閉区間

同義語：closed interval

概要

前提知識: 実数, 集合

両端を含む数の範囲

実数 $a\le b$ に対し、$a$ 以上 $b$ 以下の数をすべて集めた $[a,b]$ を閉区間（closed interval）という。角括弧は両端の $a,b$ を含むことを示す。たとえば $[1,3]$ には $1$ と $3$ が入り、$1.5$ や $\sqrt2$ も入るが、$0$ と $4$ は入らない。$a=b$ なら $[a,a]=\{a\}$ は一点だけの閉区間になる。
閉区間は単なる記号ではない。端点を含むという条件によって、近づく点列の極限が区間の外へ逃げず、長さも有限である。実数直線ではこれらがコンパクト性を与え、連続関数の最大値・最小値や二分法のような議論を支える。以下では実数の区間を扱い、順序集合一般の区間は区別する。記法と端点の扱いは EoMInterval にも記されている。

定義と端点

実数直線の閉区間

$a,b\in\mathbb R$、$a\le b$ とする。集合
$$ [a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\} $$
を、端点 $a,b$ を持つ閉区間という。$a=b$ の場合も含める。

$a< b$ のとき $a$ は最小元、$b$ は最大元である。したがって「端点に近づく」だけでなく、端点を実際に含む。これに対して $(a,b)=\{x:a< x< b\}$ は両端を含まない開区間であり、$[a,b)$ と $(a,b]$ は片方だけを含む半開区間である。$a>b$ の場合はここでの定義の仮定を満たさない。文献によって $[a,b]=\emptyset$ と約束することはあるが、この記事では $a\le b$ を明記して使う。

端点を入れるかどうか

$[0,1]$ と $(0,1)$ はどちらも $1/2$ を含む。しかし $0$ と $1$ は前者にだけ属する。$[0,1)$ には $0$ が入る一方、$1$ は入らない。点列 $x_n=1-1/n$（$n\ge1$）は各項が $[0,1)$ に入るが、極限 $1$ はこの半開区間に入らない。

無限大を端点と呼ぶことはしない。$[a,\infty)=\{x\in\mathbb R:x\ge a\}$ は $a$ を含む閉じた半直線だが、有界な閉区間ではない。記号 $\infty$ は実数でないので、$[a,\infty]$ と書いて無限大を元として加えることは、通常の実数直線ではできない。また $\mathbb R$ 自身も閉集合だが、有限な二つの端点を持つ閉区間ではない。

順序から見た性質

閉区間の二点を選ぶと、その間の数はすべて同じ閉区間に入る。この「間に穴がない」という性質を順序凸性という。実数上の区間を定義する別の仕方でもある。

間の点を含む

$u,v\in[a,b]$、$u\le t\le v$ なら $t\in[a,b]$。特に $0\le\lambda\le1$ なら
$$ (1-\lambda)u+\lambda v\in[a,b]. $$

不等式をつなぐ

$a\le u\le t\le v\le b$ なので $a\le t\le b$ である。また $u\le v$ のとき、$(1-\lambda)u+\lambda v=u+\lambda(v-u)$ は $u$ 以上 $v$ 以下である。$u,v$ の順序が逆なら役割を交換すればよい。従ってどちらの場合も結合した点は閉区間に入る。$\square$

逆に空でない有界集合 $I\subseteq\mathbb R$ が二点の間をすべて含み、さらに最小元 $a$ と最大元 $b$ を持つなら $I=[a,b]$ である。$I$ の各元は $a,b$ の間にあり、間を含む性質により $[a,b]$ の各元も $I$ に入るからである。最小元・最大元がない場合は開区間などもあり得る。「間の点を含む」ことだけでは閉区間とは決まらない。

二つの閉区間の共通部分

$a\le b$、$c\le d$ とする。$\max(a,c)\le\min(b,d)$ なら
$$ [a,b]\cap[c,d]=[\max(a,c),\min(b,d)]. $$
不等式が逆なら共通部分は空である。

二組の上下界をまとめる

$x$ が両方に入る条件は $a\le x\le b$ かつ $c\le x\le d$ である。これは $\max(a,c)\le x\le\min(b,d)$ と同値である。下限が上限を超えれば条件を満たす実数はない。$\square$

和集合は常に閉区間になるわけではない。$[0,1]\cup[2,3]$ は $1$ と $2$ の間に穴があるからである。一方、二つが重なるか端点で接するとき、和集合は両方を覆う最小の閉区間 $[\min(a,c),\max(b,d)]$ になる。有限個の閉区間でも、間に穴がないかどうかを確認する必要がある。

