リッチの恒等式と可積分条件

1. $\nabla_Y$ の Leibniz 則により $\nabla_Y(S\otimes T)=\nabla_YS\otimes T+S\otimes\nabla_YT$ であり、これに再び $\nabla_X$ の Leibniz 則を用いると
   $$ \nabla_X\nabla_Y(S\otimes T)=\nabla_X\nabla_YS\otimes T+\nabla_YS\otimes\nabla_XT+\nabla_XS\otimes\nabla_YT+S\otimes\nabla_X\nabla_YT $$
   である。一方 $\nabla_{\nabla_XY}(S\otimes T)=\nabla_{\nabla_XY}S\otimes T+S\otimes\nabla_{\nabla_XY}T$ であり、両者の差をとれば (1) を得る。
2. $\nabla_X$、$\nabla_Y$、$\nabla_{\nabla_XY}$ がいずれも縮約と可換であること（テンソル解析）から従う。
3. 1. で $X,Y$ を入れ替えて引くと、中央の 2 項 $(\nabla_XS)\otimes(\nabla_YT)+(\nabla_YS)\otimes(\nabla_XT)$ は $X,Y$ について対称なので打ち消し合う。縮約との可換性は (2) から従う。$\square$

$\mathcal{R}(X,Y):=\nabla^2_{X,Y}-\nabla^2_{Y,X}$ とおく。リーマン曲率テンソル の記事の命題により $\mathcal{R}(X,Y)f=0$、$\mathcal{R}(X,Y)Z=R(X,Y)Z$、$\mathcal{R}(X,Y)\omega=-\omega\circ R(X,Y)$ である。
一般の $T\in\mathcal{T}^{(p,q)}(M)$ に対し、関数 $T(\omega^1,\dots,\omega^p,Z_1,\dots,Z_q)$ はテンソル積 $T\otimes\omega^1\otimes\cdots\otimes\omega^p\otimes Z_1\otimes\cdots\otimes Z_q$ をすべての対について縮約したものである。lem-ricci-id-leibniz (3) を繰り返し用いると
$$ 0=\mathcal{R}(X,Y)\bigl(T(\omega^1,\dots,Z_q)\bigr)=(\mathcal{R}(X,Y)T)(\omega^1,\dots,Z_q)+\sum_{s=1}^pT(\dots,\mathcal{R}(X,Y)\omega^s,\dots)+\sum_{t=1}^qT(\dots,\mathcal{R}(X,Y)Z_t,\dots) $$
であり、上で示した $\mathcal{R}(X,Y)\omega^s=-\omega^s\circ R(X,Y)$、$\mathcal{R}(X,Y)Z_t=R(X,Y)Z_t$ を代入して移項すれば
$$ (\mathcal{R}(X,Y)T)(\omega^1,\dots,Z_q)=\sum_{s=1}^pT(\dots,\omega^s\circ R(X,Y),\dots)-\sum_{t=1}^qT(\dots,R(X,Y)Z_t,\dots)=(R(X,Y)T)(\omega^1,\dots,Z_q) $$
を得る。これが任意の $\omega^s,Z_t$ について成り立つので $\mathcal{R}(X,Y)T=R(X,Y)T$ である。
成分表示は、$X=\partial_i$、$Y=\partial_j$、$\omega^s=dx^{k_s}$、$Z_t=\partial_{l_t}$ とおけばよい。$dx^k\circ R(\partial_i,\partial_j)$ は $\partial_a$ に対し $dx^k(R(\partial_i,\partial_j)\partial_a)=R^k{}_{aij}$ を返すので $dx^k\circ R(\partial_i,\partial_j)=R^k{}_{aij}dx^a$ であり、$R(\partial_i,\partial_j)\partial_l=R^a{}_{lij}\partial_a$ であるから、def-ricci-id-main の成分表示を得る。$\square$

$R(X,Y)Z$ が $X,Y,Z$ について $C^\infty(M)$-線形であることは、リーマン曲率テンソル の記事のテンソル性の証明が接続の Leibniz 則と $[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X$ しか用いていないので、任意のアフィン接続について成り立つ。lem-ricci-id-leibniz の証明も捩れや計量を用いていないので、$\mathcal{R}(X,Y):=\nabla^2_{X,Y}-\nabla^2_{Y,X}$ はテンソル積について Leibniz 則を満たし縮約と可換である。$\nabla_{T^\nabla(X,Y)}$ も同じ性質をもつので、$\mathcal{D}:=\mathcal{R}(X,Y)+\nabla_{T^\nabla(X,Y)}$ もテンソル積について Leibniz 則を満たし縮約と可換である。関数 $f$ に対しては
