Jamesの定理(反射性)

同義語：James's reflexivity theorem

概要

前提知識: 反射的Banach空間, Hahn–Banachの定理, 連続双対空間

Jamesの定理(反射性)（James's reflexivity theorem）とは、Banach 空間 $X$ が反射的であるための必要十分条件は、すべての連続線形汎関数 $f$ が閉単位球の上でノルムを達成すること、すなわち $\|x\|\le1$ かつ $|f(x)|=\|f\|$ となる $x\in X$ があることである、という定理である。R. C. James による。ホモトピー論の James簡約積に現れる同名の定理とは別のものである。
汎関数のノルム $\|f\|=\sup_{\|x\|\le1}|f(x)|$ は上限として定義されるので、一般にはこの上限は最大値にならない。James の定理は、この上限がすべての $f$ で最大値になるかどうかという、汎関数ごとの具体的な条件だけで反射性が決まることを述べる。反射的なら上限が達成されるという向きは、Hahn–Banach の定理から数行で従う。逆向きは深い結果で、この記事では証明せず、主張の意味と、証明の筋と、記事の中で完全に確かめられる例を述べる。実際の使い方では、反射的でないことを示すには、ノルムを達成しない汎関数を 1 つ見つければよい（ex-jt-c0、ex-jt-l1、ex-jt-c01）。

定義

以下、係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、$X$ を $\mathbb K$ 上のノルム空間、$B_X=\{x\in X:\|x\|\le1\}$ をその閉単位球とする。$X^*$ は $X$ 上の連続線形汎関数の全体に双対ノルム $\|f\|=\sup_{x\in B_X}|f(x)|$ を入れたノルム空間、$X^{**}=(X^*)^*$ は二重双対である。

ノルムを達成する汎関数

$f\in X^*$ がノルムを達成するとは、$\|x\|\le1$ かつ $|f(x)|=\|f\|$ となる $x\in X$ が存在することをいう。

評価写像と反射性

$x\in X$ に対し $J(x)\in X^{**}$ を $J(x)(f)=f(x)$（$f\in X^*$）で定める。$J\colon X\to X^{**}$ が全射であるとき、$X$ は反射的であるという。

$J$ は線形で、$\|J(x)\|=\|x\|$ を満たす（連続双対空間の定理「評価写像は等長埋め込み」）。反射的なノルム空間は完備である（反射的Banach空間の定義の直後の段落）。
ノルムの達成にはいくつかの言い換えがある。実の場合の 3 は「$f$ が $B_X$ の上で最大値をとる」ということである。

ノルムの達成の言い換え

$f\in X^*$ について $\sup_{x\in B_X}\operatorname{Re}f(x)=\|f\|$ である。さらに $f\ne0$ なら次は同値である。

$f$ はノルムを達成する。
$\|x\|=1$ かつ $f(x)=\|f\|$ となる $x\in X$ がある。
実数値関数 $x\mapsto\operatorname{Re}f(x)$ は $B_X$ の上で最大値をとる。

$\operatorname{Re}f(x)\le|f(x)|$ なので $\sup_{B_X}\operatorname{Re}f\le\|f\|$ である。逆に $x\in B_X$ に対し、$|\lambda|=1$ のスカラー $\lambda$ を $\lambda f(x)=|f(x)|$ となるようにとると、$\lambda x\in B_X$ で $\operatorname{Re}f(\lambda x)=|f(x)|$ である。$x$ について上限をとって $\sup_{B_X}\operatorname{Re}f\ge\|f\|$ を得る。
1 ⇒ 2：$\|x\|\le1$、$|f(x)|=\|f\|>0$ とする。$\|f\|=|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|$ から $\|x\|\ge1$、したがって $\|x\|=1$ である。上のように $\lambda$ をとると、$\|\lambda x\|=1$、$f(\lambda x)=|f(x)|=\|f\|$ である。
2 ⇒ 3：$\operatorname{Re}f(x)=\|f\|=\sup_{B_X}\operatorname{Re}f$ なので、$x$ で最大値をとる。
3 ⇒ 1：最大値は上限 $\|f\|$ に等しいので、ある $x\in B_X$ で $\operatorname{Re}f(x)=\|f\|$ であり、$\|f\|=\operatorname{Re}f(x)\le|f(x)|\le\|f\|$ から $|f(x)|=\|f\|$ である。$\square$

