射影射

$g$ は射影的だから固有（thm-projective-morphism-proper）、とくに分離である。$f=g\circ j$ が固有で $g$ が分離なので、固有射 の記事の定理（合成・底変換・積で閉じること）の 4 により $j$ は固有であり、像 $j(X)$ は $X'$ の閉集合である。開埋め込み $j$ は $X$ から開部分スキーム $U=j(X)$ の上への同型であり、$U$ は $X'$ で開かつ閉である。このとき $j$ は閉埋め込みである。実際、$X'$ の各点 $x'$ について、$x'\in U$ なら $U$ 上で $j$ は同型、$x'\notin U$ なら開集合 $W=X'\setminus U$ 上で $j^{-1}(W)=\emptyset$ であり、いずれの開集合の上でも $j$ は閉埋め込みである。閉埋め込みであることは底の上で局所的な性質（閉埋め込み）だから $j$ は閉埋め込みである。$X'\to\mathbb{P}^n_Y$ を $g$ の分解に現れる閉埋め込みとすれば、合成 $X\to X'\to\mathbb{P}^n_Y$ は閉埋め込みで、$f$ はその合成と射影 $\mathbb{P}^n_Y\to Y$ の合成に等しい。

貼り合わせ：$U_{ij}\cap U_{i'j'}$ の上で $\varphi_{ij}$ と $\varphi_{i'j'}$ が一致することを示す。$\varphi_{i'j'}$ の像は $D_+(z_{i'j'})$ に含まれ、$U_{ij}\cap U_{i'j'}$ 上では $z_{ij}/z_{i'j'}$ の引き戻し $(x_i/x_{i'})(y_j/y_{j'})$ が単元なので、$\varphi_{i'j'}$ は $U_{ij}\cap U_{i'j'}$ を $D_+(z_{ij})\cap D_+(z_{i'j'})$ に写す。この開集合上で $z_{kl}/z_{ij}=(z_{kl}/z_{i'j'})/(z_{ij}/z_{i'j'})$ であり、$\varphi_{i'j'}$ による引き戻しは
$$ \frac{(x_k/x_{i'})(y_l/y_{j'})}{(x_i/x_{i'})(y_j/y_{j'})}=\frac{x_k}{x_i}\cdot\frac{y_l}{y_j} $$
で、$\varphi_{ij}$ による引き戻しに一致する。アフィンスキームへの射は環準同型で決まるから、両者は $U_{ij}\cap U_{i'j'}$ 上で一致し、$\varphi$ が定まる。
逆像：$\varphi^{-1}(D_+(z_{ij}))=U_{ij}$ である。実際、$U_{i'j'}$ の点 $P$ について、$\varphi(P)\in D_+(z_{ij})$ であることは $z_{ij}/z_{i'j'}$ の引き戻し $(x_i/x_{i'})(y_j/y_{j'})$ が $P$ で消えないこと、すなわち $x_i/x_{i'}$ と $y_j/y_{j'}$ がともに $P$ で消えないことと同値であり、これは $P\in D_+(x_i)\times D_+(y_j)=U_{ij}$ と同値である。
閉埋め込み：$D_+(z_{ij})$ の上で $\varphi$ は $\varphi_{ij}$ であり、対応する環準同型 $\mathbb{Z}[z_{kl}/z_{ij}]\to\mathbb{Z}[x_k/x_i,y_l/y_j]$ は全射である。$x_k/x_i$ は $z_{kj}/z_{ij}$ の像、$y_l/y_j$ は $z_{il}/z_{ij}$ の像だからである。全射な環準同型に対応するアフィンスキームの射は閉埋め込みなので、$\varphi$ は各 $D_+(z_{ij})$ の上で閉埋め込みである。$D_+(z_{ij})$ たちは $\mathbb{P}^N_{\mathbb{Z}}$ を覆い、閉埋め込みであることは底の上で局所的だから、$\varphi$ は閉埋め込みである。
底変換：$\mathbb{P}^n_Y\times_Y\mathbb{P}^m_Y=(\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}\times_{\mathbb{Z}}\mathbb{P}^m_{\mathbb{Z}})\times_{\mathbb{Z}}Y$ であり、閉埋め込みの底変換は閉埋め込みである（Har77 II 演習 3.11、閉埋め込み）。

