等周不等式（高校数学）

積の微分法により $(xy)'=x'y+xy'$ である。両辺を $-\pi$ から $\pi$ まで積分すると、微分積分学の基本定理 により
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x'y+xy'\bigr)\,dt=x(\pi)y(\pi)-x(-\pi)y(-\pi) $$
である。閉曲線なので $x(\pi)=x(-\pi)$、$y(\pi)=y(-\pi)$ であり、右辺は $0$ になる。よって $\int xy'\,dt+\int x'y\,dt=0$ で、移項すると求める式になる。$\square$

方針：lem-iso-two-forms により $A(\gamma)=-\int_{-\pi}^{\pi}y\,x'\,dt$ である。この積分を 4 つの部分に分け、それぞれを置換積分で $x$ の積分に直す。
段 1（下のグラフの部分）。この部分の $t$ の範囲を $t_0\le t\le t_1$ とする。ここでは $y(t)=g(x(t))$、$x(t_0)=a$、$x(t_1)=b$ である。置換積分（$u=x(t)$、$du=x'(t)\,dt$）により
$$ \int_{t_0}^{t_1}y\,x'\,dt=\int_{t_0}^{t_1}g\bigl(x(t)\bigr)x'(t)\,dt=\int_a^bg(u)\,du $$
である。この置換積分の公式は、$g$ が連続で $x'$ が連続なら、$x(t)$ が単調でなくても成り立つ（置換積分の使い方は 置換積分の使い方 で扱う）。
段 2（右の辺）。$x(t)=b$ で一定なので $x'(t)=0$ であり、積分は $0$ である。
段 3（上のグラフの部分）。段 1 と同じ置換で、$x$ は $b$ から $a$ まで動くので、積分は $\int_b^ah(u)\,du=-\int_a^bh(u)\,du$ である。
段 4（左の辺）。段 2 と同じく $0$ である。
段 5（まとめ）。4 つを足すと $\int_{-\pi}^{\pi}y\,x'\,dt=\int_a^bg\,du-\int_a^bh\,du$ なので
$$ A(\gamma)=-\int_{-\pi}^{\pi}y\,x'\,dt=\int_a^b\bigl(h(u)-g(u)\bigr)\,du $$
であり、これは $D$ の面積である。$\square$

段 1（閉じた $C^1$ 曲線であること）。$\tilde x(u)=x(\varphi(u))$ は合成関数の微分法により微分でき、$\tilde x'(u)=x'(\varphi(u))\varphi'(u)$ は連続関数の合成と積なので連続である。$\tilde y$ も同じである。$\tilde x(-\pi)=x(\varphi(-\pi))=x(-\pi)=x(\pi)=\tilde x(\pi)$ で、$\tilde y$ も同じなので閉じている。
段 2（長さ）。$\varphi'(u)>0$ なので $\sqrt{\tilde x'^2+\tilde y'^2}=\sqrt{x'(\varphi(u))^2+y'(\varphi(u))^2}\ \varphi'(u)$ である。置換 $t=\varphi(u)$ により
$$ L(\tilde\gamma)=\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{x'(\varphi(u))^2+y'(\varphi(u))^2}\ \varphi'(u)\,du=\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt=L(\gamma) $$
である（$u=\pm\pi$ のとき $t=\pm\pi$）。
段 3（面積）。同じ置換で $A(\tilde\gamma)=\int_{-\pi}^{\pi}x(\varphi(u))\,y'(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,du=\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\,y'(t)\,dt=A(\gamma)$ である。$\square$

