カンドルコホモロジー

両辺とも $x_i,x_j$ を取り除き、$k>j$ の成分はそのままにする。$i< k< j$ の成分は、両辺とも $\lambda=1$ のときだけ $x_k\ast x_j$ になる（左辺では先に $d_j^\lambda$ が作用し、右辺では $d_i^\kappa$ の後も $x_j$ は $j-1$ 番目に残っている）。$k< i$ の成分は、$\kappa=\lambda=1$ のとき左辺で $(x_k\ast x_j)\ast (x_i\ast x_j)$、右辺で $(x_k\ast x_i)\ast x_j$ になり、自己分配律で等しい。$\kappa=1,\lambda=0$ なら両辺とも $x_k\ast x_i$、$\kappa=0,\lambda=1$ なら両辺とも $x_k\ast x_j$、$\kappa=\lambda=0$ なら $x_k$ である。$\square$

$n\ge3$ とする。$\partial_{n-1}\partial_n=\sum_{i,j}\sum_{\kappa,\lambda}(-1)^{i+j+\kappa+\lambda}d_i^\kappa d_j^\lambda$ である（$1\le i\le n-1$、$1\le j\le n$）。$i< j$ の項 $(i,j,\kappa,\lambda)$ を $(i',j',\kappa',\lambda'):=(j-1,i,\lambda,\kappa)$ に対応させると、$i'\ge j'$ となり、これは $i\ge j$ の項全体への全単射である（逆は $(i',j')\mapsto(j',i'+1)$）。lem-qcoh-cubical により対応する 2 項の写像は等しく、符号は $(-1)^{i+j}$ と $(-1)^{i+j-1}$ で逆なので、すべて打ち消し合う。$\square$

$x_k=x_{k+1}$ とする。$i\notin\{k,k+1\}$ なら、$d_i^\kappa$ の像でも $k,k+1$ 番目から来た 2 つの成分は等しい（両方がそのままか、両方が同じ $x_i$ で作用される）。$i=k,k+1$ については、$d_k^0$ と $d_{k+1}^0$ の像は同じ組である。$d_{k+1}^1$ は $x_k$ に $x_{k+1}=x_k$ で作用させて $x_k\ast x_k=x_k$ を残し、それより前の成分には $d_k^1$ と同じく $x_k$ で作用するので、$d_k^1$ と同じ組を与える。符号 $(-1)^k$ と $(-1)^{k+1}$ でこれらは打ち消し合う。$\square$

$\psi$ がコサイクルであることは、すべての $x,y$ で $\psi(x\ast y)=\psi(x)$、すなわち $\psi\circ S_y=\psi$ であることと同値で、このとき $\psi\circ S_y^{-1}=\psi$ でもある。よってコサイクルは軌道の上で一定な関数で、$B^1=0$ なので $H^1_Q=Z^1_Q$ である。$\square$

$R_3$ では $x\ne y$ なら $x\ast y=y\ast x$ は第 3 の元である。$(x,y,z)$ を $\{0,1,2\}$ の並べ替えとしてコサイクル条件に入れると、$x\ast z=y$、$y\ast z=x$、$x\ast y=z$ なので
$$ \phi(x,z)+\phi(y,x)=\phi(x,y) $$
を得る。$a:=\phi(0,1)$、$b:=\phi(0,2)$ と置くと、並べ替え $(0,1,2)$、$(0,2,1)$、$(1,0,2)$、$(1,2,0)$ の式から順に
$$ \phi(1,0)=a-b,\quad\phi(2,0)=b-a,\quad\phi(1,2)=-b,\quad\phi(2,1)=-a $$
が出る（たとえば $(1,0,2)$ の式は $\phi(1,2)+\phi(0,1)=\phi(1,0)$）。一方 $\psi(0):=0$、$\psi(1):=-b$、$\psi(2):=-a$ とすると、$\delta\psi(x,y)=\psi(x)-\psi(x\ast y)$ は
$$ \delta\psi(0,1)=\psi(0)-\psi(2)=a,\quad\delta\psi(0,2)=\psi(0)-\psi(1)=b, $$
$$ \delta\psi(1,0)=\psi(1)-\psi(2)=a-b,\quad\delta\psi(1,2)=\psi(1)-\psi(0)=-b, $$
$$ \delta\psi(2,0)=\psi(2)-\psi(1)=b-a,\quad\delta\psi(2,1)=\psi(2)-\psi(0)=-a $$
で、対角では $0$ である。よって $\phi=\delta\psi$ で、すべての 2 次コサイクルはコバウンダリである。$\square$