位相的な閉性と有界性

「閉区間」の「閉」は、実数直線の閉集合という性質と一致する。$a\le x\le b$ という両側の不等式が、区間の外側へ小さく動いた点を区別する。

閉区間は閉集合かつ有界

$a\le b$ なら $[a,b]$ は $\mathbb R$ の閉集合であり、有界である。

補集合を開集合として書く

補集合は
$$ \mathbb R\setminus[a,b]=(-\infty,a)\cup(b,\infty) $$
である。右辺の二つは開集合なので、その和集合は開集合である。従って $[a,b]$ は閉集合である。またすべての $x\in[a,b]$ について $|x|\le\max(|a|,|b|)$ だから有界である。$\square$

閉集合と有界集合は別の条件である。$[0,\infty)$ は閉だが有界でなく、$(0,1)$ は有界だが閉でない。実数直線上では、閉区間はこの二条件を同時に満たす特別な形である。ただし、閉かつ有界な集合が必ず閉区間になるわけではない。たとえば $\{0,2\}$ は閉かつ有界だが、間の $1$ を含まない。閉区間であるには「間の点をすべて含む」という性質も必要になる。

閉区間の内部と境界

$a< b$ とする。$\mathbb R$ の中での $[a,b]$ の内部は $(a,b)$、閉包は $[a,b]$、境界は $\{a,b\}$ である。$a=b$ なら内部は空集合、境界は $\{a\}$ となる。

端点の近くを調べる

$a< x< b$ なら $\varepsilon=\min(x-a,b-x)/2>0$ として $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq[a,b]$ だから $x$ は内点である。$a$ のどの開近傍にも $a$ より小さい点があり、$b$ のどの開近傍にも $b$ より大きい点があるので、端点は内点でない。外側の点は区間から正の距離だけ離れているため閉包に入らず、区間自体は閉集合だから閉包は $[a,b]$ である。境界は閉包から内部を除いたものなので、$a< b$ なら二端点だけになる。一点区間の場合も同じ近傍の議論で従う。$\square$

「閉区間は閉」という言葉は、どの空間の中で閉かを指定して読む。上の命題は $\mathbb R$ を周囲の空間とした結論である。$[a,b]$ 自身を一つの位相空間として見ると、全体集合 $[a,b]$ はその空間の中では開集合でも閉集合でもある。全体集合はどんな位相空間でも開かつ閉だからである。したがって「閉だから内部が空」と考えてはいけない。$a< b$ なら実数直線内での内部は $(a,b)$ と大きいが、端点だけが内部から外れる。

点列の極限は区間内に残る

すべての $n$ で $x_n\in[a,b]$ とし、実数列 $x_n$ が $x$ に収束するとする。このとき $x\in[a,b]$ である。

不等式の極限を取る

各 $n$ で $a\le x_n\le b$ である。もし $x< a$ なら $\varepsilon=(a-x)/2>0$ を取ると、十分大きな $n$ では $x_n< x+\varepsilon< a$ となり矛盾する。同様に $x>b$ も否定できる。従って $a\le x\le b$ である。$\square$

この命題は閉性の点列による判定の一例である。逆向きに「収束する区間内の点列の極限がすべて区間内に入る」という性質は、実数のような距離空間では閉集合を特徴づける。しかし別の位相空間では点列だけでは閉性を判定できない場合がある。この記事で使うのは実数直線に限った主張である。

コンパクト性と連続関数

実数直線で閉かつ有界な集合はコンパクトである。これは Heine–Borel の定理であり、閉区間 $[a,b]$ に適用できる。コンパクト性は、任意の開被覆から有限個を選んでなお全体を覆えることを意味する。閉区間の開被覆に有限部分被覆があるという性質は EoMMetric でも基本例として挙げられている。

閉区間のコンパクト性

$a\le b$ の閉区間 $[a,b]$ は、実数直線の通常の位相でコンパクトである。すなわち $[a,b]$ を覆う任意の開集合族から有限個を選んで、なお $[a,b]$ を覆える。

有限被覆が届く端点を広げる

$a=b$ なら $a$ を含む開集合を一つ選べばよい。$a< b$ とし、開集合族 $\mathcal U$ が $[a,b]$ を覆うとする。$[a,x]$ を $\mathcal U$ の有限個で覆える $x\in[a,b]$ の集合を $E$ と置く。$a$ を含む開集合があるので $a\in E$ で、$E$ は空でない。$c=\sup E$ とする。
$c$ を含む $U\in\mathcal U$ を選ぶ。$U$ は開いているから、ある $\delta>0$ について $(c-\delta,c+\delta)\subseteq U$ である。上限の定義から $x\in E$ を $c-\delta< x\le c$ に取れる。$[a,x]$ の有限被覆に $U$ を足すと $[a,\min(b,c+\delta/2)]$ を覆える。もし $c< b$ ならこの右端は $c$ より大きく、$c$ が上限であることに矛盾する。よって $c=b$ である。同じ議論で $[a,b]$ 自体も有限個で覆える。$\square$