方針：途中までの長さを $[-\pi,\pi]$ に目盛り直した関数 $\sigma$ を作り、その逆関数を $\varphi$ にする。これは 媒介変数表示と曲線の長さ の弧長パラメータを、全長が $2\pi$ になるように縮めたものである。
段 1（$\sigma$ を作る）。$v(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ とし、
$$ \sigma(t):=-\pi+\frac{2\pi}L\int_{-\pi}^{t}v(s)\,ds $$
とおく。$\sigma(-\pi)=-\pi$、$\sigma(\pi)=-\pi+\frac{2\pi}L\cdot L=\pi$ である。微分積分学の基本定理により $\sigma'(t)=\frac{2\pi}Lv(t)$ で、これは連続であり、正則性から正である。
段 2（逆関数 $\varphi$）。$\sigma$ は $[-\pi,\pi]$ で増加し、端の値が $-\pi$、$\pi$ なので、$[-\pi,\pi]$ から $[-\pi,\pi]$ への 1 対 1 の対応である。その逆関数を $\varphi$ とする。逆関数の微分法により $\varphi$ は微分でき、$\varphi'(u)=\frac1{\sigma'(\varphi(u))}=\frac{L}{2\pi\,v(\varphi(u))}$ である。これは連続で正であり、$\varphi(-\pi)=-\pi$、$\varphi(\pi)=\pi$ である。
段 3（速さ）。prf-lem-iso-reparam の段 2 の計算により、$\tilde\gamma$ の速さは $v(\varphi(u))\,\varphi'(u)=v(\varphi(u))\cdot\frac{L}{2\pi\,v(\varphi(u))}=\frac L{2\pi}$ である。
段 4（積分）。速さの 2 乗 $\tilde x'^2+\tilde y'^2$ が一定値 $\bigl(\frac L{2\pi}\bigr)^2$ なので、長さ $2\pi$ の区間で積分すると $2\pi\cdot\frac{L^2}{4\pi^2}=\frac{L^2}{2\pi}$ である。$\square$

方針：$fg=\frac14\bigl((f+g)^2-(f-g)^2\bigr)$ を使い、$f+g$ と $f-g$ に thm-iso-parseval を使う。
段 1（係数）。Fourier 係数は積分で定めるので、$f+g$ の係数は $a_n+\alpha_n$、$b_n+\beta_n$、$f-g$ の係数は $a_n-\alpha_n$、$b_n-\beta_n$ である。
段 2（Parseval の等式を 2 回使う）。$f+g$、$f-g$ は連続なので、thm-iso-parseval により（複号同順）
$$ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}(f\pm g)^2dt=\frac{(a_0\pm\alpha_0)^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl((a_n\pm\alpha_n)^2+(b_n\pm\beta_n)^2\Bigr) $$
が成り立ち、右辺の 2 つの級数はどちらも収束する。
段 3（引き算）。$(p+q)^2-(p-q)^2=4pq$ を各項に使う。収束する 2 つの級数の差は、項ごとの差の級数として収束するので
$$ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\bigl((f+g)^2-(f-g)^2\bigr)dt=\frac{4a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(4a_n\alpha_n+4b_n\beta_n\bigr) $$
である。左辺の被積分関数は $4fg$ なので、両辺を $4$ で割ると求める式になる。$\square$

方針：部分積分で微分を $\cos nt$、$\sin nt$ の側へ移す。端の項は $x(-\pi)=x(\pi)$ で消える。
段 1（定数項）。$\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x'(t)\,dt=\frac1\pi\bigl(x(\pi)-x(-\pi)\bigr)=0$ である。
段 2（$\cos nt$ の係数）。部分積分 により
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x'(t)\cos nt\,dt=\Bigl[x(t)\cos nt\Bigr]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\cdot(-n\sin nt)\,dt $$
である。$\cos(n\pi)=\cos(-n\pi)$ と $x(\pi)=x(-\pi)$ から、端の項は $x(\pi)\cos n\pi-x(-\pi)\cos n\pi=0$ である。残りは $n\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\sin nt\,dt=n\pi b_n$ なので、$\pi$ で割って $nb_n$ を得る。
段 3（$\sin nt$ の係数）。同じく
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x'(t)\sin nt\,dt=\Bigl[x(t)\sin nt\Bigr]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\cdot n\cos nt\,dt $$
である。$\sin(\pm n\pi)=0$ なので端の項は $0$、残りは $-n\pi a_n$ で、$\pi$ で割って $-na_n$ を得る。$\square$