4：閉埋め込み $i\colon Z\to Y$ は $Z\to\mathbb{P}^0_Y=Y$ と読めるから射影的である。$Z\to X\to\mathbb{P}^n_Y$ は閉埋め込みの合成なので閉埋め込みであり、$Z\to Y$ は射影的である。
2：$X\to\mathbb{P}^n_Y$ を閉埋め込みとすると、その底変換 $X\times_YY'\to\mathbb{P}^n_Y\times_YY'=\mathbb{P}^n_{Y'}$ は閉埋め込みであり（Har77 II 演習 3.11）、$X\times_YY'\to Y'$ はこれと射影の合成である。
1：$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to S$ を射影射とし、閉埋め込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_Y$、$j\colon Y\to\mathbb{P}^m_S$ をとる。$\mathbb{P}^n_Y=\mathbb{P}^n_S\times_SY$ であり、$\mathrm{id}\times j\colon\mathbb{P}^n_S\times_SY\to\mathbb{P}^n_S\times_S\mathbb{P}^m_S$ は $j$ の射影 $\mathbb{P}^n_S\times_S\mathbb{P}^m_S\to\mathbb{P}^m_S$ による底変換だから閉埋め込みである。これに prop-projective-morphism-segre の $\varphi_S\colon\mathbb{P}^n_S\times_S\mathbb{P}^m_S\to\mathbb{P}^N_S$ を合成すると、閉埋め込み
$$ X\xrightarrow{\ i\ }\mathbb{P}^n_Y=\mathbb{P}^n_S\times_SY\xrightarrow{\ \mathrm{id}\times j\ }\mathbb{P}^n_S\times_S\mathbb{P}^m_S\xrightarrow{\ \varphi_S\ }\mathbb{P}^N_S $$
が得られ、$g\circ f$ はこれと射影 $\mathbb{P}^N_S\to S$ の合成である。よって $g\circ f$ は射影的である（Har77 II 演習 4.9）。
3：$f\times_Sf'$ は $X\times_SX'\to Y\times_SX'$（$f$ の底変換）と $Y\times_SX'\to Y\times_SY'$（$f'$ の底変換）の合成だから、1 と 2 により射影的である。
5：$g$ が分離なのでグラフ射 $\Gamma_f=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times_SY$ は対角射 $\Delta_g$ の底変換であり閉埋め込みである（固有射 の記事の定理（合成・底変換・積で閉じること）の証明の 4 と同じ議論）。射影 $p_2\colon X\times_SY\to Y$ は $g\circ f$ の $g$ による底変換だから 2 により射影的である。$f=p_2\circ\Gamma_f$ なので、4 と 1 により $f$ は射影的である。
準射影射の場合：2 は、$X\to X'\to Y$（開埋め込みと射影射）の底変換が $X\times_YY'\to X'\times_YY'\to Y'$（開埋め込みの底変換は開埋め込み、射影射の底変換は 2 により射影射）となることから、底の仮定なしに従う。1 では、$X\xrightarrow{j}X'\xrightarrow{g}Y$ と $Y\xrightarrow{u}Y'\xrightarrow{h}S$ をそれぞれの分解、$i\colon X'\to\mathbb{P}^n_Y$ を $g$ の閉埋め込みとする。$\mathbb{P}^n_Y=\mathbb{P}^n_{Y'}\times_{Y'}Y$ は $\mathbb{P}^n_{Y'}$ の開部分スキームだから、合成 $X\to X'\to\mathbb{P}^n_Y\to\mathbb{P}^n_{Y'}$ は開埋め込み・閉埋め込み・開埋め込みの合成、すなわちはめ込みであり、$\mathbb{P}^n_{Y'}\to Y'\to S$ は射影射の合成として射影的である。$S$ が Noether なら $\mathbb{P}^n_{Y'}$ は Noether スキーム、その開部分スキームの閉部分スキームの開部分スキームである $X$ も Noether スキームで、とくに準コンパクトだから、はめ込み $X\to\mathbb{P}^n_{Y'}$ は準コンパクトである。準コンパクトなはめ込みは、そのスキーム論的像 $\overline{X}\subset\mathbb{P}^n_{Y'}$（閉部分スキーム）への開埋め込み $X\to\overline{X}$ と閉埋め込み $\overline{X}\to\mathbb{P}^n_{Y'}$ に分解する（Stacks Morphisms of Schemes「Scheme theoretic image」の節）。$\overline{X}\to\mathbb{P}^n_{Y'}\to S$ は射影的なので、$X\to S$ は準射影的である。3 は 1 と 2 から従う。4 の前半は閉埋め込みが射影的であることから、後半は $Z\to X\to X'$ が準コンパクトなはめ込み（$Y$ が Noether なら $X'$、したがって $Z$ も Noether）であることから、1 と同様にスキーム論的像をとって従う。5 は、$\Gamma_f$ が閉埋め込みで $p_2$ が 2 により準射影的なので、$f=p_2\circ\Gamma_f$ に 4 の後半を適用すればよい。

