近傍系

同義語：近傍フィルターneighborhood systemneighborhood filter

概要

定義

点の近傍系

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間、$x\in X$ とする。部分集合 $V\subset X$ が $x$ の近傍であるとは、ある開集合 $U\in\mathcal{O}$ が存在して $x\in U\subset V$ となることをいう。$x$ の近傍全体の族
$$ \mathcal{N}(x):=\{V\subset X\mid \text{ある }U\in\mathcal{O}\text{ が存在して }x\in U\subset V\} $$
を $x$ の近傍系（neighborhood system, system of neighborhoods）または近傍フィルター（neighborhood filter）という。文献により $\mathcal{V}_x$、$\mathcal{U}(x)$、$\mathfrak{N}_x$ などとも書く。
近傍系の成員のうち開集合であるものを $x$ の開近傍という。$x$ の開近傍全体は $\{U\in\mathcal{O}\mid x\in U\}$ である。

流儀差

「近傍」を最初から「$x$ を含む開集合」の意味で用いる教科書（Munkres Mun00 など）では、上の $\mathcal{N}(x)$ にあたるものは開近傍全体 $\{U\in\mathcal{O}\mid x\in U\}$ になる。この族は $x$ の基本近傍系ではあるが、成員を含む集合をすべて含むとは限らないので、一般にはフィルターにならない（たとえば $\mathbb{R}$ の通常の位相（Euclid空間）では、閉区間 $[x-1,x+1]$ は開近傍 $(x-1,x+1)$ を含むが開近傍ではない）。本記事は Bourbaki Bou98・Kelley Kel75・松坂 Mat68 と同じく、開集合を内側に含む集合をすべて近傍と呼ぶ流儀をとる。二つの流儀の比較は近傍が扱う。

直感

近傍系は、点 $x$ のまわりの空間の様子を、$x$ を余裕をもって包む集合の「在庫一覧」として記録したものである。開集合の族が空間全体の位相を大域的に定めるのに対し、近傍系は各点における局所的な情報を取り出す。しかも、すべての点の近傍系を合わせるともとの位相が完全に復元できる。したがって、位相空間を定義するには「開集合の族」を与えても「各点の近傍系」を与えてもよく、後者は Hausdorff Hau14 の近傍公理（もともとは基本近傍系に対するもの）を近傍系の言葉に読み替えたものである。

例と反例

実数直線と距離空間の近傍系

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れると、$V\subset\mathbb{R}$ が $x$ の近傍であることは、ある $\varepsilon>0$ で $(x-\varepsilon,\,x+\varepsilon)\subset V$ となることと同値である。よって
$$ \mathcal{N}(x)=\{V\subset\mathbb{R}\mid \text{ある }\varepsilon>0\text{ について }(x-\varepsilon,\,x+\varepsilon)\subset V\} $$
であり、開区間・閉区間 $[x-\varepsilon,\,x+\varepsilon]$・それらを含む任意の集合が $\mathcal{N}(x)$ の成員である。一般に距離空間 $(X,d)$ では、$\mathcal{N}(x)$ は「ある $\varepsilon>0$ に対する開球 $B(x,\varepsilon)$ を含む集合」全体である（近傍）。開球の族 $\{B(x,\varepsilon)\mid\varepsilon>0\}$ は、どの近傍もそのいずれかを含むという意味で $\mathcal{N}(x)$ を生成しており、この生成系の概念が基本近傍系である。

離散位相と密着位相の近傍系

集合 $X$ に離散位相を入れると、一点集合 $\{x\}$ が開集合なので、$x$ を含む任意の集合が $x$ の近傍である。すなわち
$$ \mathcal{N}(x)=\{V\subset X\mid x\in V\} $$
であり、近傍系は考えうる最大のものになる。逆に密着位相では開集合が $\emptyset$ と $X$ だけなので $\mathcal{N}(x)=\{X\}$ であり、近傍系は最小になる。近傍系の大小は位相の細かさをそのまま反映する（prop-neighborhood-system-comparison）。

補有限位相の近傍系

無限集合 $X$ に補有限位相（開集合は $\emptyset$ と、補集合が有限な集合）を入れる。$x$ を含む開集合は $x$ を含む補有限集合だから、$V$ が $x$ の近傍であることは、$x\in V$ かつ $X\setminus V$ が有限であることと同値である。すなわち $\mathcal{N}(x)=\{V\subset X\mid x\in V,\ X\setminus V\text{ は有限}\}$ である。この近傍系はどの二点についても「交わらない近傍」を持たない。すなわち補有限位相はHausdorff空間でない。

