来部分群）という。$g\in G$ について
$$
g[x,y]g^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})(gxg^{-1})^{-1}(gyg^{-1})^{-1}=[gxg^{-1},gyg^{-1}]
$$
なので、交換子の全体は共役で閉じている。後の prop-normal-subgroup-intersection の 2 により $[G,G]\trianglelefteq G$ である（可解群 の記事の補題「交換子部分群とアーベル商」も同じことを示す）。$G$ がアーベル群であることと $[G,G]=\{e\}$ であることは同値であり、$G/[G,G]$ はアーベル群になる（剰余群 の記事の例「アーベル化」）。
置換の符号 $\operatorname{sgn}\colon S_n\to\{\pm1\}$ は群準同型であり、その核は偶置換のなす交代群 $A_n$ である（群準同型 の記事の例「符号準同型」）。thm-normal-subgroup-equivalent の 6 により $A_n\trianglelefteq S_n$ である。$n\ge2$ なら $A_n$ の指数（左剰余類の個数）は $2$ なので、後の prop-normal-subgroup-index-two からも正規性が分かる。$n=3$ では $A_3=\{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}$ であり、$S_3$ の正規部分群は $\{e\}$、$A_3$、$S_3$ の 3 つだけである（3次の対称群 の記事の命題「部分群と正規部分群」）。
同様に、体 $k$ 上の一般線形群 $\mathrm{GL}_n(k)$ の行列式 $\det\colon\mathrm{GL}_n(k)\to k^\times$ は群準同型であり（群準同型 の記事の例「行列式による準同型」）、その核である特殊線形群 $\mathrm{SL}_n(k)=\{A\mid\det A=1\}$ は $\mathrm{GL}_n(k)$ の正規部分群である。直接にも $\det(ABA^{-1})=\det A\cdot\det B\cdot(\det A)^{-1}=\det B$ から確かめられる。
$S_3$ の部分群 $H=\{e,(1\,2)\}$ は正規でない。実際 $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1}=(3\,2)=(2\,3)\notin H$ である。左右の剰余類で見ると、$(1\,3)(1\,2)=(1\,2\,3)$、$(1\,2)(1\,3)=(1\,3\,2)$ なので
$$
(1\,3)H=\{(1\,3),(1\,2\,3)\},\qquad H(1\,3)=\{(1\,3),(1\,3\,2)\}
$$
となり、thm-normal-subgroup-equivalent の 3 が破れている。同様に $(2\,3)H\neq H(2\,3)$ である。
この例は「部分群である」「位数が $2$ である」「指数が $3$ である」を満たすが「正規」を満たさない。したがって、後の prop-normal-subgroup-index-two の仮定「指数 $2$」を「指数 $3$」に替えた主張を破り、「位数 $2$ の部分群は正規である」という主張も破る。$H$ は $\langle(1\,3)\rangle$、$\langle(2\,3)\rangle$ と互いに共役であり、1 つの部分群の共役がすべて自分自身に一致するという正規性の条件が、3 つの部分群が入れ替わることで破れている。
正方形の二面体群 $\operatorname{Dih}_4$ を考える。これは $90$ 度の回転 $r$ と一つの対称軸に関する反射 $s$ で生成され、関係 $r^4=s^2=e$、$srs=r^{-1}$ を満たす位数 $8$ の群であり、元は $r^i$、$r^is$（$0\le i\le3$）と一意に書ける（この群を $D_4$ と書く流儀と $D_8$ と書く流儀がある）。$srs=r^{-1}$ の両辺の逆元をとると $sr^{-1}s=r$、すなわち $sr^{-1}=rs$ であり、また $sr^2=r^{-2}s=r^2s$ である。
$$
K:=\{e,r^2,s,r^2s\},\qquad H:=\{e,s\}
$$
とおく。$K$ は積で閉じた有限部分集合なので部分群であり（$s\cdot r^2s=r^2s\cdot s=r^2$ など）、指数 $2$ だから prop-normal-subgroup-index-two により $K\trianglelefteq\operatorname{Dih}_4$ である。$H$ は $K$ の指数 $2$ の部分群なので、同じ命題により $H\trianglelefteq K$ である。しかし
$$
rsr^{-1}=r(sr^{-1})=r(rs)=r^2s\notin H
$$
なので、$H$ は $\operatorname{Dih}_4$ の正規部分群でない。幾何学的には、$K$ は恒等変換・$180$ 度回転・直交する 2 本の軸に関する反射からなり、$90$ 度回転で共役すると一方の軸がもう一方の軸に移る。
