Frobeniusの定理(可積分性)

(i)：各点 $q$ で $X_q\in D_q$ は基底 $X_i(q)$ の 1 次結合としてただ 1 通りに書けるので、係数 $f^i(q)$ が定まる。滑らかさを示す。$q_0\in U'$ のまわりの局所座標で $X_i=\sum_aX_i^a\,\partial_a$、$X=\sum_aX^a\,\partial_a$ と書くと、$n\times k$ 行列 $(X_i^a)$ は各点で階数 $k$ なので、$q_0$ で正則な $k$ 次の小行列 $\Delta$ があり、連続性から $q_0$ の近くでも正則である。$X=\sum_if^iX_i$ の成分のうち $\Delta$ の行にあたる $k$ 本の式は $(f^i)$ についての連立 1 次方程式で、Cramer の公式から $f^i$ は成分 $X_i^a$、$X^a$ の有理式（分母は $\det\Delta\ne0$）であり、滑らかである。
(ii)：前者から後者は定義そのものである。逆を示す。$X,Y\in\Gamma(U',D)$ とする。Lie 括弧の値は各点の近くのベクトル場だけで決まるので、$U'$ が 1 つの局所枠の定義域に含まれるとしてよい。(i) により $X=\sum_if^iX_i$、$Y=\sum_jg^jX_j$ と書け、Lie括弧の記事の命題「Lie 括弧の基本性質」の (i)(iii) により
$$ [X,Y]=\sum_{i,j}\Bigl(f^ig^j\,[X_i,X_j]+f^i\,(X_ig^j)\,X_j-g^j\,(X_jf^i)\,X_i\Bigr) $$
である。仮定から右辺の各項は $D$ に値をとるので、$[X,Y]\in\Gamma(U',D)$ である。$\square$

$X,Y\in\Gamma(U,D)$、$p\in U$ とし、$p$ を通る積分多様体 $S$ をとる。$S\cap U$ は開集合 $U$ の中の部分多様体であり、その各点 $q$ で $X_q,Y_q\in D_q=T_qS$、すなわち $X$、$Y$ は $S\cap U$ に接する。Lie括弧の記事の命題「積分曲面に接するベクトル場の括弧」（多様体 $U$ と部分多様体 $S\cap U$ に使う）により、$[X,Y]_p\in T_pS=D_p$ である。$p$ は任意なので $[X,Y]\in\Gamma(U,D)$ である。$\square$

