上極限と下極限
概要
上極限と下極限（limit superior and limit inferior）とは、数列の各尾部の上限・下限をさらに極限へ送って得られる拡張実数である。収束しない数列にも定義でき、有界実数列ではそれぞれ最大・最小の部分列極限に一致する。集合列では「無限回属する点」と「最終的に常に属する点」を、関数列ではそれらを各点ごとに表す。
尾部に残る上端と下端
数列が一つの値へ収束しなくても、十分後ろの項がどこまで上がり、どこまで下がるかは記録できる。その二つの漸近的な端が 上極限（limit superior）と 下極限（limit inferior）である。初期の有限個の項は捨て、各尾部の上限と下限を順に比べる。
本記事の主対象は拡張実数値数列である。後半で、集合列の上極限・下極限、関数列の各点上極限・下極限、およびネットと関数の点での上極限へ拡張する。これらは同じ「最終的な上端・下端」という構造をもつが、同じ種類の対象ではない。
数列の定義
$(a_n)_{n\geq1}$ を拡張実数集合
$$
\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}
$$
に値をとる数列とする。尾部上限と尾部下限を
$$
s_N:=\sup_{n\geq N}a_n,
\qquad
i_N:=\inf_{n\geq N}a_n
$$
とおく。$(s_N)$ は広義単調減少、$(i_N)$ は広義単調増加なので、拡張実数でそれぞれ極限をもつ。
$$
\limsup_{n\to\infty}a_n
:=\lim_{N\to\infty}s_N
=\inf_{N\geq1}\sup_{n\geq N}a_n,
$$
$$
\liminf_{n\to\infty}a_n
:=\lim_{N\to\infty}i_N
=\sup_{N\geq1}\inf_{n\geq N}a_n
$$
をそれぞれ $(a_n)$ の 上極限、下極限という。$\varlimsup a_n$、$\varliminf a_n$ と書くこともある。
定義はどの拡張実数値数列にも適用できる。上に有界でない列の上極限は $+\infty$ になりうるし、下に有界でない列の下極限は $-\infty$ になりうる。定義と数列の基本的な性質は標準的な実解析の参考書で扱われる（Rud76、Fol99）。
順序と収束
拡張実数値数列 $(a_n)$、$(b_n)$ が、ある $N_0$ 以後で $a_n\leq b_n$ を満たすならば
$$
\limsup_{n\to\infty}a_n\leq\limsup_{n\to\infty}b_n,
\qquad
\liminf_{n\to\infty}a_n\leq\liminf_{n\to\infty}b_n
$$
である。特に、有限個の項を変えても上極限と下極限は変わらない。
$N\geq N_0$ ならば、項ごとの不等式から
$$
\sup_{n\geq N}a_n\leq\sup_{n\geq N}b_n,
\qquad
\inf_{n\geq N}a_n\leq\inf_{n\geq N}b_n
$$
である。$N\to\infty$ とすれば主張を得る。$(a_n)$ と $(b_n)$ が有限個を除いて一致するときは、十分後ろで $a_n\leq b_n$ と $b_n\leq a_n$ の両方を適用する。
任意の拡張実数値数列 $(a_n)$ について
$$
\liminf_{n\to\infty}a_n\leq\limsup_{n\to\infty}a_n
$$
が成り立つ。また $L\in\overline{\mathbb R}$ に対し、次は同値である。
- $a_n\to L$ である。
- $\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L$ である。
$N,M\geq1$ を任意にとり、$n\geq\max\{N,M\}$ を選ぶと
$$
i_N\leq a_n\leq s_M
$$
である。ゆえにすべての $N,M$ に対して $i_N\leq s_M$ であり、$N$ について上限、$M$ について下限をとれば
$$
\sup_N i_N\leq\inf_M s_M
$$
を得る。これが最初の不等式である。
$a_n\to L\in\mathbb R$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対し、十分大きい $N$ ではすべての $n\geq N$ について
$$
L-\varepsilon< a_n< L+\varepsilon
$$
だから、$L-\varepsilon\leq i_N\leq s_N\leq L+\varepsilon$ である。したがって $i_N,s_N\to L$ である。$L=+\infty$ のときは、任意の実数 $C$ に対して十分後ろで $a_n>C$ となるので $i_N,s_N\to+\infty$ である。$L=-\infty$ も同様である。
逆に $i_N,s_N\to L\in\mathbb R$ ならば、すべての $n\geq N$ で $i_N\leq a_n\leq s_N$ なので、はさみうちにより $a_n\to L$ である。共通値が $+\infty$ なら $i_N\to+\infty$ から $a_n\to+\infty$、共通値が $-\infty$ なら $s_N\to-\infty$ から $a_n\to-\infty$ である。
部分列による特徴づけ
$(a_n)$ を有界な実数列とする。このとき、$\limsup a_n$ へ収束する部分列と $\liminf a_n$ へ収束する部分列が存在する。さらに、任意の収束部分列の極限 $c$ に対し
$$
\liminf_{n\to\infty}a_n\leq c\leq\limsup_{n\to\infty}a_n
$$
である。したがって上極限は最大の部分列極限、下極限は最小の部分列極限である。