$f=0$ はつねにノルムを達成する（$x=0$）。$f\ne0$ なら、ノルムを達成する点は単位球面 $\|x\|=1$ の上にある。

定理の主張

Jamesの定理

$X$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間とする。$X$ が反射的であるための必要十分条件は、すべての $f\in X^*$ がノルムを達成することである。

実 Banach 空間についての主張は Bre11 Remark 3（p. 4）にある。複素 Banach 空間の場合は、下の prop-jt-complex で実の場合に帰着する。必要性（反射的ならノルムを達成する）を次に証明する。十分性（すべての汎関数がノルムを達成すれば反射的）はこの記事では証明しない。その筋を節「十分性の証明の筋」で述べる。

（必要性）$X$ を反射的とし、$f\in X^*$ とする。$f=0$ なら $x=0$ でよい。$f\ne0$ とする。連続双対空間の定理「点でノルムを実現する汎関数」をノルム空間 $X^*$ とその点 $f$ に使うと、$\|\xi\|=1$ かつ $\xi(f)=\|f\|$ となる $\xi\in X^{**}$ がある（この定理は Hahn–Banach の定理による）。$X$ は反射的なので $\xi=J(x)$ となる $x\in X$ があり、$\|x\|=\|J(x)\|=1$、$f(x)=J(x)(f)=\xi(f)=\|f\|$ である。よって $f$ はノルムを達成する。$\square$

この必要性は反射的Banach空間の命題「反射的なら汎関数はノルムを達成する」と同じ主張である。対偶をとると、ノルムを達成しない汎関数が 1 つでもあれば、$X$ は反射的でない。次節の例はこの形で使う。

例：ノルムを達成する汎関数と達成しない汎関数

数列空間の双対は ℓp空間の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」で具体的に分かっている。数列 $u$ に対し $\varphi_u(x)=\sum_ku_kx_k$ とおくと、$1\le p< \infty$、$1/p+1/p'=1$ のとき $u\mapsto\varphi_u$ は $\ell^{p'}$ から $(\ell^p)^*$ への全射な線形等長写像であり、$\ell^1$ から $(c_0)^*$ への全射な線形等長写像でもある。複素数 $z$ について $\operatorname{sgn}z=z/|z|$（$z\ne0$）、$\operatorname{sgn}0=0$ とおく。$\overline{\operatorname{sgn}z}\,z=|z|$ である。

$\ell^p$ 空間（$1< p< \infty$）

$f\in(\ell^p)^*$、$f\ne0$ とし、$f=\varphi_b$（$b\in\ell^{p'}$）と書く。
$$ x_k=\frac{\overline{\operatorname{sgn}b_k}\,|b_k|^{p'-1}}{\|b\|_{p'}^{p'-1}} $$
とおく。$(p'-1)p=p'$ なので $|x_k|^p=|b_k|^{p'}/\|b\|_{p'}^{p'}$ であり、$\|x\|_p=1$ である。また
$$ f(x)=\sum_kb_kx_k=\frac{\sum_k|b_k|^{p'}}{\|b\|_{p'}^{p'-1}}=\|b\|_{p'}=\|f\| $$
である。よってすべての $f\in(\ell^p)^*$ がノルムを達成する。これは $\ell^p$ が反射的であること（Milman–Pettisの定理の例「$L^p$ 空間と $\ell^p$ 空間」）と合っている。