この証明で必要なのは実数の上限性質である。有理数だけの区間 $\{q\in\mathbb Q:0\le q\le2\}$ に同じ議論を移すと、有理数列が $\sqrt2$ に近づくときの欠けた極限が問題になる。見かけが「両端を含む」だけではコンパクト性は保証されず、背後の数の体系の完備性が効いている。

連続関数は最大値と最小値を取る

$f:[a,b]\to\mathbb R$ が連続なら、ある $u,v\in[a,b]$ が存在して
$$ f(u)\le f(x)\le f(v)\qquad(x\in[a,b]) $$
が成り立つ。

これは閉区間がコンパクトであり、連続写像の像がコンパクト、実数の空でないコンパクト集合が最大元・最小元を持つことから従う。極値定理の教科書での記述も OpenStaxEVT にある。$f(x)=x$ を $(0,1)$ に制限すると上限 $1$ と下限 $0$ はあるが、その値を取る点は定義域にない。端点を含める条件を落とすと結論が崩れることが分かる。
閉区間上の連続関数は一様連続でもある。ただし、任意の関数に対して最大値や一様連続性が保証されるわけではない。たとえば $[0,1]$ 上で $f(0)=0$、$f(x)=1/x$（$x>0$）と定めると、区間は閉じていても関数が $0$ で連続でないため上に有界でない。定理の仮定には区間の性質と関数の連続性の両方が要る。

縮小する閉区間と二分法

閉区間を順に狭めると、端点の極限を共通点として残せる。この性質は実数の完備性を別の形で表す。

縮小閉区間の共通点

$I_n=[a_n,b_n]$ を空でない閉区間とし、$I_{n+1}\subseteq I_n$ がすべての $n$ で成り立つとする。このとき $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\ne\emptyset$ である。さらに $b_n-a_n\to0$ なら、共通部分は一点だけである。

左端の上限を使う

包含関係から $a_n$ は単調非減少、$b_n$ は単調非増加で、どの $a_n$ も $b_1$ 以下である。そこで $c=\sup_n a_n$ を取る。任意の $m,n$ について $a_n\le b_m$ が成り立つ。実際、$n\le m$ なら $a_n\le a_m\le b_m$、$n>m$ なら $a_n\le b_n\le b_m$ である。よって $c\le b_m$ がすべての $m$ で成り立ち、同時に $a_m\le c$ だから $c\in I_m$ である。
もし $x,y$ が共通部分に入るなら、どの $n$ についても $|x-y|\le b_n-a_n$ である。長さが $0$ に近づけば $|x-y|=0$、すなわち $x=y$ となる。$\square$

長さが $0$ に近づく条件は、存在ではなく一意性のために使った。たとえば $I_n=[0,1]$ をすべての $n$ で選べば、共通部分は $[0,1]$ 全体である。一方、$I_n=[0,1/n]$ なら共通部分は $\{0\}$ だけになる。開区間に置き換えると、$(0,1/n)$ の共通部分は空である。端点を残すことが結論に関わる。

二分法の区間

$x^2=2$ の正の解を探す。$[1,2]$ では $1^2<2<2^2$ である。中点 $3/2$ の平方は $2$ より大きいので $[1,3/2]$ に狭める。次の中点 $5/4$ の平方は $2$ より小さいので $[5/4,3/2]$ に狭める。毎回、平方が $2$ 以下の左端と $2$ 以上の右端を残せば、長さは半分ずつになり、縮小閉区間の定理により共通点は一つだけになる。連続性からその点の平方は $2$ である。

二分法では途中の端点そのものが解になる場合もある。閉区間にしておけば、その端点を捨てずに記録できる。これは Newton 法のように一点を更新する方法と異なり、各段階で「解がこの範囲にある」という保証を保持する方法である。

長さと座標の変換

$a\le b$ の閉区間の長さは $b-a$ である。一点だけの $[a,a]$ の長さは $0$ となる。中点は $(a+b)/2$ で、左端と右端からの距離はともに $(b-a)/2$ である。区間を $[0,1]$ に移すときは、$a< b$ なら
$$ t=\frac{x-a}{b-a},\qquad x=a+(b-a)t $$
と置く。$x\in[a,b]$ と $t\in[0,1]$ は同値である。$a=b$ では分母が零になるため、この変数変換を使わない。

閉区間のアフィン像

$a\le b$、$c,d\in\mathbb R$ とし、$F(x)=cx+d$ とする。$c\ge0$ なら $F([a,b])=[ca+d,cb+d]$、$c<0$ なら $F([a,b])=[cb+d,ca+d]$ である。

