K安定性

前提知識: Kähler–Einstein計量, Fano多様体, 平坦族, Hilbert–Mumfordの判定法

計量の存在を代数的に判定する

K安定性（K-stability）とは、Fano多様体 $X$ の $\mathbb{G}_m$ 作用つきの退化のすべてについて、ある有理数の符号を調べる安定性の条件である。Tian が 1997 年に微分幾何の言葉で導入し、Donaldson が 2002 年に純粋に代数的な形に書き直した（Xu21 §1）。
その意義は、Fano 多様体が Kähler–Einstein計量 をもつための必要十分条件を与えることにある。これは Yau–Tian–Donaldson 予想と呼ばれ、Fano 多様体については Chen–Donaldson–Sun と Tian が 2015 年に出版した論文で解決した。逆向きは Berman が示した。
この記事では、定義を正確に述べ、幾何学的不変式論 との対応を説明し、主定理を述べる。主定理はこの記事では証明しない。$\mathbb{P}^1$ の $2$ つの退化と $\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発については、不変量を完全に計算する。最後に解決した範囲と未解決の問題を分ける。

試験配位と Donaldson–Futaki 不変量

以下、基礎体は $\mathbb{C}$ とし、$X$ を $n$ 次元の Fano 多様体とする。$\mathbb{G}_m$ は $\mathbb{A}^1$ に掛け算で作用する。

$\mathbb{G}_m\to\mathrm{Aut}(X)$ の準同型があれば、$X\times\mathbb{A}^1$ に対角に作用させて積の試験配位が得られる。一般の試験配位は中心ファイバー $\mathcal{X}_0$ が $X$ と異なる。$\mathcal{X}_0$ は $\mathbb{G}_m$ の作用をもつ射影スキームで、特異であっても可約であってもよい。
$\mathbb{G}_m$ は $\mathcal{X}_0$ の上の $\mathcal{L}_0^{\otimes k}$ に作用し、$H^0(\mathcal{X}_0,\mathcal{L}_0^{\otimes k})$ への作用が $(t\cdot s)(x):=t\cdot s(t^{-1}\cdot x)$ で定まる。この表現の次元を $d_k$、重みの総和を $w_k$ とする。$k$ が十分大きいとき、これらは $k$ の $n$ 次と $n+1$ 次の多項式で与えられる。

$d_k=a_0k^n+a_1k^{n-1}+\cdots$、$w_k=b_0k^{n+1}+b_1k^n+\cdots$ と書けば、$\mathrm{Fut}=(a_1b_0-a_0b_1)/a_0^2$ である（Xu21 Definition 2.2）。$\mathcal{L}$ の線形化を指標で替えても $w_k/(kd_k)$ は定数だけずれるので $F_1$ は変わらない。$\mathcal{L}$ を $\mathcal{L}^{\otimes a}$ に替えても $F_1$ は変わらない。文献によって重みの符号と正の定数倍が異なる。たとえば CDS12 は $F_1$ を Futaki 不変量と呼ぶ。この記事の重みと $\mathrm{Fut}$ の符号は LX14 Example 3 と Definition 5 に合わせた。下の例が示すとおり、$\mathbb{P}^1$ の積でない退化で正になる。

半安定・安定・多重安定

ここで $r$ はすべての正の整数を動く。これは $X$ の反標準束の冪によるすべての射影埋め込みの退化を調べることにあたり、条件は無限個の不等式である（Xu21 Remark 2.4）。K安定 $\Rightarrow$ K多重安定 $\Rightarrow$ K半安定である。K半安定性を調べるには正規な試験配位だけで足りる（LX14 Remark 2）。