$c_0$

$f\in(c_0)^*$ を $f=\varphi_a$（$a\in\ell^1$）と書く。$f$ がノルムを達成するのは、$a$ の $0$ でない項が有限個のときに限る。
実際、$0$ でない項が有限個なら、$x_k=\overline{\operatorname{sgn}a_k}$ とおくと $x\in c_0$、$\|x\|_\infty\le1$、$f(x)=\sum_k|a_k|=\|a\|_1=\|f\|$ である。逆に $\|x\|_\infty\le1$ かつ $|f(x)|=\|a\|_1$ なら
$$ \|a\|_1=\Bigl|\sum_ka_kx_k\Bigr|\le\sum_k|a_k|\,|x_k|\le\sum_k|a_k| $$
の等号から $\sum_k|a_k|(1-|x_k|)=0$ であり、$a_k\ne0$ となるすべての $k$ で $|x_k|=1$ である。$x\in c_0$ なのでそのような $k$ は有限個である。
たとえば $a_k=2^{-k}$ の $f(x)=\sum_k2^{-k}x_k$ はノルムを達成しないので、$c_0$ は反射的でない。一方、ノルムを達成する汎関数は $0$ でない項が有限個の $a$ に対応し、そのような $a$ は $\ell^1$ で稠密なので（ℓp空間の命題「有限列の稠密性」）、ノルムを達成する汎関数は $(c_0)^*$ の中でノルムについて稠密である。

$\ell^1$

$f\in(\ell^1)^*$ を $f=\varphi_b$（$b\in\ell^\infty$）と書く。$f$ がノルムを達成するのは、$|b_m|=\|b\|_\infty$ となる $m$ があるときに限る。
実際、そのような $m$ があれば標準基底 $e_m$ について $|f(e_m)|=|b_m|=\|f\|$ である。逆にすべての $k$ で $|b_k|< \|b\|_\infty$ とする（このとき $b\ne0$）。$x\ne0$、$\|x\|_1\le1$ なら $x_k\ne0$ となる $k$ があるので
$$ |f(x)|\le\sum_k|b_k|\,|x_k|< \|b\|_\infty\sum_k|x_k|\le\|b\|_\infty $$
であり、$x=0$ なら $|f(x)|=0< \|b\|_\infty$ である。たとえば $b_k=1-1/k$ の $f$ はノルムを達成しないので、$\ell^1$ は反射的でない。

$C([0,1])$

$[0,1]$ 上の $\mathbb K$ 値連続関数の空間 $C([0,1])$ に上限ノルムを入れ、
$$ f(u)=\int_0^{1/2}u(t)\,dt-\int_{1/2}^1u(t)\,dt $$
とおく。$|f(u)|\le\int_0^1|u(t)|\,dt\le\|u\|_\infty$ なので $f$ は連続線形汎関数で $\|f\|\le1$ である。$n\ge2$ について、$[0,\frac12-\frac1n]$ で $1$、$[\frac12+\frac1n,1]$ で $-1$、その間で $u_n(t)=n(\frac12-t)$ となる連続関数 $u_n$ は $\|u_n\|_\infty=1$ で、
$$ f(u_n)=2\Bigl(\frac12-\frac1n+\frac1{2n}\Bigr)=1-\frac1n $$
である。よって $\|f\|=1$ である。
$f$ はノルムを達成しない。$\|u\|_\infty\le1$ かつ $|f(u)|=1$ とすると、$u$ に $|\lambda|=1$ のスカラーを掛けて $f(u)=1$ としてよい。$\int_0^{1/2}dt+\int_{1/2}^1dt=1$ なので
$$ 0=1-\operatorname{Re}f(u)=\int_0^{1/2}\bigl(1-\operatorname{Re}u(t)\bigr)\,dt+\int_{1/2}^1\bigl(1+\operatorname{Re}u(t)\bigr)\,dt $$
であり、右辺の被積分関数は連続で $0$ 以上である。よって $[0,\frac12]$ で $\operatorname{Re}u=1$、$[\frac12,1]$ で $\operatorname{Re}u=-1$ となり、$t=\frac12$ での値が矛盾する。したがって $C([0,1])$ は反射的でない。この議論は $C([0,1])$ の双対空間の形を使わない。

複素 Banach 空間の場合

複素 Banach 空間 $X$ について、スカラーを実数に制限した実 Banach 空間を $X_{\mathbb R}$ と書く（ノルムは同じ）。弱位相(関数解析) の命題「実部による対応」により、$f\mapsto\operatorname{Re}f$ は $X^*$ から $(X_{\mathbb R})^*$ への実線形な全単射で $\|\operatorname{Re}f\|=\|f\|$ を満たし、$X$ の弱位相は $X_{\mathbb R}$ の弱位相と一致する。これを使うと、定理の十分性は実の場合から従う。