$$ \mathcal{R}(X,Y)f=[X,Y](f)-(\nabla_XY-\nabla_YX)(f)=-T^\nabla(X,Y)(f) $$
なので $\mathcal{D}f=0$ であり、ベクトル場 $Z$ に対しては
$$ \mathcal{R}(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]+T^\nabla(X,Y)}Z=R(X,Y)Z-\nabla_{T^\nabla(X,Y)}Z $$
なので $\mathcal{D}Z=R(X,Y)Z$ である。あとは prf-ricci-id-general とまったく同じ議論（関数への作用が $0$、縮約との可換性、Leibniz 則）により、1 次微分形式に対して $\mathcal{D}\omega=-\omega\circ R(X,Y)$、一般のテンソル場に対して $\mathcal{D}T=R(X,Y)T$ が従う。成分表示は $X=\partial_i$、$Y=\partial_j$ とおけばよい。$\square$

1. ⇒ (2)：$(x_0,y_0)\in\Omega$ をとり、$y(x_0)=y_0$ を満たす解 $y(x)$ をとる。$\varphi^i_a(x):=f^i_a(x,y(x))=\partial y^i/\partial x^a$ を $x^b$ で微分すると、連鎖律により
   $$ \frac{\partial}{\partial x^b}\frac{\partial y^i}{\partial x^a}=\frac{\partial f^i_a}{\partial x^b}(x,y(x))+\frac{\partial f^i_a}{\partial y^j}(x,y(x))\frac{\partial y^j}{\partial x^b}=\frac{\partial f^i_a}{\partial x^b}(x,y(x))+\frac{\partial f^i_a}{\partial y^j}(x,y(x))f^j_b(x,y(x)) $$
   である。左辺は $a,b$ について対称なので（滑らかな関数の 2 階偏導関数の対称性）、$x=x_0$ で右辺も対称であり、(2) の等式が $(x_0,y_0)$ で成り立つ。$(x_0,y_0)$ は任意であった。
2. ⇒ (1)：$\Omega$ 上のベクトル場
   $$ X_a:=\frac{\partial}{\partial x^a}+f^i_a(x,y)\frac{\partial}{\partial y^i}\qquad(1\le a\le n) $$
   を考える。$X_1,\dots,X_n$ は各点で線形独立なので（$\partial/\partial x^a$ 成分を見よ）、階数 $n$ の分布 $\mathcal{D}$ を張る。$[\partial/\partial x^a,\partial/\partial x^b]=0$、$[\partial/\partial x^a,\partial/\partial y^i]=0$、$[\partial/\partial y^i,\partial/\partial y^j]=0$ により
   $$ [X_a,X_b]=\bigl(X_a(f^i_b)-X_b(f^i_a)\bigr)\frac{\partial}{\partial y^i}=\Bigl(\frac{\partial f^i_b}{\partial x^a}+f^j_a\frac{\partial f^i_b}{\partial y^j}-\frac{\partial f^i_a}{\partial x^b}-f^j_b\frac{\partial f^i_a}{\partial y^j}\Bigr)\frac{\partial}{\partial y^i} $$
   であり、(2) によりこれは $0$ である。$\mathcal{D}$ に値をもつベクトル場は $X_a$ の関数係数の線形結合なので、$[X_a,X_b]=0$ から $\mathcal{D}$ は包合的である。thm-ricci-id-frobenius により、$(x_0,y_0)$ を通る積分多様体 $S$ が存在する。射影 $\pi\colon S\to\mathbb{R}^n$、$(x,y)\mapsto x$ の微分は $d\pi(X_a)=\partial/\partial x^a$ を満たすので各点で同型であり、逆写像定理により $\pi$ は $(x_0,y_0)$ の近くで微分同相写像である。したがって $S$ を縮めれば、$x_0$ のある近傍 $W$ 上の滑らかな写像 $\varphi\colon W\to\mathbb{R}^m$ で $\varphi(x_0)=y_0$ かつ $S=\{(x,\varphi(x))\mid x\in W\}$ となるものがある。グラフ $S$ の点 $(x,\varphi(x))$ における接空間は $\partial/\partial x^a+(\partial\varphi^i/\partial x^a)\,\partial/\partial y^i$（$1\le a\le n$）で張られ、これが $\mathcal{D}_{(x,\varphi(x))}$ に属するので、$X_1,\dots,X_n$ の線形結合である。$\partial/\partial x^a$ 成分を比べると、それは $X_a$ そのものでなければならず、$\partial/\partial y^i$ 成分を比べて $\partial\varphi^i/\partial x^a=f^i_a(x,\varphi(x))$ を得る。よって $\varphi$ は求める解である。