この例は、$G=\operatorname{Dih}_4$ として「$H\trianglelefteq K$」と「$K\trianglelefteq G$」を満たすが「$H\trianglelefteq G$」を満たさず、含意「$H\trianglelefteq K\trianglelefteq G$ ならば $H\trianglelefteq G$」を破る。$4$ 次対称群 $S_4$ の中の $\{e,(1\,2)(3\,4)\}\trianglelefteq V\trianglelefteq S_4$（$V=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ は Klein四元群 と同型な部分群）も同じ現象の例である（特性部分群 の記事の注意「正規性は推移的でない」）。
性質
指数 2 の部分群
部分群 $H\le G$ の左剰余類の個数を $H$ の指数といい、$[G:H]$ と書く（剰余類）。右剰余類の個数も同じ $[G:H]$ である（剰余類 の記事の命題「左剰余類と右剰余類の対応」）。
群 $G$ の部分群 $H$ の指数が $2$ ならば、$H\trianglelefteq G$ である。
左剰余類は $G$ を互いに交わらない部分集合に分割し、$H=eH$ はその一つである（剰余類 の記事の命題「剰余類による分割」）。指数が $2$ なので、左剰余類は $H$ と補集合 $G\setminus H$ の 2 つである。右剰余類についても同様に、$H=He$ ともう一つの右剰余類があり、それは補集合 $G\setminus H$ に等しい（右剰余類の個数も $2$ だから）。
$g\in G$ とする。$g\in H$ なら $gH=H=Hg$ である（$H$ は部分群なので $gH\subset H$、かつ $h=g(g^{-1}h)$ より $H\subset gH$。右側も同様）。$g\notin H$ なら、$g\in gH$ と $g\in Hg$ から $gH$ も $Hg$ も $H$ とは異なる剰余類であり、$gH=G\setminus H=Hg$ である。いずれの場合も $gH=Hg$ なので、thm-normal-subgroup-equivalent の 3 により $H\trianglelefteq G$ である。$\square$
ex-normal-subgroup-s3 のとおり、指数 $3$ の部分群は正規とは限らない。一般に、有限群 $G$ で $p$ が $|G|$ を割り切る最小の素数なら、指数 $p$ の部分群は正規である（DF04 §4.2。証明には剰余類の集合への $G$ の作用（群の作用）を用いる）。$p=2$ の場合が prop-normal-subgroup-index-two であり、$S_3$ では $|S_3|=6$ を割る最小の素数が $2$ なので、指数 $3$ の部分群にはこの主張が適用されない。
共通部分と生成
$G$ を群とする。
- $G$ の正規部分群の族 $(N_i)_{i\in I}$（$I\neq\emptyset$）の共通部分 $\bigcap_{i\in I}N_i$ は $G$ の正規部分群である。
- 部分集合 $S\subset G$ がすべての $g\in G$ について $gSg^{-1}\subset S$ を満たすなら、$S$ が生成する部分群 $\langle S\rangle$ は $G$ の正規部分群である。
- 任意の部分集合 $S\subset G$ に対し、$S$ を含む最小の正規部分群が存在し、それは共役元の全体 $\{gsg^{-1}\mid g\in G,\ s\in S\}$ が生成する部分群に等しい。
1：部分群の共通部分は部分群である（部分群 の記事の命題「部分群の共通部分」）。$n\in\bigcap N_i$、$g\in G$ なら、各 $i$ について $n\in N_i$ かつ $N_i$ が正規なので $gng^{-1}\in N_i$ であり、$gng^{-1}\in\bigcap N_i$ である。
2：$\langle S\rangle$ の元は $s_1^{\varepsilon_1}s_2^{\varepsilon_2}\cdots s_m^{\varepsilon_m}$（$m\ge0$、$s_j\in S$、$\varepsilon_j=\pm1$。$m=0$ は $e$）の形の積である（部分群 の記事の命題「生成される部分群の元の記述」）。$g\in G$ について
$$
g\,s_1^{\varepsilon_1}\cdots s_m^{\varepsilon_m}\,g^{-1}=(gs_1g^{-1})^{\varepsilon_1}\cdots(gs_mg^{-1})^{\varepsilon_m}
$$
である（隣り合う $g^{-1}g$ が消え、$gs^{-1}g^{-1}=(gsg^{-1})^{-1}$ である）。仮定から $gs_jg^{-1}\in S$ なので、右辺は $\langle S\rangle$ に属する。よって $g\langle S\rangle g^{-1}\subset\langle S\rangle$ である。
3：$S$ を含む正規部分群の全体は $G$ 自身を含むので空でなく、1 によりその共通部分 $M$ は $S$ を含む正規部分群であり、作り方から最小である。$T:=\{gsg^{-1}\mid g\in G,\ s\in S\}$ とおく。$h(gsg^{-1})h^{-1}=(hg)s(hg)^{-1}\in T$ なので $T$ は共役で閉じ、2 により $\langle T\rangle$ は $S$（$g=e$ の場合）を含む正規部分群である。よって $M\subset\langle T\rangle$ である。逆に、$M$ は $S$ を含み正規なので $T\subset M$、したがって $\langle T\rangle\subset M$ である。$\square$