順序の向きで場合分けする

$c>0$ なら $a\le x\le b$ に $c$ を掛け $d$ を足すと $ca+d\le F(x)\le cb+d$ となり、逆にこの間の値は $x=(y-d)/c\in[a,b]$ から得られる。$c<0$ なら不等号が逆向きになり、同じ逆算で像全体が分かる。$c=0$ なら像は一点 $\{d\}=[d,d]$ で、最初の式に一致する。$\square$

この命題は一次関数の像についての主張である。一般の連続関数の閉区間の像も実数の閉区間になるが、端点の値 $f(a),f(b)$ が必ず像の両端になるとは限らない。$f(x)=x^2$ を $[-1,2]$ で考えると、像は $[0,4]$ であり、最小値は区間の内部 $x=0$ で取る。連続関数の像が区間になることには中間値の定理、端点を含むことには極値定理が働く。

区間という語の広がり

実数直線の部分集合としての閉区間を、位相空間一般の「閉集合」と混同しない。位相空間には順序や端点がないことが多く、「閉区間」という語は定義されない。一方、順序集合では $a\le x\le b$ を満たす元の集合として区間を定義できる。しかし実数上で成り立った長さ・中間値・コンパクト性が、そのまま任意の順序集合に移るわけではない。
また「有界閉区間」とわざわざ言う場合がある。実数上で $[a,b]$ と書く限り有界性は定義から従うが、$[a,\infty)$ のような半直線も広い意味で「閉区間」と呼ぶ流儀があるため、コンパクト性を使う際には有限な両端を明示しておくと誤解がない。この記事では最初の定義どおり、二つの実数 $a\le b$ を端点に持つ $[a,b]$ を閉区間と呼ぶ。

条件を外したときの反例

閉区間のコンパクト性・極値定理・縮小閉区間の定理は、「両端を含む」「有界」「実数の完備性」「関数の連続性」のどれを外しても成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
端点を含む	$(0,1)$ とその開被覆 $\{(1/n,1)\}_{n\ge2}$	有限部分被覆がある（コンパクト性）
有界	$[0,\infty)$ とその開被覆 $\{(-1,n)\}_{n\ge1}$	有限部分被覆がある（コンパクト性）
端点を含む	$(0,1)$ 上の $f(x)=x$	連続関数が最大値・最小値を取る
関数の連続性	$[0,1]$ 上の $f(0)=0$、$f(x)=1/x$（$x>0$）	最大値を取る（上に有界ですらない）
端点を含む	$(0,1/n)$ の列	縮小する区間の共通部分が空でない
有界	閉集合 $[n,\infty)$ の列	縮小する閉集合の共通部分が空でない
実数の完備性	$\mathbb Q$ の中の区間 $\{q\in\mathbb Q:a_n\le q\le b_n\}$、$a_n,b_n$ は $\sqrt2$ の小数近似	縮小する区間の共通部分が空でない

表の反例の確かめ

$(0,1)$ の被覆。 各 $x\in(0,1)$ には $1/n< x$ となる $n$ があるので、$\{(1/n,1)\}$ は $(0,1)$ を覆う。有限個 $(1/n_1,1),\ldots,(1/n_k,1)$ を選ぶと、$N=\max n_j$ として和集合は $(1/N,1)$ であり、点 $1/(2N)\in(0,1)$ を含まない。
$[0,\infty)$ の被覆。 各 $x\ge0$ は $x< n$ となる $n$ で $(-1,n)$ に入る。有限個の和集合は $(-1,N)$ で、点 $N$ を含まない。
縮小する区間の列。 $x\in\bigcap_n(0,1/n)$ なら $0< x< 1/n$ が全ての $n$ で成り立ち、アルキメデス性に反する。$x\in\bigcap_n[n,\infty)$ なら $x\ge n$ が全ての $n$ で成り立ち、同じく矛盾する。どちらも各項は空でなく、列は縮小している。前者は端点を、後者は有界性を欠く。
有理数の区間。 $a_n$ を $\sqrt2$ の小数第 $n$ 位までの切り捨て、$b_n=a_n+10^{-n}$ とする（$a_1=1.4$、$b_1=1.5$ など）。$a_n< \sqrt2< b_n$ で、$a_n$ は非減少、$b_n$ は非増加だから、$J_n=\{q\in\mathbb Q:a_n\le q\le b_n\}$ は縮小し、各 $J_n$ は $a_n$ を含み空でない。$q\in\bigcap J_n$ なら $|q-\sqrt2|\le b_n-a_n=10^{-n}$ が全ての $n$ で成り立ち $q=\sqrt2$ となるが、$\sqrt2$ は有理数でない。従って共通部分は空である。縮小閉区間の定理の証明で使った上限 $\sup a_n$ が $\mathbb Q$ の中に存在しないことが、この反例の原因である。