   一意性：$B$ を $x_0$ を中心とする凸な近傍、$y,\tilde y$ を $B$ 上の解で $y(x_0)=\tilde y(x_0)$ とする。$x\in B$ を固定し、$c(t):=y(x_0+t(x-x_0))$、$\tilde c(t):=\tilde y(x_0+t(x-x_0))$（$0\le t\le1$）とおくと、連鎖律により両者は同じ常微分方程式
   $$ \frac{dc^i}{dt}=(x-x_0)^af^i_a\bigl(x_0+t(x-x_0),c(t)\bigr) $$
   を満たし、$c(0)=\tilde c(0)$ である。常微分方程式の解の一意性（Lee13 Appendix D）により $c=\tilde c$、特に $y(x)=\tilde y(x)$ である。$\square$

条件 (2) の左辺は、$(\nabla_XG)(Y)=\nabla_X(G(Y))-G(\nabla_XY)$ により $X,Y$ について $C^\infty(U)$-線形であり、右辺も同様なので、(2) は $X=\partial_i$、$Y=\partial_j$ について確かめれば十分である。
準備として、テンソル場 $H$ が $x_0$ で $H(x_0)=0$ を満たせば、$x_0$ で $\nabla_kH=\partial_kH$（成分ごとの偏微分）であることに注意する。実際、$\nabla_kH$ の成分は $\partial_kH$ の成分と $H$ の成分に Christoffel 記号を掛けた項の和であり、後者は $x_0$ で消える。
(1) ⇒ (2)：$x_0$、$v$、$V$ を (2) の通りとし、$W$ を $W(x_0)=v$ を満たす解とする。$G^V:=F(\cdot;V)$、$G^W:=F(\cdot;W)=\nabla W$ とおく。まず $W$ について (2) の等式を確かめる。$(\nabla_XG^W)(Y)=\nabla_X(\nabla_YW)-\nabla_{\nabla_XY}W=\nabla^2_{X,Y}W$ であるから、thm-ricci-id-general により
$$ (\nabla_XG^W)(Y)-(\nabla_YG^W)(X)=\nabla^2_{X,Y}W-\nabla^2_{Y,X}W=R(X,Y)W $$
が $x_0$ の近傍全体で成り立つ。次に $V$ と $W$ を比べる。$V(x_0)=W(x_0)=v$ であり、$\nabla V(x_0)=F(\cdot;v)=\nabla W(x_0)$ なので、上の注意を $V-W$ に適用して $\partial_kV(x_0)=\partial_kW(x_0)$ である。局所座標で $G^V_a=F_a(x,V(x))$、$G^W_a=F_a(x,W(x))$ と書くと（$F_a$ は $x$ とテンソルの成分の滑らかな関数）、$H:=G^V-G^W$ は $H(x_0)=0$ を満たし、連鎖律により
$$ \partial_bH_a(x_0)=\frac{\partial F_a}{\partial y}(x_0,v)\cdot\bigl(\partial_bV(x_0)-\partial_bW(x_0)\bigr)=0 $$
である（$\partial F_a/\partial y$ はテンソルの成分についての偏導関数）。よって上の注意により $\nabla_bH_a(x_0)=\partial_bH_a(x_0)=0$、すなわち $(\nabla G^V)(x_0)=(\nabla G^W)(x_0)$ である。したがって $V$ についても $x_0$ で (2) の等式が成り立つ。
(2) ⇒ (1)：局所座標 $(x^a)$ に関し、$V$ の成分の全体を $y=(y^\alpha)\in\mathbb{R}^m$（$m=n^{p+q}$）と書く。$\nabla_aV$ の成分は $\partial_ay^\alpha+(\Gamma_a\cdot y)^\alpha$（$\Gamma_a\cdot y$ は Christoffel 記号による $y$ の線形結合）なので、方程式 $\nabla_aV=F_a(x,V)$ は
$$ \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^a}=f^\alpha_a(x,y):=F^\alpha_a(x,y)-(\Gamma_a(x)\cdot y)^\alpha $$