反例：近傍系にならない集合族

$X=\{a,b,c\}$ とし、各点に次の集合族を割り当てる。
$$ \mathcal{V}(a):=\{\{a,b\},\,X\},\qquad \mathcal{V}(b):=\{\{b,c\},\,X\},\qquad \mathcal{V}(c):=\{\{c\},\,\{a,c\},\,\{b,c\},\,X\}. $$
各 $\mathcal{V}(x)$ は、満たす性質として prop-neighborhood-system-axioms の条件 1〜3 を持つ（それぞれ一つの集合を含む集合全体であり、$X$ 上のフィルターである）。しかし満たさない性質として条件 4 が $a$ で破れる：$V=\{a,b\}\in\mathcal{V}(a)$ に対し、$W\in\mathcal{V}(a)$ は必ず $b$ を含むが、$\{a,b\}\notin\mathcal{V}(b)$ である。したがって、これらを近傍系とする位相は存在しない。実際 thm-neighborhood-system-reconstruction の方法で作った族は $\mathcal{O}=\{\emptyset,\{c\},\{b,c\},X\}$ となり、この位相での $a$ の近傍系は $\{X\}$ であって $\mathcal{V}(a)$ と一致しない。この例は、含意「各点でフィルター（条件 1〜3）$\Rightarrow$ ある位相の近傍系」が成り立たないこと、すなわち条件 4 が省けないことを示す。

性質

近傍系の基本性質

位相空間 $X$ の各点 $x$ の近傍系 $\mathcal{N}(x)$ は次を満たす。

（所属）$X\in\mathcal{N}(x)$ であり、任意の $V\in\mathcal{N}(x)$ は $x$ を含む。特に $\emptyset\notin\mathcal{N}(x)$。
（上方閉性）$V\in\mathcal{N}(x)$ かつ $V\subset W\subset X$ ならば $W\in\mathcal{N}(x)$。
（有限交叉閉性）$V_1,V_2\in\mathcal{N}(x)$ ならば $V_1\cap V_2\in\mathcal{N}(x)$。
（開核の存在）任意の $V\in\mathcal{N}(x)$ に対し、ある $W\in\mathcal{N}(x)$ が存在して、すべての $y\in W$ について $V\in\mathcal{N}(y)$ となる。
条件 1〜3 は、$\mathcal{N}(x)$ が $X$ 上の（真の）フィルターであることを意味する。

1：$X$ は開集合で $x\in X\subset X$ だから $X\in\mathcal{N}(x)$。また $V\in\mathcal{N}(x)$ なら開集合 $U$ で $x\in U\subset V$ となるものがあるので $x\in V$。
2：$V\in\mathcal{N}(x)$ を保証する開集合 $U$（$x\in U\subset V$）をとれば、$U\subset V\subset W$ より $x\in U\subset W$ となり、$W\in\mathcal{N}(x)$。
3：$x\in U_1\subset V_1$、$x\in U_2\subset V_2$ となる開集合 $U_1,U_2$ をとる。$U_1\cap U_2$ は開集合で $x\in U_1\cap U_2\subset V_1\cap V_2$ だから、$V_1\cap V_2\in\mathcal{N}(x)$。
4：$V\in\mathcal{N}(x)$ に対し、開集合 $U$ で $x\in U\subset V$ となるものをとり、$W:=U$ とおく。$W$ は $x$ を含む開集合だから $W\in\mathcal{N}(x)$ である。任意の $y\in W$ に対し $y\in U\subset V$ で $U$ は開集合だから、定義により $V\in\mathcal{N}(y)$ である。$\square$

条件4の別形

条件 4 を「任意の $V\in\mathcal{N}(x)$ に対し、ある $W\in\mathcal{N}(x)$ が存在して、$W\subset V$ かつすべての $y\in W$ について $W\in\mathcal{N}(y)$ となる」という形で述べる流儀もある（Hausdorff Hau14、Kelley Kel75）。上の証明では $W$ として開集合 $U$ をとったので、近傍系はこの強い形も満たす。逆に、強い形は条件 2 により本記事の形を導き、本記事の形の条件 1〜4 を満たす族は thm-neighborhood-system-reconstruction によりある位相の近傍系になるから強い形も満たす。したがって、条件 1〜3 のもとで二つの形は同値であり、どちらを公理に採用しても同じ構造が定まる。