$\mathfrak{p}\in\operatorname{Proj}T$（$T_+=\bigoplus_{d>0}T_d$ を含まない斉次素イデアル）に対し $\theta^{-1}(\mathfrak{p})$ は $S$ の斉次素イデアルで、$\theta(S_+)=T_+\not\subset\mathfrak{p}$ だから $S_+$ を含まない。よって $\mathfrak{p}\mapsto\theta^{-1}(\mathfrak{p})$ は写像 $\operatorname{Proj}T\to\operatorname{Proj}S$ を定める。斉次元 $g\in S_+$ をとると、$\theta^{-1}(\mathfrak{p})\in D_+(g)$ であることは $\theta(g)\notin\mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p}\in D_+(\theta(g))$ と同値なので、$D_+(g)$ の逆像は $D_+(\theta(g))$ である。$D_+(g)=\operatorname{Spec}S_{(g)}$、$D_+(\theta(g))=\operatorname{Spec}T_{(\theta(g))}$ であり（$S_{(g)}$ は局所化 $S_g$ の次数 $0$ の部分）、写像は環準同型
$$ \theta_{(g)}\colon S_{(g)}\to T_{(\theta(g))},\qquad \frac{s}{g^k}\mapsto\frac{\theta(s)}{\theta(g)^k}\quad(s\in S_{k\deg g}) $$
が誘導するスキームの射である。$\theta$ が全射なので、$T_{(\theta(g))}$ の任意の元 $t/\theta(g)^k$（$t\in T_{k\deg g}$）は $t=\theta(s)$ となる $s\in S_{k\deg g}$ をとれば $\theta_{(g)}(s/g^k)$ に等しい。よって $\theta_{(g)}$ は全射であり、$D_+(\theta(g))\to D_+(g)$ は閉埋め込みである。これらの射は $D_+(g)$ たちの交わりの上で両立するので（同じ写像 $\mathfrak{p}\mapsto\theta^{-1}(\mathfrak{p})$ と、局所化の普遍性により定まる同じ環準同型を与える）貼り合わさって射 $\operatorname{Proj}T\to\operatorname{Proj}S$ を定める。$D_+(g)$（$g\in S_+$ 斉次）は $\operatorname{Proj}S$ を覆い、その各々の上で射は閉埋め込みなので、閉埋め込みであることの底の上での局所性により、$\operatorname{Proj}T\to\operatorname{Proj}S$ は閉埋め込みである。
相対版は、$Y$ のアフィン開集合 $V$ ごとに全射 $\mathcal{S}(V)\to\mathcal{T}(V)$ に上を適用し、相対 Proj の構成の貼り合わせと両立することから従う。最後の主張は、$\mathcal{S}$ が $\mathcal{S}_1$ で生成されるとき、対称代数の普遍性から定まる次数付き準同型 $\operatorname{Sym}\mathcal{S}_1\to\mathcal{S}$ が全射であることによる。

