三角多項式

1：$k\ne0$ なら $\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}\,dx=\bigl[\frac{e^{ikx}}{ik}\bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$、$k=0$ なら $2\pi$ である。$T(x)e^{-imx}=\sum_nc_ne^{i(n-m)x}$ を項ごとに積分すると、$n=m$ の項だけが残る。$T=0$ なら係数はすべて $0$ なので、$e^{inx}$（$\lvert n\rvert\le N$）は 1 次独立である。
2：$\overline{T(x)}=\sum_n\overline{c_n}e^{-inx}=\sum_n\overline{c_{-n}}e^{inx}$ である。$T$ が実数値なら $T=\overline T$ で、1 の一意性から $c_n=\overline{c_{-n}}$ である。逆に $c_{-n}=\overline{c_n}$ なら上の式から $\overline T=T$ である。最後に、$a_n=c_n+c_{-n}$、$b_n=i(c_n-c_{-n})$ は $c_{-n}=\overline{c_n}$ のとき $2\operatorname{Re}c_n$、$-2\operatorname{Im}c_n$ で実数であり、逆に $a_n,b_n$ が実数なら $c_{\pm n}=\frac12(a_n\mp ib_n)$ は互いに共役である。$\square$

1：$e^{imx}e^{inx}=e^{i(m+n)x}$ と $\lvert m+n\rvert\le M+N$ から積の式が、$\overline{e^{inx}}=e^{-inx}$ から共役の式が従う。
2：$\cos x=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ と $\sin x=\frac1{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$ は $\mathcal T_1$ に属するので、1 により $\cos^jx\sin^kx\in\mathcal T_{j+k}$ であり、全次数 $N$ 以下の $Q$ について $Q(\cos x,\sin x)\in\mathcal T_N$ である。逆に、$0\le n\le N$ について $e^{inx}=(\cos x+i\sin x)^n$、$e^{-inx}=(\cos x-i\sin x)^n$ は $\cos x,\sin x$ の全次数 $n$ の多項式なので、$\sum_{\lvert n\rvert\le N}c_ne^{inx}$ は全次数 $N$ 以下の多項式で書ける。$\square$

$T(x)=\sum_{n=-N}^{N}c_ne^{inx}$ とし、複素数 $z$ の多項式
$$ P(z):=\sum_{n=-N}^{N}c_nz^{n+N}=\sum_{m=0}^{2N}c_{m-N}z^m $$
をおく。$T$ は恒等的に $0$ でないので、prop-tp-coefficients の 1 から係数のどれかは $0$ でなく、$P$ は次数 $2N$ 以下の $0$ でない多項式である。したがって $P$ の複素数の根は高々 $2N$ 個である。
一方、すべての実数 $x$ で $e^{iNx}T(x)=P(e^{ix})$ であり、$e^{iNx}\ne0$ なので、$T(x)=0$ と $P(e^{ix})=0$ は同値である。写像 $x\mapsto e^{ix}$ は $[a,a+2\pi)$ の上で単射なので、$T$ の $[a,a+2\pi)$ の中の相異なる零点は $P$ の相異なる根に移る。よって零点は高々 $2N$ 個である。$\square$

線形写像 $\Phi\colon\mathcal T_N\to\mathbb C^{2N+1}$、$\Phi(T):=(T(x_0),\dots,T(x_{2N}))$ を考える。$\Phi(T)=0$ なら $T$ は $[0,2\pi)$ に $2N+1$ 個の零点をもつので、thm-tp-zeros により $T=0$ である。よって $\Phi$ は単射であり、$\dim\mathcal T_N=2N+1$（prop-tp-coefficients の 1）なので全単射である。$y_j$ が実数なら、$\overline T$ も $\mathcal T_N$ に属し（prop-tp-algebra の 1）同じ値をとるので、一意性から $\overline T=T$ であり、$T$ は実数値、すなわち実三角多項式である（prop-tp-coefficients の 2）。$\square$