条件 4 は一見技巧的だが、「近傍 $V$ の内側には、そこに入ればまだ $V$ の中に余裕がある領域が広がっている」ことを、開集合という言葉を使わずに述べたものである。次の定理は、この四条件が近傍系を特徴付ける公理そのものであることを示す。

近傍系による位相の再構成

$X$ を集合とし、各点 $x\in X$ に部分集合の族 $\mathcal{V}(x)\subset\mathcal{P}(X)$ が与えられ、prop-neighborhood-system-axioms の条件 1〜4（$\mathcal{N}$ を $\mathcal{V}$ に読み替えたもの）を満たすとする。このとき
$$ \mathcal{O}:=\{U\subset X\mid \text{任意の }x\in U\text{ に対して }U\in\mathcal{V}(x)\} $$
は $X$ 上の位相であり、この位相に関する各点 $x$ の近傍系は $\mathcal{V}(x)$ に一致する。さらに、各点の近傍系が $\mathcal{V}(x)$ に一致する $X$ 上の位相は $\mathcal{O}$ に限る。

$\mathcal{O}$ が位相であること。 $\emptyset$ は条件を空虚に満たすので $\mathcal{O}$ に属する。条件 1 より各 $x\in X$ で $X\in\mathcal{V}(x)$ だから $X\in\mathcal{O}$。合併：$\{U_i\}_{i\in I}\subset\mathcal{O}$ とし、$x\in\bigcup_{i}U_i$ とする。ある $i_0$ で $x\in U_{i_0}$ であり、$U_{i_0}\in\mathcal{O}$ から $U_{i_0}\in\mathcal{V}(x)$。$U_{i_0}\subset\bigcup_i U_i$ と条件 2 より $\bigcup_i U_i\in\mathcal{V}(x)$。よって $\bigcup_i U_i\in\mathcal{O}$。有限交叉：$U_1,U_2\in\mathcal{O}$、$x\in U_1\cap U_2$ とすると $U_1,U_2\in\mathcal{V}(x)$ であり、条件 3 より $U_1\cap U_2\in\mathcal{V}(x)$。よって $U_1\cap U_2\in\mathcal{O}$。
位相 $\mathcal{O}$ の近傍系が $\mathcal{V}$ に一致すること。 $x$ の $\mathcal{O}$ に関する近傍系を $\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$ と書く。$\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)\subset\mathcal{V}(x)$：$N\in\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$ とすると、$U\in\mathcal{O}$ で $x\in U\subset N$ となるものがある。$\mathcal{O}$ の定義から $U\in\mathcal{V}(x)$ であり、条件 2 より $N\in\mathcal{V}(x)$。$\mathcal{V}(x)\subset\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$：$V\in\mathcal{V}(x)$ とし、
$$ U:=\{y\in X\mid V\in\mathcal{V}(y)\} $$
とおく。まず $x\in U$ は仮定そのものである。次に $U\subset V$：$y\in U$ なら $V\in\mathcal{V}(y)$ であり、条件 1 より $y\in V$。最後に $U\in\mathcal{O}$ を示す。$y\in U$ を任意にとると $V\in\mathcal{V}(y)$ だから、条件 4 により $W\in\mathcal{V}(y)$ で「すべての $z\in W$ について $V\in\mathcal{V}(z)$」となるものが存在する。この条件は $W\subset U$ を意味するから、条件 2 より $U\in\mathcal{V}(y)$。$y\in U$ は任意だったので $U\in\mathcal{O}$ である。以上より $x\in U\subset V$、$U\in\mathcal{O}$ が成り立ち、$V\in\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$。
一意性。 $\mathcal{O}'$ を、各点の近傍系が $\mathcal{V}(x)$ に一致する $X$ 上の位相とする。任意の位相空間で、集合が開集合であることと自身の各点の近傍であることは同値である（近傍。$U$ が開集合なら $x\in U\subset U$ により $U$ は各点の近傍であり、逆に $U$ が各点 $x$ の近傍なら $x\in U_x\subset U$ なる開集合 $U_x$ の合併として $U$ は開集合である）。よって $U\in\mathcal{O}'$ であることは「任意の $x\in U$ に対し $U\in\mathcal{V}(x)$」と同値であり、これは $\mathcal{O}$ の定義式そのものだから $\mathcal{O}'=\mathcal{O}$ である。$\square$

