Poitou–Tate双対

Galoisコホモロジー の定理「一般論の基本事項」の 1 により、$\xi$ は、$K_S$ に含まれる $K$ の有限次 Galois 拡大 $L$ について、$H^r(\operatorname{Gal}(L/K),M^{\operatorname{Gal}(K_S/L)})$ の元 $\xi'$ のインフレーションである。$L$ を大きくとって $\operatorname{Gal}(K_S/L)$ が $M$ に自明に作用するとしてよい。$L$ で分岐する素点は有限個である。$v$ が $L$ で分岐しない非アルキメデス的な素点なら、$G_v\to\operatorname{Gal}(L/K)$ は $I_v$ を自明に移すので $G_v/I_v$ を経由し、$M$ も $v$ で不分岐である。局所化はコホモロジーの関手性と可換なので、$\xi$ の $H^r(K_v,M)$ での像は $H^r(G_v/I_v,M)$ の元の像であり、$H^r_{\mathrm{un}}(K_v,M)$ に属する。$\square$

作用が自明なので、$H^1(G_S,\mathbb Z/m\mathbb Z)$ は連続準同型 $\chi\colon G_S\to\mathbb Z/m\mathbb Z$ の群であり、$H^1(K_v,\mathbb Z/m\mathbb Z)$ は $G_v$ からの連続準同型の群で、局所化は $G_v\to G_S$ との合成である（アルキメデス的な $v$ でも 1 次の Tate コホモロジーは通常のものと同じである）。$\chi\in Ш^1_S(K,\mathbb Z/m\mathbb Z)$ とし、$L$ を $\operatorname{Ker}\chi$ の固定体、$d:=[L:K]=|\operatorname{Im}\chi|$ とする。$L/K$ は $K_S$ に含まれる巡回拡大である。
$v\in S$ が非アルキメデス的なら、$\chi$ の $G_v$ への制限が $0$ なので、$G_v$ の $\operatorname{Gal}(L/K)$ での像、すなわち $v$ の上の $L$ の素イデアルの分解群は自明である。よって $v$ は $L$ で完全分解する。したがって $S$ の非アルキメデス的な素点の集合は $\operatorname{Spl}(L/K)$ に含まれる。Dirichlet 密度の定義の和は部分集合で小さくなるので、Chebotarevの密度定理 の命題「完全分解する素イデアルの密度」により
$$ \frac12< d\bigl(S\text{ の非アルキメデス的な素点}\bigr)\le d\bigl(\operatorname{Spl}(L/K)\bigr)=\frac1d $$
であり、$d=1$ である。よって $\chi=0$ である。$\square$

$M=\mu_n$ とすると $M^D=\mathbb Z/n\mathbb Z$（自明な作用）である。Galoisコホモロジー の命題「1の $n$ 乗根の係数のコホモロジー」により $H^2(K,\mu_n)=\operatorname{Br}(K)[n]$、同様に非アルキメデス的な $v$ で $H^2(K_v,\mu_n)=\operatorname{Br}(K_v)[n]$ であり、アルキメデス的な $v$ でも 2 次の Tate コホモロジーは通常のものと同じなので同様である。$M$ が有限なので、$M$ が不分岐な $v$ では $H^2_{\mathrm{un}}(K_v,M)=0$ となり、$P^2_S(K,\mu_n)=\bigoplus_vH^2(K_v,\mu_n)$ である（Mil06 Chapter I, §4, p. 55。この記事では証明しない）。
thm-pt-main の 2 の末尾は $H^2(K,\mu_n)\xrightarrow{\beta^2}\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)[n]\xrightarrow{\gamma^2}H^0(K,\mathbb Z/n\mathbb Z)^\vee\to0$ である。$\operatorname{Ker}\beta^2=Ш^2(K,\mu_n)$ は、thm-pt-main の 1 により $Ш^1(K,\mathbb Z/n\mathbb Z)$ の双対であり、prop-pt-sha-vanishing（すべての素点の集合の密度は $1$）により $0$ である。よって $\beta^2$ は単射である。$H^0(K,\mathbb Z/n\mathbb Z)=\mathbb Z/n\mathbb Z$ は $1$ で生成され、$\gamma^2$ の定義から $\gamma^2((x_v))(1)=\sum_v\mathrm{inv}_v(x_v\cup1)=\sum_v\mathrm{inv}_v(x_v)$ である。準同型 $\mathbb Z/n\mathbb Z\to\mathbb Q/\mathbb Z$ を $1$ での値で表せば、$H^0(K,\mathbb Z/n\mathbb Z)^\vee=\frac1n\mathbb Z/\mathbb Z$ で、$\gamma^2$ は $\sum_v\mathrm{inv}_v$ になる。最後の主張は単射性の言い換えである（Brauer群）。$\square$