ラック の定理「移動と彩色」により、彩色は移動の前後で円板の外の色を保って 1 対 1 に対応する。円板の外の交差の重みは変わらないので、対応する彩色について円板の中の重みの和が等しいことを示せばよい。
I 型。 カンドルでは、よじれの交差の上の弧と 2 本の下の弧はどれも同じ色 $a$ である（ラック の定理「移動と彩色」の 2 で $\pi=\mathrm{id}$）。重みは $\pm\phi(a,a)=0$ である。
II 型。 2 つの交差で上の弧は同じ（色 $c$）で、右の弧の色も同じである（両端の弧が右側なら両方とも $a=a'$、中央の弧が右側なら両方ともその弧）。下の線は上の線を一度は右から左へ、一度は左から右へ横切るので符号は逆で、重みは打ち消し合う。
III 型。 ラック の証明「III 型」の記号 $T,M,B$、$z$、$y_{\mathrm R}=y$、$y_{\mathrm L}=y\ast z$、正方形の彩色 $\beta$ を使い、$s(\mathrm R):=1$、$s(\mathrm L):=-1$ とする。$B$ の中央の弧の象限を $(\sigma,\tau)$ とすると、$B\cap M$ での右の弧は象限 $(\mathrm R,\tau)$ に、$B\cap T$ での右の弧は象限 $(\sigma,\mathrm R)$ にある。そこで
$$ w_M(\tau):=\phi\bigl(\beta(\mathrm R,\tau),y_\tau\bigr),\qquad w_T(\sigma):=\phi\bigl(\beta(\sigma,\mathrm R),z\bigr) $$
と置くと、この 2 つの交差の重みは $\varepsilon_p w_M(\tau)$ と $\varepsilon_q w_T(\sigma)$ である（$\varepsilon_p,\varepsilon_q$ はそれぞれの符号）。$M\cap T$ の交差の重み $\pm\phi(y,z)$ は移動で変わらない。$x:=\beta(\mathrm R,\mathrm R)$ とするとコサイクル条件
$$ \phi(x,y)+\phi(x\ast y,z)=\phi(x,z)+\phi(x\ast z,y\ast z) $$
は $w_M(\mathrm R)+w_T(\mathrm L)=w_T(\mathrm R)+w_M(\mathrm L)$ と同じなので、$\Delta:=w_M(\mathrm R)-w_M(\mathrm L)=w_T(\mathrm R)-w_T(\mathrm L)$ と置ける。
移動で中央の象限は $(\bar\sigma,\bar\tau)$（両方とも反対側）に替わり、各線の向きは変わらないので符号 $\varepsilon_p,\varepsilon_q$ も変わらない。重みの和の変化は
$$ \varepsilon_p\bigl(w_M(\tau)-w_M(\bar\tau)\bigr)+\varepsilon_q\bigl(w_T(\sigma)-w_T(\bar\sigma)\bigr)=\Delta\bigl(\varepsilon_p s(\tau)+\varepsilon_q s(\sigma)\bigr) $$
である。$B$ が象限 $(\bar\sigma,\tau)$ から中央 $(\sigma,\tau)$ を通って $(\sigma,\bar\tau)$ へ進むとすると、$M$ を $\bar\sigma$ 側から $\sigma$ 側へ横切るので $\varepsilon_p=-s(\sigma)$、$T$ を $\tau$ 側から $\bar\tau$ 側へ横切るので $\varepsilon_q=s(\tau)$ である（逆向きに進むなら両方の符号が変わる）。よって $\varepsilon_ps(\tau)+\varepsilon_qs(\sigma)=0$ で、変化は $0$ である。$\square$

彩色 $c$ を固定する。$\delta\psi$ の重みは $\varepsilon_\tau\bigl(\psi(c(\text{右}))-\psi(c(\text{左}))\bigr)$ である。$\varepsilon_\tau=1$ なら下の線は右の弧から入って左の弧へ出るので、これは $\psi(c(\text{入る弧}))-\psi(c(\text{出る弧}))$ に等しい。$\varepsilon_\tau=-1$ でも左右が入れ替わって同じ式になる。各弧は（下をくぐる交差をもつ成分では）ちょうど 1 つの交差から出てちょうど 1 つの交差へ入るので、交差についての和は打ち消し合って $0$ になる。下をくぐらない成分は寄与しない。$\square$

$T_2$ では条件は $c(\text{左})=c(\text{右})$ なので、彩色は各成分を 1 色で塗るもので、4 つある。重みが $0$ でない交差は、右の弧（下の成分）の色が $1$、上の弧の色が $2$ のものだけである。$K_1$ を $1$、$K_2$ を $2$ で塗った彩色では、それは $K_2$ が $K_1$ の上を通る交差で、符号の和は 絡み数 の定理「交差の符号による公式」により $\operatorname{lk}(K_1,K_2)$ である。$K_1$ を $2$、$K_2$ を $1$ で塗った彩色では、それは $K_1$ が $K_2$ の上を通る交差で、符号の和は同じ定理によりやはり $\operatorname{lk}(K_1,K_2)$ である。両成分を同じ色で塗った 2 つの彩色では重みはすべて $0$ である。$\square$