実部への帰着

$X$ を複素 Banach 空間とする。

$f\in X^*$ がノルムを達成することと、$\operatorname{Re}f\in(X_{\mathbb R})^*$ がノルムを達成することは同値である。
$X$ が反射的であることと、$X_{\mathbb R}$ が反射的であることは同値である。
実 Banach 空間について thm-jt-main の十分性が成り立てば、複素 Banach 空間についても成り立つ。

1：$\|x\|\le1$、$|f(x)|=\|f\|$ とする。$|\lambda|=1$ を $\lambda f(x)=|f(x)|$ となるようにとると、$\|\lambda x\|\le1$ で $\operatorname{Re}f(\lambda x)=\|f\|=\|\operatorname{Re}f\|$ である。逆に $\|x\|\le1$、$|\operatorname{Re}f(x)|=\|\operatorname{Re}f\|$ なら、$\|f\|=|\operatorname{Re}f(x)|\le|f(x)|\le\|f\|$ から $|f(x)|=\|f\|$ である。
2：反射的Banach空間の定理「角谷の定理」は $\mathbb K=\mathbb R,\mathbb C$ のどちらでも成り立ち、Banach 空間が反射的であることと、閉単位球が弱位相でコンパクトであることは同値である。$X$ と $X_{\mathbb R}$ の閉単位球は同じ集合で、弱位相も一致するので、一方で弱コンパクトなら他方でも弱コンパクトである。
3：複素 Banach 空間 $X$ のすべての $f\in X^*$ がノルムを達成するとする。$(X_{\mathbb R})^*$ の元はすべて $\operatorname{Re}f$（$f\in X^*$）の形なので、1 によりすべてノルムを達成する。実の場合の十分性から $X_{\mathbb R}$ は反射的で、2 により $X$ も反射的である。$\square$

反射性と可分な部分空間

反射性は、可分な閉部分空間を調べれば判定できる。

反射性は可分な閉部分空間で決まる

Banach 空間 $X$ が反射的であるための必要十分条件は、$X$ の可分な閉部分空間がすべて反射的であることである。

必要性は反射的Banach空間の定理「閉部分空間の反射性」による。十分性を示す。$(x_n)$ を $X$ の有界列とし、$\{x_n\}$ の張る部分空間の閉包を $M$ とする。係数が有理数（複素なら実部と虚部が有理数）の有限一次結合は可算個で $M$ で稠密なので、$M$ は可分であり、仮定により反射的である。反射的Banach空間の定理「有界列の弱収束部分列」により、$M$ の弱位相で $x$ に収束する部分列 $(x_{n_k})$ がある。$f\in X^*$ なら $f|_M\in M^*$ なので $f(x_{n_k})\to f(x)$ であり、$(x_{n_k})$ は $X$ でも $x$ に弱収束する。Eberlein–Šmulianの定理の系「反射性の点列による特徴づけ」により $X$ は反射的である。$\square$

ただし、この命題を使っても、James の定理の十分性はそのままでは可分な場合に帰着しない。$X$ のすべての汎関数がノルムを達成しても、閉部分空間 $M$ の汎関数 $g\in M^*$ については、$g$ をノルムを保って $X$ へ延長した $f$（Hahn–Banachの定理の系「ノルムを保つ延長」）がノルムを達成する点が $M$ の外にあるかもしれず、$g$ が $M$ の中でノルムを達成するとは言えないからである。

十分性の証明の筋

十分性の一般の証明は長く、この記事では証明しない。ここでは $X$ が可分な実 Banach 空間の場合について、証明の筋だけを述べる。対偶「$X$ が反射的でなければ、ノルムを達成しない汎関数がある」を示す。最後の段では、凸結合の上限と各点での上極限を比べる、より深い不等式を使う（この記事では述べない）。
筋は次のとおりである。