方針：lem-iso-derivative で $x'$、$y'$ の係数を $x$、$y$ の係数で書き、エネルギーには thm-iso-parseval、面積には prop-iso-polar を使う。最後に 2 乗の和に整理する。
段 1（$x'$、$y'$ の係数）。lem-iso-derivative により、$x'$ の係数は定数項 $0$、$\cos nt$ が $nb_n$、$\sin nt$ が $-na_n$ である。$y'$ の係数は定数項 $0$、$\cos nt$ が $nd_n$、$\sin nt$ が $-nc_n$ である。
段 2（エネルギー）。$x'$ は連続なので thm-iso-parseval が使えて
$$ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x'^2\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl((nb_n)^2+(-na_n)^2\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}n^2\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr) $$
である。$y'$ も同じで、足して $\pi$ を掛けると $E(\gamma)$ の式になる。
段 3（面積）。prop-iso-polar を $f=x$、$g=y'$ に使う。$g$ の係数は $\alpha_0=0$、$\alpha_n=nd_n$、$\beta_n=-nc_n$ なので
$$ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\,y'\,dt=\frac{a_0\cdot0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cdot nd_n+b_n\cdot(-nc_n)\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}n\bigl(a_nd_n-b_nc_n\bigr) $$
である。$\pi$ を掛けると $A(\gamma)$ の式になる。
段 4（差を 2 乗の和にする）。収束する級数の差は項ごとの差の級数なので、$E(\gamma)-2A(\gamma)=\pi\sum_{n\ge1}T_n$、ただし
$$ T_n:=n^2\bigl(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2\bigr)-2n\bigl(a_nd_n-b_nc_n\bigr) $$
である。$T_n$ が定理の 2 乗の和に等しいことを、右辺を展開して確かめる。
$$ \begin{align} (na_n-d_n)^2&=n^2a_n^2-2na_nd_n+d_n^2,\\ (nb_n+c_n)^2&=n^2b_n^2+2nb_nc_n+c_n^2,\\ (n^2-1)(c_n^2+d_n^2)&=n^2c_n^2+n^2d_n^2-c_n^2-d_n^2. \end{align} $$
3 つを足すと、$d_n^2$ と $-d_n^2$、$c_n^2$ と $-c_n^2$ が打ち消し合い、$n^2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)-2n(a_nd_n-b_nc_n)=T_n$ が残る。
段 5（符号）。$n\ge1$ なので $n^2-1\ge0$ であり、$T_n$ は 0 以上の 3 つの項の和である。よって $E(\gamma)-2A(\gamma)\ge0$ である。
段 6（等号）。0 以上の項の和が $0$ になるのは、すべての $T_n$ が $0$ のとき、つまり $T_n$ の 3 つの項がすべて $0$ のときだけである。$n\ge2$ では $n^2-1>0$ なので $c_n=d_n=0$ であり、すると $na_n=d_n=0$、$nb_n=-c_n=0$ から $a_n=b_n=0$ である。$n=1$ では第 3 項が $0\cdot(c_1^2+d_1^2)=0$ なので、条件は $a_1-d_1=0$ と $b_1+c_1=0$ だけである。逆にこれらの条件が成り立てば、すべての $T_n$ が $0$ なので等号が成り立つ。$\square$