閉埋め込み $X\to\mathbb{P}(\mathcal{E})$（$\mathcal{E}$ は有限型準連接層）をとる。$V=\operatorname{Spec}B$ を $Y$ のアフィン開集合とすると、$\mathcal{E}|_V=\widetilde{M}$ となる $B$ 加群 $M$ があり、$\mathcal{E}$ が有限型なので $M$ は有限生成 $B$ 加群（有限生成加群）である（準連接層）。生成元 $m_0,\dots,m_n$ をとると全射 $B^{\oplus(n+1)}\to M$ があり、これは次数付き $B$ 代数の全射 $B[x_0,\dots,x_n]=\operatorname{Sym}B^{\oplus(n+1)}\to\operatorname{Sym}M$ を誘導する。prop-projective-morphism-proj-surjection により閉埋め込み
$$ \mathbb{P}(\mathcal{E})\times_YV=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}M\to\operatorname{Proj}B[x_0,\dots,x_n]=\mathbb{P}^n_V $$
が得られる。$f^{-1}(V)=X\times_YV\to\mathbb{P}(\mathcal{E})\times_YV$ は閉埋め込みの底変換だから閉埋め込みであり、合成 $f^{-1}(V)\to\mathbb{P}^n_V$ も閉埋め込みである。よって $f^{-1}(V)\to V$ は def-projective-morphism の意味で射影的である。2 は $V=Y$ ととれば従う。

$i\colon X\to\mathbb{P}^n_Y$ を $\mathcal{L}\cong i^*\mathcal{O}(1)$ となるはめ込みとし、$p\colon\mathbb{P}^n_Y\to Y$ を射影とする。$p\circ i=f$ は固有で $p$ は分離（固有射なので。thm-projective-morphism-proper）だから、固有射 の記事の定理（合成・底変換・積で閉じること）の 4 により $i$ は固有であり、像 $i(X)$ は $\mathbb{P}^n_Y$ の閉集合である。はめ込み $i$ は開部分スキーム $U\subset\mathbb{P}^n_Y$ への閉埋め込み $X\to U$ と開埋め込み $U\to\mathbb{P}^n_Y$ の合成である。$\mathbb{P}^n_Y$ の各点 $q$ について、$q\in i(X)$ なら $q\in U$ であり $U$ 上で $i$ は閉埋め込みである。$q\notin i(X)$ なら $W=\mathbb{P}^n_Y\setminus i(X)$ は $q$ の開近傍で $i^{-1}(W)=\emptyset$ であり、$W$ 上で $i$ は（空スキームの）閉埋め込みである。閉埋め込みであることは底の上で局所的だから $i$ は閉埋め込みであり、$f=p\circ i$ は射影射である。

$X$ が $A$ 上射影的なら、閉埋め込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ による $\mathcal{O}_X(1)=i^*\mathcal{O}(1)$ は $\operatorname{Spec}A$ 上非常に豊富であり、thm-projective-morphism-har-7-6（$m=1$）により豊富である。逆に $X$ が豊富な可逆層 $\mathcal{L}$ をもてば、$X$ は固有なので有限型であり、thm-projective-morphism-har-7-6 により $\mathcal{L}^{\otimes m}$ は $\operatorname{Spec}A$ 上非常に豊富である。prop-projective-morphism-proper-very-ample により $X\to\operatorname{Spec}A$ は射影射である。
準射影的な場合：$X$ が準射影的なら、はめ込み $X\to\mathbb{P}^n_A$ による $\mathcal{O}(1)$ の引き戻しは非常に豊富なので豊富である。逆に $X$ が有限型で豊富な可逆層をもてば、ある冪が非常に豊富で、はめ込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ が存在する。$i$ は開部分スキーム $U\subset\mathbb{P}^n_A$ への閉埋め込みと開埋め込み $U\to\mathbb{P}^n_A$ の合成であり、$X$ は $A$ 上有限型なので Noether スキーム、とくに準コンパクトであり、はめ込み $i$ は準コンパクトである。よって $i$ のスキーム論的像 $\overline{X}\subset\mathbb{P}^n_A$（$i(X)$ の閉包を台とする閉部分スキーム。Har77 II 演習 3.11、Stacks Morphisms of Schemes「Scheme theoretic image」の節）について $X\to\overline{X}$ は開埋め込みである（$X$ が被約なら $\overline{X}$ は閉包に被約スキームの構造を入れたものである）。$\overline{X}\to\operatorname{Spec}A$ は射影的なので $X$ は準射影的である。