要点：$H^1(G_S,\mu_2)$ の元は、$S$ の外で不分岐な 2 次体に対応し、そのような 2 次体は $\mathbb Q(\sqrt d)$（$d=-1,\pm2$）に限る。

局所の対の同定。 $M=M^D=\mu_2$（$\mu_2\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ と同一視）について、局所の対 $H^1(K_v,\mu_2)\times H^1(K_v,\mathbb Z/2\mathbb Z)\to\operatorname{Br}(K_v)[2]\xrightarrow{\mathrm{inv}_v}\frac12\mathbb Z/\mathbb Z$ を Kummer 同型で $K_v^\times/(K_v^\times)^2$ の上の対とみると、$(a,b)$ の値は、$b$ が $K_v(\sqrt a)$ からのノルムであるときに限って $0$ になる（Ser79 Chapter XIV, §2, Proposition 4 の iii と Proposition 5, pp. 206–207）。ノルム剰余記号 の 2 次の Hilbert 記号も同じ条件で $1$ になり（同記事の命題「Hilbert記号の基本性質」の (iii) と交代性 (v)。$n=2$ では値が $\pm1$ なので対称である）、値は 2 通りしかないので、乗法的に書けば局所の対は Hilbert 記号 $(a,b)_v$ に一致する。$\mathbb R$ でも Serre の判定はそのまま使え（同書 §2 は一般の体を扱う）、$\mathbb C$ からのノルムは正の実数なので、対の値が $0$ でないのは $a,b<0$ のときに限る。これは $(a,b)_\infty=-1$ となる条件と同じなので、$\mathbb R$ でも局所の対は Hilbert 記号に一致する。よって $\gamma^1((x_v))(y)=0$ は $(x_2,y)_2(x_\infty,y)_\infty=1$ と同じであり、rem-pt-reading の通り $\operatorname{Ker}\gamma^1=W^\perp$（$W$ の、この対の和についての直交補空間）である。
$W\subset W^\perp$。 $a,b\in\{-1,2\}$ について、奇素数 $p$ では $a,b$ が $p$ 進単数なので $(a,b)_p=1$ であり（ノルム剰余記号 の系「$p$ 進数体の 2 次のHilbert記号（$p$ は奇素数）」）、ノルム剰余記号 の定理「Hilbertの積公式（有理数体）」により $(a,b)_2(a,b)_\infty=\prod_v(a,b)_v=1$ である。Hilbert 記号は各変数について乗法的なので、$W$ の任意の 2 元の対の和は $0$ であり、$W\subset W^\perp$ である。
位数。 $\mathbb Q_2$ の 2 次の Hilbert 記号は非退化であり（ノルム剰余記号 の命題「Hilbert記号の基本性質」の (vi)）、$\mathbb R$ では $(-1,-1)_\infty=-1$ なので非退化である。よって $P:=P^1_S(\mathbb Q,\mu_2)$ の上の対は非退化で、$P\to P^\vee$ は位数 $16$ の有限群の同型である。$W^\perp$ はこの同型で $(P/W)^\vee$ に対応するので、$|W^\perp|=|P|/|W|=16/4=4$ である（prop-pt-example-h1）。$W\subset W^\perp$ で位数が等しいので $W=W^\perp$、すなわち $\operatorname{Im}\beta^1=\operatorname{Ker}\gamma^1$ である。$\square$