方針：速さを一定にしても $L$ と $A(\gamma)$ は変わらない。速さが一定ならエネルギーは $\frac{L^2}{2\pi}$ なので、thm-iso-energy の $E\ge2A$ がそのまま $L^2\ge4\pi A$ になる。
段 1（速さを一定にする）。正則なので速さは正で、$L>0$ である。lem-iso-constant-speed の $\varphi$ をとり、$\tilde\gamma=\gamma\circ\varphi$ とおく。lem-iso-reparam により $L(\tilde\gamma)=L$、$A(\tilde\gamma)=A(\gamma)$ であり、lem-iso-constant-speed により $E(\tilde\gamma)=\frac{L^2}{2\pi}$ である。
段 2（不等式）。$\tilde\gamma$ に thm-iso-energy を使うと $E(\tilde\gamma)\ge2A(\tilde\gamma)$、すなわち $\frac{L^2}{2\pi}\ge2A(\gamma)$ である。両辺に $2\pi$ を掛けて $L^2\ge4\pi A(\gamma)$ を得る。
段 3（等号なら係数が決まる）。等号が成り立つとする。段 2 の式は $E(\tilde\gamma)=2A(\tilde\gamma)$ を意味するので、thm-iso-energy の等号の条件により、$\tilde\gamma=(\tilde x,\tilde y)$ の係数は $n\ge2$ ですべて $0$、$d_1=a_1$、$c_1=-b_1$ である。$\tilde x$ と三角多項式 $\frac{a_0}2+a_1\cos u+b_1\sin u$ は Fourier 係数がすべて等しい連続関数なので、thm-iso-parseval の後半により等しい。$\tilde y$ も同じで
$$ \tilde x(u)=\frac{a_0}2+a_1\cos u+b_1\sin u,\qquad\tilde y(u)=\frac{c_0}2-b_1\cos u+a_1\sin u $$
である。
段 4（円であること）。$p=\frac{a_0}2$、$q=\frac{c_0}2$、$R=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ とおく。$R=0$ なら $\tilde\gamma$ は 1 点にとどまり、長さ $L>0$ に反するので $R>0$ である。$a_1=R\cos u_0$、$b_1=R\sin u_0$ となる角 $u_0$ をとると、加法定理により
$$ a_1\cos u+b_1\sin u=R\cos(u-u_0),\qquad -b_1\cos u+a_1\sin u=R\sin(u-u_0) $$
である。よって $\tilde\gamma(u)=\bigl(p+R\cos(u-u_0),\ q+R\sin(u-u_0)\bigr)$ で、これは中心 $(p,q)$、半径 $R$ の円を反時計回りに一定の速さで 1 周する。もとの曲線は $\gamma(t)=\tilde\gamma(\sigma(t))$（$\sigma$ は prf-lem-iso-constant-speed の関数で、$\varphi$ の逆関数）なので、$\theta(t):=\sigma(t)-u_0$ とおけば定理の形になる。$\theta'=\sigma'>0$、$\theta(\pi)-\theta(-\pi)=\pi-(-\pi)=2\pi$ である。
段 5（逆に、円を 1 周すれば等号）。$\gamma(t)=\bigl(p+R\cos\theta(t),\ q+R\sin\theta(t)\bigr)$ とする。速さは $R\,\theta'(t)$ なので $L=\int_{-\pi}^{\pi}R\,\theta'(t)\,dt=R\bigl(\theta(\pi)-\theta(-\pi)\bigr)=2\pi R$ である。また $y'=R\cos\theta(t)\,\theta'(t)$ なので、置換 $u=\theta(t)$ により
$$ A(\gamma)=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(p+R\cos\theta\bigr)R\cos\theta\ \theta'\,dt=\int_{\theta(-\pi)}^{\theta(-\pi)+2\pi}\bigl(pR\cos u+R^2\cos^2u\bigr)du=0+\pi R^2 $$
である（$\cos u$、$\cos^2u$ は周期 $2\pi$ なので、長さ $2\pi$ の区間での積分は $[-\pi,\pi]$ での積分に等しい）。よって $L^2=4\pi^2R^2=4\pi\cdot\pi R^2=4\pi A(\gamma)$ で、等号が成り立つ。$\square$

thm-iso-main に $A(\gamma)=S$ を代入すると $L^2\ge4\pi S$ である。等号が成り立てば、thm-iso-main により境界 $\gamma$ は円を 1 周するので、$D$ はその円が囲む円板である。逆に $D$ が半径 $R$ の円板なら $L=2\pi R$、$S=\pi R^2$ で等号が成り立つ。$\square$