$L=\limsup a_n$ とおく。有界性により $L\in\mathbb R$ である。$n_0=0$ とし、$N_j=\max\{j,n_{j-1}+1\}$ とおく。上限の定義から、各 $j\geq1$ に対して
$$
n_j\geq N_j,
\qquad
s_{N_j}-\frac1j< a_{n_j}\leq s_{N_j}
$$
となる $n_j$ を選べる。$n_j>n_{j-1}$ だから $(a_{n_j})$ は部分列である。$N_j\to\infty$ および $s_N\to L$ より、はさみうちで $a_{n_j}\to L$ である。
一方、$a_{m_j}\to c$ とする。固定した $N$ に対して十分大きい $j$ では $m_j\geq N$ なので $a_{m_j}\leq s_N$ である。$j\to\infty$ として $c\leq s_N$、さらに $N\to\infty$ として $c\leq L$ を得る。
下極限については $(-a_n)$ に上極限の結果を適用する。定義から
$$
\limsup(-a_n)=-\liminf a_n
$$
であるから、下極限へ収束する部分列の存在と $\liminf a_n\leq c$ が従う。
「上極限は最大の部分列極限である」という実数値の言い方には、上の定理のような有界性が必要である。拡張実数を部分列極限に認めれば拡張できるが、実数の集積値だけを考えると、$a_n=n$ は上極限 $+\infty$ をもつ一方で実数値の収束部分列をもたない。
上極限 $L\in\mathbb R$ は、次の二条件でも認識できる。
- 任意の $\varepsilon>0$ に対し、十分後ろでは $a_n< L+\varepsilon$ である。
- 任意の $\varepsilon>0$ に対し、$a_n>L-\varepsilon$ となる $n$ が無限個ある。
つまり $L$ より明らかに上の値は最終的に現れなくなるが、$L$ のすぐ下の値は何度でも現れる。下極限には不等号を逆にした対称な特徴づけがある。
基本不等式
$(a_n)$、$(b_n)$ を有界な実数列とする。このとき
$$
\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)
\leq
\limsup_{n\to\infty}a_n+
\limsup_{n\to\infty}b_n,
$$
$$
\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)
\geq
\liminf_{n\to\infty}a_n+
\liminf_{n\to\infty}b_n
$$
である。
各 $N$ に対して
$$
\sup_{n\geq N}(a_n+b_n)
\leq
\sup_{n\geq N}a_n+
\sup_{n\geq N}b_n
$$
である。両辺で $N\to\infty$ とすれば最初の不等式を得る。同様に
$$
\inf_{n\geq N}(a_n+b_n)
\geq
\inf_{n\geq N}a_n+
\inf_{n\geq N}b_n
$$
の極限をとれば第二の不等式を得る。有界性は右辺を有限実数の和とし、$+\infty+(-\infty)$ のような未定義の式を避けるために仮定した。
等号は一般に成り立たない。二つの列の大きい項が同じ添字で現れるとは限らないからである。
例と反例
$$
a_n=(-1)^n+\frac1n
$$
とする。偶数部分列は $1$ へ、奇数部分列は $-1$ へ収束する。また尾部上限は偶数項によって $1$ へ下がり、尾部下限は奇数項によって $-1$ へ上がる。したがって
$$
\limsup_{n\to\infty}a_n=1,
\qquad
\liminf_{n\to\infty}a_n=-1
$$
である。両者が異なるので $(a_n)$ は収束しない。
$a_n=(-1)^n n$ ならば、どの尾部も上にも下にも有界ではない。ゆえに
$$
\limsup_{n\to\infty}a_n=+\infty,
\qquad
\liminf_{n\to\infty}a_n=-\infty
$$
である。これは、上極限と下極限が通常の実数に限らない例である。
$$
a_n=\frac{1+(-1)^n}{2},
\qquad
b_n=1-a_n
$$
とする。両方の上極限は $1$ だが、すべての $n$ で $a_n+b_n=1$ である。したがって
$$
\limsup(a_n+b_n)=1<2=\limsup a_n+\limsup b_n
$$
である。この例は「上極限は和を保つ」という誤った等式を破る。
$a_1=100$、$n\geq2$ で $a_n=0$ とする。列全体の上限は $100$ だが、上極限は $0$ である。この例は「上極限は全項の上限である」という誤解を破る。上極限は有限個の例外ではなく、どの尾部にも残る値を見る。
集合列の上極限と下極限
一つの全体集合 $X$ の部分集合列 $(A_n)$ に対して
$$
\limsup_{n\to\infty}A_n
:=\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n\geq N}A_n,
\qquad
\liminf_{n\to\infty}A_n
:=\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n\geq N}A_n
$$
と定める。
$x\in X$ に対して次が成り立つ。
- $x\in\limsup A_n$ であることと、$x$ が無限個の $A_n$ に属することは同値である。
- $x\in\liminf A_n$ であることと、十分後ろのすべての $A_n$ に $x$ が属することは同値である。
特に
$$ \liminf_{n\to\infty}A_n\subset\limsup_{n\to\infty}A_n $$
である。