同じ説明が Xu21 Example 2.7 にある。積の試験配位の値は、Kähler–Einstein計量 の節「二木不変量」の微分幾何の不変量の定数倍である（LX14 Remark 1）。
prop-kstab-product により $\mathbb{P}^1$ は K安定でない（ex-kstab-p1-product はこの値 $0$ を直接計算したものである）。一方 $\mathbb{P}^1$ は K多重安定である（thm-kstab-ytd による）。Kähler–Einstein 計量の存在と比べるべき条件は K多重安定性である。
用語の注意：CDS12、Sze18、Don18 は上の 3 の意味で「K安定」という語を使う。また CDS12 の試験配位は中心ファイバーが対数的端末（log terminal）な正規多様体のものに限る。LX14 Corollary 1 により、Fano 多様体の安定性を調べるには、そのような試験配位（特殊試験配位）だけで足りる。

ex-kstab-conic の中心ファイバーは可約なので、特殊ではない。

幾何学的不変式論との対応

K安定性は Hilbert–Mumfordの判定法 の無限次元の類似として作られた。簡約群 $G$ が射影空間に作用するとき、点 $p$ の安定性は $1$ 径数部分群 $\lambda$ による極限 $\lim_{t\to0}\lambda(t)p$ での重みの符号で判定される。Sze18 §2–§3、Don18 §1.2–§1.3 に沿って対応を表にする。

最後の 2 行の根拠は、Kähler 計量のスカラー曲率が、複素構造の空間に作用する Hamilton 微分同相群の運動量写像になるという Fujiki と Donaldson の観察である（Sze18 §1、Don18 §1.2）。これはあくまで類比で、無限次元の群には複素化がない。

主定理

$2\Rightarrow1$ の仮定は文献の「K安定」の形で述べられている。CDS12 Definition 2 の K安定性は、特殊試験配位に限った K多重安定性にあたる。def-kstab-main の 3 はこれより強い仮定なので、上の形で定理が当てはまる。$1\Rightarrow2$ で $\mathcal{X}$ の正規性を仮定することは Ber16 の序文が明記している。
$\mathrm{Aut}^0(X)$ が自明の場合に、中心ファイバーが正規な試験配位についての $1\Rightarrow2$ は Tian による（Ber16 の序文）。CDS12 §2 に沿って $2\Rightarrow1$ の証明の筋を述べる。以下は筋であり、この記事では証明しない。

1. $D\in|-\lambda K_X|$ を非特異な因子とし、$D$ に沿って円錐角 $2\pi\beta$ の特異性をもつ Kähler–Einstein 計量の族を、$\beta$ を動かして考える。$\beta$ が小さいときは解がある。
2. $\beta_i\to\beta_\infty$ で解があるとき、Gromov–Hausdorff 極限 $Z$ をとる。$Z$ は対数的端末な正規射影多様体 $W$ に同相で、$X$ の埋め込みの極限である。
3. 極限の対 $(W,\Delta)$ が $(X,D)$ と同型なら、または $\beta_\infty=1$ で $W$ が $X$ と同型なら、$X$ の上に円錐角 $2\pi\beta_\infty$ の解がある。そのどちらでもなければ、$(W,\Delta)$ の自己同型群が簡約であることと、円錐角つきの Futaki 不変量の消滅を示す。すると Luna のスライス定理と Hilbert–Mumfordの判定法 により、$(W,\Delta)$ は $X$ の試験配位の中心ファイバーになり、安定性に矛盾する。
   別証が知られている。Datar–Székelyhidi は古典的な連続法で、Chen–Sun–Wang は Kähler–Ricci 流で、Berman–Boucksom–Jonsson は変分法で証明した（Sze18 §4、BBJ21 の序文。BBJ21 の主張は、正則ベクトル場をもたない場合を一様 K安定性で述べる）。

トーリックな場合

トーリック多様体 では積の試験配位の計算が多面体の計算になる。$X$ を非特異なトーリック Fano 曲面、$M\cong\mathbb{Z}^2$ を指標格子、$P\subset M_{\mathbb{R}}$ を $-K_X$ の多角形とする。$H^0(X,-kK_X)$ は $kP\cap M$ を基底にもつ。$\xi\in\mathrm{Hom}(M,\mathbb{Z})$ に対応する $\mathbb{G}_m\to\mathrm{Aut}(X)$ から積の試験配位が定まり、$m\in kP\cap M$ の重みは $\pm\langle m,\xi\rangle$ である（符号は $\xi$ によらない）。