方針：$K_r$ を、$K$ と、辺ごとの長方形と、頂点ごとの扇形に分ける（図3）。扇形の中心角の和が外角の和 $2\pi$ になることが要点である。
段 1（外角の和）。$K$ を $n$ 角形とし、頂点 $P_1,\dots,P_n$ での内角を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$、外角を $\theta_i:=\pi-\alpha_i$ とする。1 つの頂点から対角線を引くと $K$ は $n-2$ 個の三角形に分かれ、その内角をすべて集めると $K$ の内角になるので、$\alpha_1+\dots+\alpha_n=(n-2)\pi$ である。よって
$$ \theta_1+\dots+\theta_n=n\pi-(n-2)\pi=2\pi $$
である。内角・外角の和は 多角形の内角の和と外角の和 でも扱う。
段 2（分け方）。$K$ の外にある $K_r$ の点 $Q$ について、$K$ の中で $Q$ に最も近い点は、ある辺の内部の点か、ある頂点である。前者なら $Q$ はその辺の外側に立てた幅 $r$ の長方形に入り、後者なら $Q$ はその頂点を中心とする半径 $r$、中心角 $\theta_i$ の扇形に入る（扇形は、頂点で隣り合う 2 辺に外向きに立てた垂線ではさまれる。その間の角は外角 $\theta_i$ に等しい）。こうして $K_r$ は、$K$、$n$ 個の長方形、$n$ 個の扇形に、境界以外で重ならずに分かれる。この分け方で重なりもすき間もないこと（最も近い点が辺の内部か頂点かで場合を分けて確かめる）は、本記事では証明しない。図3 で様子を確かめる。
段 3（面積）。辺の長さを $\ell_1,\dots,\ell_n$ とすると $\ell_1+\dots+\ell_n=L$ である。長方形の面積の和は $\ell_1r+\dots+\ell_nr=Lr$、扇形の面積の和は段 1 により
$$ \frac12r^2\theta_1+\dots+\frac12r^2\theta_n=\frac12r^2\cdot2\pi=\pi r^2 $$
である。$K$ の面積 $S$ と合わせて $S+Lr+\pi r^2$ となる。
段 4（境界の長さ）。$K_r$ の境界は、長方形の外側の辺（長さ $\ell_i$）と扇形の弧（長さ $r\theta_i$）が交互に並んだものである。長さの和は $L+r(\theta_1+\dots+\theta_n)=L+2\pi r$ である。$\square$

方針：$K_r$ の境界は角のない曲線なので cor-iso-figure が使える。その不等式を展開すると、$r$ を含む項が両辺で打ち消し合い、$K$ の不等式が残る。
段 1（$K_r$ の境界は正則な $C^1$ 曲線）。長方形の外側の辺と、隣の扇形の弧は、つなぎ目で向きがそろう。つなぎ目では、辺は外向きの垂線に直交し、弧の接線も半径（その垂線）に直交するからである。そこで、境界を一定の速さでたどる媒介変数（$t$ の範囲は $[-\pi,\pi]$）をとると、$x'$、$y'$ はつなぎ目でも連続で、速さは $0$ にならない。
段 2（$K_r$ は凸）。$K_r$ の 2 点 $Q_1$、$Q_2$ をとり、$K$ の点 $P_1$、$P_2$ で $|Q_1-P_1|\le r$、$|Q_2-P_2|\le r$ となるものを選ぶ。$0\le\lambda\le1$ に対し、$Q=(1-\lambda)Q_1+\lambda Q_2$、$P=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$ とおくと、$K$ は凸なので $P$ は $K$ の点であり、ベクトルの三角不等式により
$$ |Q-P|=\bigl|(1-\lambda)(Q_1-P_1)+\lambda(Q_2-P_2)\bigr|\le(1-\lambda)r+\lambda r=r $$
である。よって $Q$ は $K_r$ の点で、$K_r$ は凸である。rem-iso-green により、境界を反時計回りにたどる曲線の $A(\gamma)$ は $K_r$ の面積に等しい（本記事では証明しない事実 rem-iso-green を使う。凸であることはこの事実を使うために示した）。
段 3（不等式）。cor-iso-figure と prop-iso-steiner により
$$ (L+2\pi r)^2\ge4\pi\bigl(S+Lr+\pi r^2\bigr) $$
である。左辺は $L^2+4\pi Lr+4\pi^2r^2$、右辺は $4\pi S+4\pi Lr+4\pi^2r^2$ なので、共通の項を引くと $L^2\ge4\pi S$ となる。
段 4（等号にならない）。段 3 で等号が成り立つなら、cor-iso-figure により $K_r$ は円板である。しかし $K_r$ の境界は長さ $\ell_1>0$ の線分を含み、円周は線分を含まないので、これは起こらない。よって段 3 の不等式は $>$ で、引き算した後も $L^2>4\pi S$ である。$\square$

$f$ の係数を $a_n$、$b_n$ とする。仮定から $a_0=\frac1\pi\int f\,dt=0$ である。thm-iso-parseval と lem-iso-derivative により
$$ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f'^2\,dt-\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}n^2\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr)-\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}(n^2-1)\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr)\ge0 $$
である。等号は $n\ge2$ のすべての係数が $0$ のときに限り、thm-iso-parseval の後半によりそのとき $f=a_1\cos t+b_1\sin t$ である。逆にこの形なら両辺はともに $\pi(a_1^2+b_1^2)$ で等しい。$\square$