傾理論

$M\in\operatorname{Gen}T$ なら全射 $T^n\to M$ がある。核を $L$ とすると、短完全列 $0\to L\to T^n\to M\to0$ の $\operatorname{Hom}_A(T,-)$ による長完全列に
$$ \operatorname{Ext}^1_A(T,T^n)\to\operatorname{Ext}^1_A(T,M)\to\operatorname{Ext}^2_A(T,L) $$
が現れる。(T2) より左端は $\operatorname{Ext}^1_A(T,T)^n=0$、(T1) より右端は $0$ である（射影次元 の定理「全係数Extの消滅判定」）。よって $\operatorname{Ext}^1_A(T,M)=0$ である。$\square$

(T3) の短完全列 $0\to A\xrightarrow{u}T_0\to T_1\to0$ に $\operatorname{Hom}_A(-,M)$ を当てると、完全列
$$ \operatorname{Hom}_A(T_0,M)\xrightarrow{u^*}\operatorname{Hom}_A(A,M)\to\operatorname{Ext}^1_A(T_1,M) $$
を得る。$T_1\in\operatorname{add}T$ なので $\operatorname{Ext}^1_A(T_1,M)$ は $\operatorname{Ext}^1_A(T,M)^n$ の直和因子で $0$、よって $u^*$ は全射である。$m\in M$ に対し $A\to M$、$a\mapsto am$ を考えると、これは $g\circ u$（$g\colon T_0\to M$）と書けるので、$m=g(u(1))$ は $T_0$ からの写像の像に入る。$M$ の生成元 $m_1,\ldots,m_r$ ごとに $g_j\colon T_0\to M$ をとれば $(g_1,\ldots,g_r)\colon T_0^{\,r}\to M$ は全射で、$T_0$ は $T^n$ の直和因子だから $M\in\operatorname{Gen}T$ である。$\square$

1 は prop-tilt-gen-in-perp と prop-tilt-perp-in-gen による。
3：$\operatorname{Hom}_A(T,M)$ は有限次元なので基底 $f_1,\ldots,f_n$ をとると、$tM$ は $(f_1,\ldots,f_n)\colon T^n\to M$ の像に等しく、$tM\in\operatorname{Gen}T=\mathcal T(T)$ である。短完全列 $0\to tM\to M\xrightarrow{\pi}M/tM\to0$ から完全列
$$ \operatorname{Hom}_A(T,M)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname{Hom}_A(T,M/tM)\to\operatorname{Ext}^1_A(T,tM)=0 $$
を得る。$T$ からの写像はすべて $tM$ に入るので $\pi_*=0$、よって $\operatorname{Hom}_A(T,M/tM)=0$ である。
2：条件 1：$X\in\operatorname{Gen}T$、$Y\in\mathcal F(T)$ とし、全射 $p\colon T^n\to X$ をとる。$h\colon X\to Y$ について $hp\in\operatorname{Hom}_A(T,Y)^n=0$ で、$p$ は全射だから $h=0$ である。条件 3：$\operatorname{Hom}_A(X,Y)=0$ がすべての $X\in\mathcal T(T)$ で成り立てば、$T\in\mathcal T(T)$ より $Y\in\mathcal F(T)$ である。逆は条件 1 である。条件 2：$\operatorname{Hom}_A(X,Y)=0$ がすべての $Y\in\mathcal F(T)$ で成り立つとする。3 により $X/tX\in\mathcal F(T)$ なので射影 $X\to X/tX$ は $0$、すなわち $X=tX\in\mathcal T(T)$ である。逆は条件 1 である。$\square$

要点：$X=T$ では $\operatorname{Hom}_B(B,N)\cong N$ により忠実充満性が出て、直和と直和因子に広がる。本質的全射性は、$B^n$ の冪等元を $T^n$ の冪等元に持ち上げて像をとればよい。

要点：$\operatorname{Hom}_A(T,M)$ の基底を並べた $T^n\to M$ をとると、Hom の全射性と $\operatorname{Ext}^1_A(T,T^n)=0$ から核の Ext が消える。

$M=T$ のとき、$\operatorname{Hom}_A(T,T)=B$ と $T\otimes_BB\cong T$ により $\varepsilon_T$ は同型で、直和と直和因子をとって $T_0\in\operatorname{add}T$ でも同型である。
$M\in\mathcal T(T)$ とする。lem-tilt-approximation を $M$ と $L$ に続けて当て、$0\to L\to T_0\to M\to0$、$0\to L'\to T_1\to L\to0$（$T_0,T_1\in\operatorname{add}T$、$L,L'\in\mathcal T(T)$）をとる。$\operatorname{Ext}^1_A(T,L)=\operatorname{Ext}^1_A(T,L')=0$ なので $\operatorname{Hom}_A(T,-)$ はこれらを短完全列に移し、つないで完全列
$$ \operatorname{Hom}_A(T,T_1)\to\operatorname{Hom}_A(T,T_0)\to\operatorname{Hom}_A(T,M)\to0 $$
を得る。右完全関手 $T\otimes_B-$ を当てると、評価写像が次の可換図式を与える。
$$ \xymatrix{ T\otimes_B\operatorname{Hom}_A(T,T_1)\ar[r]\ar[d]_{\varepsilon_{T_1}} & T\otimes_B\operatorname{Hom}_A(T,T_0)\ar[r]\ar[d]_{\varepsilon_{T_0}} & T\otimes_B\operatorname{Hom}_A(T,M)\ar[r]\ar[d]_{\varepsilon_M} & 0\\ T_1\ar[r] & T_0\ar[r] & M\ar[r] & 0 } $$
上下の行は完全で（下の行は $T_1\to L\to0$ と $0\to L\to T_0\to M\to0$ をつないだもの）、$\varepsilon_{T_1},\varepsilon_{T_0}$ は同型なので、余核の比較から $\varepsilon_M$ も同型である。
忠実充満性：$T\otimes_B-$ は $\operatorname{Hom}_A(T,-)$ の左随伴で、その余単位が $\varepsilon$ である。$M,N\in\mathcal T(T)$ について、随伴の同型 $\operatorname{Hom}_B(\operatorname{Hom}_A(T,M),\operatorname{Hom}_A(T,N))\cong\operatorname{Hom}_A(T\otimes_B\operatorname{Hom}_A(T,M),N)$ と $\varepsilon_M$ による同一視を合成すると $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ への全単射になり、これは $\operatorname{Hom}_A(T,-)$ が引き起こす写像の逆写像である。$\square$