$P$ の面積を $V$、$b:=\int_P\langle x,\xi\rangle\,dx$ とすると、上の例では $V=4$、$b=\frac23$ で、$F_0=b/V$、$F_1=b/(2V)$ である。これは偶然ではない。格子点の和を Euler–Maclaurin の公式で展開し、$P$ の各辺が原点から格子距離 $1$ にあることを使うと、同じ式が一般に得られる。つまり不変量は $P$ の重心の $\xi$ 方向の成分の半分である（以下ではこの一般の式を使わない）。Ber16 Corollary 1.2 により、反射的な格子多面体 $P$ のトーリック Fano 多様体が K多重安定であることと、$P$ の重心が原点であることは同値である。

表の多角形は、上の三角形の頂点 $(-1,-1)$、$(2,-1)$、$(-1,2)$ を順に切り落としたものである。切り落とす三角形は面積 $\frac12$ で、重心はそれぞれ $(-\frac23,-\frac23)$、$(\frac43,-\frac23)$、$(-\frac23,\frac43)$ である。三角形全体の重心は原点なので、残りの重心はここから計算できる。

付値による判定

試験配位のすべてを調べることは難しい。2010 年代の後半に、$X$ の上の素因子だけで判定できることが分かった。これが今日の計算の主な道具である。

$\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発で $u=(1,1)$ とすると、$\mathrm{bar}(P)=(\frac1{12},\frac1{12})$ から $\beta=-\frac16$ で、ex-kstab-beta の値と一致する。
重心が原点でないとき、$\langle\mathrm{bar}(P),u\rangle>0$ となる法線 $u$ がある。法線の全体は正の係数の 1 次結合で $0$ を与え、全空間を張るからである。したがって thm-kstab-valuative から、$X$ は K半安定でない。

反例：条件を外すと

特異点をもつ場合とモジュライ空間

K安定性の定義は、$-K_X$ が $\mathbb{Q}$-Cartier で豊富な正規多様体にも意味をもつ。K半安定なら $X$ は対数的端末である（Xu21 Theorem 2.9）。主定理も $\mathbb{Q}$-Fano 多様体へ拡張された。次の表の結果はこの記事では証明しない。

Kモジュライ空間とは、次元と体積を固定した K多重安定な $\mathbb{Q}$-Fano 多様体を分類する空間である。代数的な構成の全体の流れは LXZ22 Remark 1.5 にある。

未解決の問題

$X$ が Fano 多様体の場合の Yau–Tian–Donaldson 予想は解決した。しかし次の問題は別である。
一般の偏極多様体． $L$ を豊富な直線束とする。$c_1(L)$ の中にスカラー曲率が定数の Kähler 計量があることと $(X,L)$ の安定性の同値は、2017 年の時点で一般には未解決で、Don18 §2.1 はこれが近い将来に解決しそうにないと述べ、Sze18 §1 は安定性から計量の存在を導く向きを大きく開いた問題と呼ぶ。解決している場合としては、Fano 多様体のほかにトーリック曲面がある（Don18 §2.2）。さらに、この一般の設定では K安定性の定義自体を修正する必要があるかもしれない（Don18 §4.3）。
具体的な多様体の判定． 2020 年の概説 Xu21 Part 3 は、$\mathbb{P}^{n+1}$ の非特異な $d$ 次超曲面（$3\le d\le n$）はすべて K安定か、を問題として挙げている。同じ箇所によると、その時点で解決していたのは次元 $4$ 以下の場合と $d=n,n+1$ の場合などであり、Fermat 超曲面が計量をもつことから、一般の超曲面は K安定である。

関連項目

• 前提: Kähler–Einstein計量, Fano多様体, 平坦族
• 比較: 幾何学的不変式論, Hilbert–Mumfordの判定法, トーリック多様体
• 直後に読む: Calabi予想, スカラー曲率
• 発展: 宮岡–Yau不等式, Ricci流