近傍系による位相の比較

$\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$ を同じ集合 $X$ 上の二つの位相とし、それぞれに関する $x$ の近傍系を $\mathcal{N}_1(x)$、$\mathcal{N}_2(x)$ と書く。次は同値である。

$\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$（$\mathcal{O}_2$ は $\mathcal{O}_1$ より細かい）。
任意の $x\in X$ に対し $\mathcal{N}_1(x)\subset\mathcal{N}_2(x)$。
特に、$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$ であることと、すべての点で $\mathcal{N}_1(x)=\mathcal{N}_2(x)$ であることは同値である。

$1\Rightarrow2$：$V\in\mathcal{N}_1(x)$ とすると、$U\in\mathcal{O}_1$ で $x\in U\subset V$ となるものがある。$U\in\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$ だから $V\in\mathcal{N}_2(x)$。
$2\Rightarrow1$：$U\in\mathcal{O}_1$ とする。各 $x\in U$ に対し $U\in\mathcal{N}_1(x)\subset\mathcal{N}_2(x)$ だから、$U$ は $\mathcal{O}_2$ に関して自身の各点の近傍であり、開集合の近傍による特徴付け（近傍）により $U\in\mathcal{O}_2$ である。最後の主張は両向きの包含から従う。$\square$

位相構造の等価な定義方法

thm-neighborhood-system-reconstruction により、位相空間は「開集合の族を与える」代わりに「各点の近傍系を条件 1〜4 とともに与える」ことでも定義できる。Hausdorff が 1914 年に与えた位相空間の最初の公理化（もともとは基本近傍系に対する近傍公理）は、近傍系の言葉に読み替えるとこの形になり Hau14、開集合を基礎とする現在の定義は後に整理された（歴史的経緯は Engelking Engelking89 §1.1 の注記を参照）。同様の等価な定義方法として、閉集合の族による方法、閉包作用素（Kuratowski の公理）による方法、開核作用素による方法、各点の基本近傍系を与える方法などが知られている。

補足：近傍系による基本概念の言い換え

近傍系を使うと、位相空間論の基本概念は次のように言い換えられる。いずれも標準的な事実であり（Kel75 Chapter 1、Mat68 第4章）、証明はそれぞれの記事が扱う。

点 $x$ が集合 $A\subset X$ の閉包に属することは、$x$ の任意の近傍が $A$ と交わることと同値である。
点 $x$ が $A$ の内部に属することは、$A\in\mathcal{N}(x)$ と同値である。
写像 $f\colon X\to Y$ が点 $x$ で連続であることは、$f(x)$ の任意の近傍 $W$ に対して $f^{-1}(W)$ が $x$ の近傍になることと同値であり、これは「$f(x)$ の任意の近傍 $W\in\mathcal{N}(f(x))$ に対し、$x$ の近傍 $V\in\mathcal{N}(x)$ が存在して $f(V)\subset W$」とも言い換えられる（連続写像）。
点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が $x$ に収束することは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対してある番号から先の $x_n$ がすべて $V$ に属することと同値である。一般の空間では点列の代わりにフィルターやネットを用い、フィルター $\mathcal{F}$ が $x$ に収束することは $\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{F}$ と定義される。
近傍系 $\mathcal{N}(x)$ は一般に巨大な族だが、実用上はその一部で足りることが多い。部分族 $\mathcal{B}(x)\subset\mathcal{N}(x)$ が、任意の $V\in\mathcal{N}(x)$ に対しある $B\in\mathcal{B}(x)$ で $B\subset V$ となるものを含むとき、$\mathcal{B}(x)$ を $x$ の基本近傍系という。近傍系は基本近傍系の成員を含む集合全体として復元され、たとえば $\mathbb{R}$ では「$x$ を中心とする開区間全体」が基本近傍系、それらのいずれかを含む集合全体が近傍系である。各点が可算な基本近傍系を持つ空間は第1可算公理を満たすといい、距離空間はその例である。