段 0（帰着）．主張は局所的なので、$p$ のまわりの局所座標で、$M$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合、$p=0$ としてよい。「任意の $n$、$\mathbb{R}^n$ の任意の開集合上の包合的な階数 $k$ の分布は、各点のまわりに平板座標をもつ」ことを $k$ についての帰納法で示す。$k=0$ なら $D=0$ であり、任意の局所座標が平板座標である。$k\ge1$ とし、$k-1$ では成り立つとする。
段 1（1 本目をまっすぐにする）．$0$ の近くの局所枠 $X_1,\dots,X_k$ をとる。$X_1(0)\ne0$ なので、整流定理により $0$ のまわりの局所座標 $(V;y^1,\dots,y^n)$ で、$V$ 上 $X_1=\partial/\partial y^1$ となるものがある。平行移動して $y(0)=0$ とし、$V$ を小さくとり直して、$y(V)=(-a,a)\times Q$（$a>0$、$Q$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ の $0$ を中心とする開球）としてよい。以下、$V$ の点を座標 $(y^1,u)$（$u=(y^2,\dots,y^n)\in Q$）で表す。
段 2（枠の取り替え）．$Y_1:=X_1$、$Y_i:=X_i-(X_iy^1)\,X_1$（$2\le i\le k$）とおく。$Y_1,\dots,Y_k$ は $X_i$ から正則な三角行列で移ったものなので、$V$ 上の $D$ の局所枠であり、$Y_1y^1=1$、$Y_iy^1=0$（$i\ge2$）である。包合性と lem-fr-frame (i) により、滑らかな関数 $c_{ij}^l$ で $[Y_i,Y_j]=\sum_{l=1}^kc_{ij}^lY_l$ と書ける。両辺を $y^1$ に施すと、左辺は $Y_i(Y_jy^1)-Y_j(Y_iy^1)$ で、$j\ge2$ なら（$Y_jy^1=0$、$Y_iy^1$ は定数 $0$ または $1$ なので）$0$ であり、右辺は $c_{ij}^1$ である。よって
$$ [Y_i,Y_j]=\sum_{l=2}^kc_{ij}^l\,Y_l\qquad(1\le i\le k,\ 2\le j\le k) $$
である。
段 3（切り口の分布）．$i\ge2$ では $Y_iy^1=0$ なので、$Y_i$ の $\partial/\partial y^1$ の成分は $0$ であり、$Y_i=\sum_{a\ge2}Y_i^a\,\partial/\partial y^a$ と書ける。切り口 $\{y^1=0\}$ を $Q$ と同一視し、$Q$ 上のベクトル場 $\widehat Y_i:=\sum_{a\ge2}Y_i^a(0,u)\,\partial/\partial u^a$（$2\le i\le k$）を考える。$Y_i(0,u)$ たちは 1 次独立なので $\widehat Y_i(u)$ たちも 1 次独立であり、$\widehat D:=\operatorname{span}\{\widehat Y_2,\dots,\widehat Y_k\}$ は $Q$ 上の階数 $k-1$ の分布である。Lie括弧の記事の命題「局所座標での成分」の式で $[Y_i,Y_j]$ の成分を計算すると、$Y_i$、$Y_j$ は $\partial/\partial y^1$ の成分をもたないので $y^1$ についての微分は現れず、$y^1=0$ で
$$ [\widehat Y_i,\widehat Y_j](u)=\sum_{a\ge2}[Y_i,Y_j]^a(0,u)\,\frac{\partial}{\partial u^a}=\sum_{l=2}^kc_{ij}^l(0,u)\,\widehat Y_l(u) $$
である。lem-fr-frame (ii) により $\widehat D$ は包合的である。帰納法の仮定により、$0$ の開近傍 $Q'\subset Q$ 上の局所座標 $(z^2,\dots,z^n)$ で、$Q'$ 上 $\widehat D=\operatorname{span}\{\partial/\partial z^2,\dots,\partial/\partial z^k\}$ となるものがある。とくに $\widehat Y_iz^j=0$（$2\le i\le k< j\le n$）である。
段 4（座標を延ばす）．$V':=\{(y^1,u)\mid\lvert y^1\rvert< a,\ u\in Q'\}$ の上で
$$ w^1:=y^1,\qquad w^j:=z^j(u)\quad(2\le j\le n) $$
とおく。$(y^1,u)\mapsto(y^1,z(u))$ は $(-a,a)\times Q'$ から開集合 $(-a,a)\times z(Q')$ への微分同相写像なので、$(V';w)$ は局所座標である。$j>k$ を固定し、$g_i:=Y_iw^j$（$2\le i\le k$）とおく。$y^1=0$ では、$Y_i$ の成分が $\widehat Y_i$ の成分と一致するので $g_i(0,u)=\widehat Y_iz^j(u)=0$ である。また $Y_1=\partial/\partial y^1$ と $Y_1w^j=0$（$w^j$ は $y^1$ によらない）、段 2 の式から
$$ \frac{\partial g_i}{\partial y^1}=Y_1(Y_iw^j)=[Y_1,Y_i]\,w^j+Y_i(Y_1w^j)=\sum_{l=2}^kc_{1i}^l\,g_l $$
である。$u\in Q'$ を固定すると、$s\mapsto G(s):=(g_2,\dots,g_k)(s,u)$ は $(-a,a)$ 上の線形の方程式 $G'=C(s)G$（$C(s):=(c_{1i}^l(s,u))$ は連続）の解で $G(0)=0$ をみたす。線形の方程式の解は初期値で決まる（常微分方程式の記事の定理「線形方程式の解の大域存在と解空間」の (ii)）ので $G\equiv0$ である。よって $V'$ 上 $Y_iw^j=0$（$2\le i\le k< j$）であり、$Y_1w^j=0$ と合わせて、すべての $i\le k< j$ で $Y_iw^j=0$ である。
段 5（結論）．$q\in V'$ とする。座標 $w$ に関して、接ベクトル $v$ の $\partial/\partial w^j$ の成分は $v(w^j)$ である。段 4 により $D_q=\operatorname{span}\{Y_i(q)\}$ の元はすべて $j>k$ の成分が $0$ であり、$D_q\subset\operatorname{span}\{\partial/\partial w^1|_q,\dots,\partial/\partial w^k|_q\}$ である。両辺とも $k$ 次元なので等号が成り立ち、$(V';w)$ は $D$ の平板座標である。$\square$

$j>k$ とし、$h:=w^j|_S$ を $S$ 上の関数とみる。$q\in S$ と $v\in T_qS=D_q$ について $dh_q(v)=v(w^j)$ は $v$ の $\partial/\partial w^j$ の成分であり、$D_q=\operatorname{span}\{\partial/\partial w^1,\dots,\partial/\partial w^k\}$ なので $0$ である。したがって $S$ の局所座標で $h$ のすべての偏導関数は $0$ であり、$h$ は各点の近く（座標球の上）で一定である。$h$ が値 $h(q_0)$ をとる点の集合は $S$ の開集合かつ閉集合であり、$S$ は連結なので $S$ 全体に等しい。$\square$