$X$ が反射的でないとし、$\xi\in X^{**}$ で $\xi\notin J(X)$、$\|\xi\|=1$ となるものをとる。$X^*$ 上の弱スター連続な線形汎関数は $X$ の点での評価に限るので（弱スター位相の命題「弱スター連続な線形汎関数」）、$\xi$ は弱スター連続でない。Krein–Šmulianの定理の系「弱スター連続な線形汎関数の判定」により、$\xi$ の閉単位球 $B_{X^*}$ への制限も弱スター連続でない。
$X$ は可分なので、$B_{X^*}$ の弱スター位相は距離で書ける（弱スター位相の命題「可分な空間の双対閉球」）。したがって、$B_{X^*}$ の中で $\varphi$ に弱スター収束するのに $\xi(\varphi_n)$ が $\xi(\varphi)$ に収束しない列 $(\varphi_n)$ がある。部分列をとり、必要なら $\xi$ を $-\xi$ に替えて、ある $\theta>0$ について $\xi(\varphi_n)-\xi(\varphi)\ge\theta$ としてよい。$g_n=(\varphi_n-\varphi)/2$ とおくと、$\|g_n\|\le1$、各 $x$ で $g_n(x)\to0$、$\xi(g_n)\ge\theta/2$ である。
$g\in\operatorname{conv}\{g_n\}$ なら $\xi(g)\ge\theta/2$ なので、lem-jt-normalize により $\sup_{B_X}g=\|g\|\ge\xi(g)\ge\theta/2$ である。一方、各 $x$ で $\limsup_ng_n(x)=0$ である。よって、各点では $0$ に収束する列の凸結合が、$B_X$ の上ではどれも $\theta/2$ 以上の上限をもつ。
上のより深い不等式により、この食い違いがあると、ある $\lambda_n\ge0$、$\sum_n\lambda_n=1$ について $h=\sum_n\lambda_ng_n$（$X^*$ でノルム収束する）が $B_X$ の上で最大値をとらない。lem-jt-normalize により、$h\in X^*$ はノルムを達成しない。
可分性を使ったのは 2 で列を取り出すところだけである。可分でない空間ではこの段がそのままでは通らないので、さらに工夫が要る。上で見たように、可分な場合への単純な帰着もできない。

同値なノルムとの関係

ノルムを達成するかどうかはノルムの選び方に依存するが、反射性は同値なノルムで変わらない（Milman–Pettisの定理の命題「反射性は同値なノルムで変わらない」）。James の定理と合わせると次が分かる。

同値なノルムとノルムを達成しない汎関数

反射的でない Banach 空間 $X$ では、$X$ のどの同値なノルムについても、そのノルムに関してノルムを達成しない連続線形汎関数がある。

同値なノルムを入れた $X$ も Banach 空間で、反射的でない。thm-jt-main の十分性の対偶を、このノルムを入れた $X$ に使えばよい。$\square$

この系は十分性（この記事では証明しない）に依存する。たとえば、$c_0$ には上限ノルムと同値な狭義凸ノルムがあるが（Milman–Pettisの定理の例「狭義凸だが反射的でない Banach 空間」）、そのノルムについてもノルムを達成しない汎関数がある。
James の定理は、ノルム空間の幾何の言葉にも言い換えられる。$f\ne0$ について、すべての $x$ で閉超平面 $\ker f$ への距離は $|f(x)|/\|f\|$ に等しいので、$\|x\|=1$ かつ $\ker f$ への距離が $1$ となる $x$ があることは、$f$ がノルムを達成することと同値である（Rieszの補題(ノルム空間) の命題「閉超平面への距離」）。これを使った反射性の判定が、同記事の系「超平面での判定と反射性」にある。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
反射性	$c_0$ と $a_k=2^{-k}$ の $\varphi_a$（ex-jt-c0）、$\ell^1$ と $b_k=1-1/k$ の $\varphi_b$（ex-jt-l1）、$C([0,1])$ と ex-jt-c01 の $f$	すべての汎関数がノルムを達成すること（thm-jt-main の必要性）
すべての汎関数がノルムを達成すること（ノルムを達成する汎関数が $X^*$ で稠密なだけにする）	$c_0$（ex-jt-c0）	反射性（thm-jt-main の十分性）
閉単位球（開単位球 $\{x:\Vert x\Vert< 1\}$ に替える）	$X\ne\{0\}$ と $f\ne0$	ノルムの達成