$x\in\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ とは、すべての $N$ に対して、ある $n\geq N$ が存在し $x\in A_n$ となることである。これは $x$ が属する $A_n$ の添字が有限集合ではないこと、すなわち無限個の $A_n$ に属することと同値である。
一方、$x\in\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ とは、ある $N$ が存在し、すべての $n\geq N$ に対して $x\in A_n$ となることである。これは第二の特徴づけである。最終的に常に属する点は無限回属するので、包含関係も従う。
指示関数 $\mathbf1_{A_n}$ を使うと、各 $x\in X$ で
$$
\mathbf1_{\limsup A_n}(x)=\limsup_{n\to\infty}\mathbf1_{A_n}(x),
\qquad
\mathbf1_{\liminf A_n}(x)=\liminf_{n\to\infty}\mathbf1_{A_n}(x)
$$
である。これにより、集合列の定義は $0$-$1$ 値数列の定義と正確に対応する。
$A_{2n}=\{0\}$、$A_{2n-1}=\{1\}$ とすると、$0$ と $1$ はどちらも無限回現れるが、どちらも最終的に常には現れない。したがって
$$
\limsup A_n=\{0,1\},
\qquad
\liminf A_n=\emptyset
$$
である。これは「各 $A_n$ が一点集合なら上極限と下極限も一点集合である」という含意を破る。
関数列と可測性
$f_n:X\to\overline{\mathbb R}$ を関数列とする。このとき各 $x\in X$ に対して
$$
(\limsup_{n\to\infty}f_n)(x)
:=\limsup_{n\to\infty}f_n(x),
$$
$$
(\liminf_{n\to\infty}f_n)(x)
:=\liminf_{n\to\infty}f_n(x)
$$
と定める。これらを関数列の 各点上極限、各点下極限という。
$(X,\mathcal M)$ を可測空間とし、各 $f_n:X\to\overline{\mathbb R}$ が可測であるとする。このとき $\limsup f_n$ と $\liminf f_n$ も可測である。
$$
g_N:=\sup_{n\geq N}f_n,
\qquad
h_N:=\inf_{n\geq N}f_n
$$
とおく。任意の $c\in\mathbb R$ に対して
$$
\{x\mid g_N(x)>c\}
=\bigcup_{n\geq N}\{x\mid f_n(x)>c\}
$$
だから $g_N$ は可測である。同様に
$$
\{x\mid h_N(x)< c\}
=\bigcup_{n\geq N}\{x\mid f_n(x)< c\}
$$
なので $h_N$ も可測である。さらに
$$
\limsup f_n=\inf_N g_N,
\qquad
\liminf f_n=\sup_N h_N
$$
である。可数個の可測関数の各点上限・各点下限は可測なので、結論が従う（Fol99 Chapter 2）。
各点上極限と一様な評価は区別する必要がある。たとえば $X=(0,1)$、$f_n=\mathbf1_{(0,1/n)}$ とすると、すべての $x\in X$ で $f_n(x)\to0$ なので $\limsup f_n=0$ である。しかしすべての $n$ で $\sup_{x\in X}f_n(x)=1$ である。これは「各点で $\limsup f_n=0$ ならば $\sup_x f_n(x)\to0$」という含意を破る。
ネットと関数の点での一般化
$(\Lambda,\leq)$ を有向集合とし、$(a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を拡張実数値ネットとする。数列と同様に
$$
\limsup_{\lambda}a_\lambda
:=\inf_{\mu\in\Lambda}\sup_{\lambda\geq\mu}a_\lambda,
\qquad
\liminf_{\lambda}a_\lambda
:=\sup_{\mu\in\Lambda}\inf_{\lambda\geq\mu}a_\lambda
$$
と定める。数列は $\Lambda=\mathbb N$ の特別な場合である。一方、「最大の部分列極限」という特徴づけは一般のネットにそのまま移せない。部分列の代わりに部分ネットを用いる必要がある。
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$f:A\to\overline{\mathbb R}$ とし、$a\in X$ を $A\setminus\{a\}$ の集積点とする。$\mathcal N(a)$ を $a$ の近傍系とするとき
$$
\limsup_{x\to a}f(x)
:=\inf_{U\in\mathcal N(a)}
\sup_{x\in (U\cap A)\setminus\{a\}}f(x),
$$
$$
\liminf_{x\to a}f(x)
:=\sup_{U\in\mathcal N(a)}
\inf_{x\in (U\cap A)\setminus\{a\}}f(x)
$$
と定める。これは「関数列 $(f_n)$ の各点上極限」とは別の構成である。前者では添字 $n\to\infty$ を固定した点 $x$ で見るのに対し、後者では一つの関数 $f$ に対して変数 $x\to a$ を見る。
関連項目
- 前提: 上限と下限, 数列の極限, 部分列
- 比較: 集積値, 関数の極限, 各点収束
- 応用: Cauchyの判定法, 収束半径, Fatouの補題, Borel--Cantelliの補題
参考文献
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