と書ける。$f^\alpha_a$ は滑らかである。prop-ricci-id-pde により、この系が完全積分可能であるための必要十分条件は、各点 $(x_0,v)$ で $\partial_bf_a+(\partial f_a/\partial y)f_b$ が $a,b$ について対称であることである。$(x_0,v)$ を固定し、テンソル場 $V$ を成分で $y^\alpha(x):=v^\alpha+f^\alpha_b(x_0,v)(x^b-x_0^b)$ により定めると、$V(x_0)=v$、$\partial_bV(x_0)=f_b(x_0,v)$、したがって $\nabla_bV(x_0)=F_b(x_0,v)$ であり、$V$ は (2) の仮定を満たす。この $V$ に対し、連鎖律により
$$ \partial_b\bigl(f_a(x,V(x))\bigr)(x_0)=\partial_bf_a(x_0,v)+\frac{\partial f_a}{\partial y}(x_0,v)\cdot\partial_bV(x_0)=\partial_bf_a(x_0,v)+\frac{\partial f_a}{\partial y}(x_0,v)\cdot f_b(x_0,v) $$
であるから、可積分条件は「$\partial_b(f_a(x,V(x)))(x_0)$ が $a,b$ について対称」と言い換えられる。ここで $G:=F(\cdot;V)$ とおくと $f_a(x,V(x))=G_a-\Gamma_a\cdot V=G_a-\nabla_aV+\partial_aV$ である。$H:=G-\nabla V$ とおくと $H(x_0)=0$ なので、上の注意により
$$ \partial_b\bigl(f_a(x,V(x))\bigr)(x_0)=\partial_bH_a(x_0)+\partial_b\partial_aV(x_0)=\nabla_bH_a(x_0)+\partial_b\partial_aV(x_0) $$
である。第 2 項は $a,b$ について対称なので、可積分条件は $\nabla_bH_a(x_0)-\nabla_aH_b(x_0)=0$、すなわち
$$ (\nabla_bG_a-\nabla_aG_b)(x_0)=(\nabla_b\nabla_aV-\nabla_a\nabla_bV)(x_0)=\bigl(R(\partial_b,\partial_a)V\bigr)(x_0) $$
と同値である（最後の等号は thm-ricci-id-general）。$\nabla_bG_a-\nabla_aG_b$ は $(\nabla_{\partial_b}G)(\partial_a)-(\nabla_{\partial_a}G)(\partial_b)$ の成分であるから、これは (2) の等式に他ならない。よって (2) のもとで prop-ricci-id-pde の条件が満たされ、方程式は完全積分可能である。
一意性：$V,\tilde V$ を $x_0$ の連結な近傍 $U'$ 上の解で $V(x_0)=\tilde V(x_0)$ とする。$U'$ の点 $x$ で $V(x)=\tilde V(x)$ となるものの集合 $Z$ は閉集合であり、$x_1\in Z$ に対し、$x_1$ を中心とする座標球の上では prop-ricci-id-pde の一意性により $V=\tilde V$ なので $Z$ は開集合でもある。$U'$ は連結で $x_0\in Z$ なので $Z=U'$ である。
最後に $F(X;V)=A(X)$ の場合、$G=A$ は $V$ によらないので、(2) は「各点 $x_0$ と各 $v$ について $(\nabla_XA)(Y)-(\nabla_YA)(X)=R(X,Y)v$」となる。$\square$

thm-ricci-id-integrability を $F=0$ に適用する。$G=0$ なので条件は「各点で任意の $v$ に対し $R(X,Y)v=0$」である。$(p,q)=(1,0)$ のとき、これは $R(X,Y)$ が各点で零写像であること、すなわち $R\equiv0$ と同値である。よって (1) ⇔ (2)。(3) ⇒ (2) は明らかであり、(1) ⇒ (3) は、$R\equiv0$ なら def-ricci-id-curvature-action によりすべてのテンソルに対し $R(X,Y)v=0$ であることから従う。$\square$

$S_{ijk}:=\nabla_i\nabla_j\xi_k$ とおく。Killing 条件 $\nabla_j\xi_k=-\nabla_k\xi_j$ を共変微分して $S_{ijk}=-S_{ikj}$ である。1 次微分形式に対するリッチの恒等式（def-ricci-id-main）を添字を巡回させて 3 通り書くと
$$ S_{ijk}-S_{jik}=-R^a{}_{kij}\xi_a,\qquad S_{jki}-S_{kji}=-R^a{}_{ijk}\xi_a,\qquad S_{kij}-S_{ikj}=-R^a{}_{jki}\xi_a $$