3 の部分群を $S$ の正規閉包という。$S$ が生成する部分群 $\langle S\rangle$ そのものは正規とは限らない。ex-normal-subgroup-s3 の $S=\{(1\,2)\}$ では $\langle S\rangle=H$ は正規でなく、正規閉包は 3 つの互換すべてを含み、$(1\,2)(1\,3)=(1\,2\,3)$ も含むので位数は $3$ より大きく、Lagrangeの定理 により $6$、すなわち $S_3$ 全体である。
積と準同型
$H$ を群 $G$ の部分群、$N$ を $G$ の正規部分群とする。
- $HN:=\{hn\mid h\in H,\ n\in N\}$ は $G$ の部分群であり、$HN=NH$ である。
- $H$ も正規なら、$HN$ は $G$ の正規部分群である。
- $H\cap N$ は $H$ の正規部分群である。
1：$hn=(hnh^{-1})h$ で $hnh^{-1}\in N$ なので $HN\subset NH$ であり、$nh=h(h^{-1}nh)$ から逆の包含も得られ、$HN=NH$ である。$e=ee\in HN$ である。$h_1n_1,h_2n_2\in HN$ に対し
$$
(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1}=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}=(h_1h_2^{-1})\bigl(h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}\bigr)
$$
であり、$h_1h_2^{-1}\in H$、$h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}\in N$ なので、これは $HN$ に属する。部分群の判定条件（部分群 の記事の命題「部分群の判定条件」）により $HN$ は部分群である。
2：$g\in G$ について $g(hn)g^{-1}=(ghg^{-1})(gng^{-1})\in HN$ である。
3：$H\cap N$ は部分群の共通部分なので $H$ の部分群であり、$h\in H$、$x\in H\cap N$ なら $hxh^{-1}$ は $H$ の積として $H$ に、$N$ の正規性により $N$ に属する。$\square$
$H$ も $N$ も正規でないときは $HN$ は部分群とは限らない。$S_3$ で $H=\langle(1\,2)\rangle$、$K=\langle(1\,3)\rangle$ とすると $HK=\{e,(1\,2),(1\,3),(1\,2)(1\,3)\}$ は $4$ 元の集合であり、$4$ は $6$ を割らないので Lagrangeの定理 により部分群でない。prop-normal-subgroup-product は第 2 同型定理 $H/(H\cap N)\cong HN/N$ の前提であり、その定理は 群準同型 の記事の注意「第2・第3同型定理と対応定理」で述べられている。
群準同型 $f\colon G\to H$ と $H$ の正規部分群 $M$ に対し、逆像 $f^{-1}(M)$ は $G$ の正規部分群である（群準同型 の記事の命題「核は正規部分群で像は部分群」の 1。$M=\{e\}$ の場合が核）。一方、$G$ の正規部分群 $N$ の像 $f(N)$ は、$f$ が全射なら $H$ の正規部分群である（$h=f(g)$ と書けば $hf(n)h^{-1}=f(gng^{-1})$）が、全射でなければ正規とは限らない。$\{e,(1\,2)\}$ から $S_3$ への包含写像では $\{e,(1\,2)\}$ 自身は正規だが、その像は $S_3$ の正規部分群でない（ex-normal-subgroup-s3）。
部分群 $H\le G$ に対し $N_G(H):=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ を $H$ の正規化群という。$N_G(H)$ は $H$ を含む $G$ の部分群であり、$H\trianglelefteq N_G(H)$ であって、$H\trianglelefteq G$ であることは $N_G(H)=G$ と同値である（DF04 §2.2）。
正規性より強い条件として、$G$ のすべての自己同型で保たれる特性部分群がある。ex-normal-subgroup-not-transitive のとおり正規性は推移的でないが、$H$ が $K$ の特性部分群で $K\trianglelefteq G$ なら $H\trianglelefteq G$ である（特性部分群 の記事の命題「特性性の推移性」）。逆に、正規性を推移的に閉じた弱い条件が副正規部分群である。また、部分群 $H$ に含まれる最大の正規部分群 $\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}$ は部分群の正規核と呼ばれる。
群の正規部分群は、環のイデアルに当たる。どちらも準同型の核としてちょうど現れる部分構造であり（thm-normal-subgroup-equivalent の 6）、それで割った剰余群・剰余環が作れる。環 $R$ の両側イデアル $I$ は加法群 $R$ の部分群であり、加法群が可換なので正規部分群である。正規性に当たる条件は、イデアルでは「$R$ の元を左右から掛けても $I$ に留まる」という吸収性として現れる。
関連項目
参考文献
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