である。第 1 式と第 2 式を加え、第 3 式を引く。左辺は、$S_{jki}=-S_{jik}$、$S_{kji}=-S_{kij}$、$S_{ikj}=-S_{ijk}$ により
$$ S_{ijk}-S_{jik}-S_{jik}+S_{kij}-S_{kij}-S_{ijk}=-2S_{jik} $$
となる。右辺は、第 1 Bianchi恒等式 $R^a{}_{kij}+R^a{}_{ijk}+R^a{}_{jki}=0$（リーマン曲率テンソル）により $-(R^a{}_{kij}+R^a{}_{ijk})\xi_a+R^a{}_{jki}\xi_a=2R^a{}_{jki}\xi_a$ となる。よって $S_{jik}=-R^a{}_{jki}\xi_a=R^a{}_{jik}\xi_a$（最後は後の 2 添字についての反対称性）であり、添字を付け替えて $\nabla_i\nabla_j\xi_k=R^a{}_{ijk}\xi_a$ を得る。
座標によらない形に直す。$k$ を上げると $(\nabla^2_{\partial_i,\partial_j}\xi)^k=g^{kc}R^a{}_{ijc}\xi_a=g^{kc}\xi^bR_{bijc}$ であり、対の入れ替えの対称性 $R_{bijc}=R_{jcbi}$（リーマン曲率テンソル）と $R_{jcbi}=g_{jm}R^m{}_{cbi}$ により、$\xi^bR^m{}_{cbi}\partial_m=R(\xi,\partial_i)\partial_c$ であるから
$$ g^{kc}\xi^bR_{bijc}=g^{kc}g\bigl(R(\xi,\partial_i)\partial_c,\partial_j\bigr)=-g^{kc}g\bigl(R(\xi,\partial_i)\partial_j,\partial_c\bigr)=-\bigl(R(\xi,\partial_i)\partial_j\bigr)^k=\bigl(R(\partial_i,\xi)\partial_j\bigr)^k $$
である（途中で $g(R(\cdot,\cdot)V,W)=-g(R(\cdot,\cdot)W,V)$ を用いた）。よって $\nabla^2_{\partial_i,\partial_j}\xi=R(\partial_i,\xi)\partial_j$ であり、両辺が $Y,Z$ について $C^\infty(M)$-線形なので一般の $Y,Z$ について $\nabla^2_{Y,Z}\xi=R(Y,\xi)Z$ が成り立つ。$\square$

1. $A:=\nabla\xi$ とおく。$(\nabla_YA)(Z)=\nabla_Y(\nabla_Z\xi)-\nabla_{\nabla_YZ}\xi=\nabla^2_{Y,Z}\xi$ であるから、prop-ricci-id-killing により $(\nabla_YA)(Z)=R(Y,\xi)Z$ である。$\gamma\colon[0,1]\to M$ を滑らかな曲線とし、$\gamma$ に沿う平行な局所枠 $E_1,\dots,E_n$（平行移動）をとって $\xi=\xi^iE_i$、$A(E_j)=A^i{}_jE_i$、$\dot\gamma=c^kE_k$、$R(E_k,E_l)E_j=R^i{}_{jkl}(t)E_i$ と書く（$\xi^i$、$A^i{}_j$、$c^k$、$R^i{}_{jkl}$ は $t$ の滑らかな関数）。$\nabla_{\dot\gamma}\xi=A(\dot\gamma)$ と $(\nabla_{\dot\gamma}A)(E_j)=R(\dot\gamma,\xi)E_j$ を成分で書くと、枠が平行なので
   $$ \frac{d\xi^i}{dt}=A^i{}_jc^j,\qquad \frac{dA^i{}_j}{dt}=c^k\xi^lR^i{}_{jkl}(t) $$
   であり、これは $(\xi^i,A^i{}_j)$ に対する滑らかな係数の線形常微分方程式系である。したがって $t=0$ で $(\xi^i,A^i{}_j)=0$ ならば $[0,1]$ 全体で $0$ である（Lee13 Appendix D）。
   $Z:=\{q\in M\mid\xi_q=0,\ (\nabla\xi)_q=0\}$ とおくと、$Z$ は閉集合であり、仮定により $p\in Z$ である。$q\in Z$ に対し、$q$ を中心とする座標球の各点は $q$ と座標について直線である滑らかな曲線で結べるので、上の議論により座標球は $Z$ に含まれる。よって $Z$ は開集合でもあり、$M$ の連結性から $Z=M$ である。
2. 線形写像 $\xi\mapsto(\xi_p,(\nabla\xi)_p)$ は (1) により単射である。$(\nabla\xi)_p$ は $T_pM$ の $g_p$ に関して反対称な線形変換なので、その全体は次元 $n(n-1)/2$ の空間をなす。よって Killing 場の空間の次元は $n+n(n-1)/2=n(n+1)/2$ 以下である。$\square$