有界区間は長さ $2\pi$ の半開区間を有限個合わせたものに含まれ、各半開区間の中の零点は thm-tp-zeros により有限個である。空でない開区間や正の測度をもつ集合は、ある有界区間の中に無限個の点をもつので、そこで $0$ になる三角多項式は恒等的に $0$ である。$\square$

$\cos^{2N}\frac t2=\bigl(\frac{1+\cos t}2\bigr)^N$ は次数 $N$ の実三角多項式で（ex-tp-powers の 3）、$0$ 以上である。
$c_N$ の評価のため、$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2N}\frac t2\,dt$ を下から評価する。$\lvert\sin s\rvert\le\lvert s\rvert$ から $\cos^2\frac t2=1-\sin^2\frac t2\ge1-\frac{t^2}4$ である。$\lvert t\rvert\le\frac2{\sqrt N}$ では $0\le\frac{t^2}4\le\frac1N\le1$ なので、Bernoulli の不等式 $(1-s)^N\ge1-Ns$（$0\le s\le1$）から $\cos^{2N}\frac t2\ge\bigl(1-\frac{t^2}4\bigr)^N\ge1-\frac{Nt^2}4\ge0$ である。$\frac2{\sqrt N}\le2< \pi$ なので
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2N}\frac t2\,dt\ge\int_{-2/\sqrt N}^{2/\sqrt N}\Bigl(1-\frac{Nt^2}4\Bigr)dt=\frac4{\sqrt N}-\frac N4\cdot\frac23\cdot\frac8{N^{3/2}}=\frac8{3\sqrt N} $$
である。$c_N=2\pi\big/\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2N}\frac t2\,dt$ なので $c_N\le\frac{3\pi}4\sqrt N$ である。
$\cos\frac t2$ は $0\le t\le\pi$ で $0$ 以上かつ減少するので、$\delta\le\lvert t\rvert\le\pi$ で $V_N(t)\le c_N\cos^{2N}\frac\delta2$ である。$0\le\cos\frac\delta2< 1$ なので $\sqrt N\cos^{2N}\frac\delta2\to0$ である（$r:=\cos^2\frac\delta2< 1$ について $\sqrt N\,r^N\to0$）。$\square$

段 1（近似の候補は三角多項式）。$V_N(t)=\sum_{\lvert n\rvert\le N}v_ne^{int}$ と書き、
$$ T_N(x):=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)V_N(t)\,dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)V_N(x-s)\,ds $$
とおく（2 つ目の等式は $s=x-t$ と置き換え、被積分関数の周期性を使う）。$V_N(x-s)=\sum_nv_ne^{inx}e^{-ins}$ を入れると $T_N(x)=\sum_{\lvert n\rvert\le N}v_n\hat f(n)e^{inx}$ であり、$T_N\in\mathcal T_N$ である。ここで $\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)e^{-ins}\,ds$ である。$f$ が実数値なら、$V_N$ も実数値なので $T_N$ は実数値であり、実三角多項式である（prop-tp-coefficients の 2）。
段 2（誤差の分解）。$\frac1{2\pi}\int V_N=1$ なので
$$ T_N(x)-f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x-t)-f(x)\bigr)V_N(t)\,dt $$
であり、$V_N\ge0$ から $\lvert T_N(x)-f(x)\rvert\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x-t)-f(x)\rvert V_N(t)\,dt$ である。
段 3（近い所と遠い所）。$f$ は周期 $2\pi$ で連続なので、有界閉区間 $[-2\pi,2\pi]$ の上で一様連続であり、周期性から $\mathbb R$ 上で一様連続で、有界でもある。$\varepsilon>0$ に対して、$\lvert t\rvert< \delta$ ならすべての $x$ で $\lvert f(x-t)-f(x)\rvert< \frac\varepsilon2$ となる $\delta\in(0,\pi]$ をとる。積分を $\lvert t\rvert< \delta$ と $\delta\le\lvert t\rvert\le\pi$ に分けると、前者は $\frac\varepsilon2\cdot\frac1{2\pi}\int V_N=\frac\varepsilon2$ 以下、後者は $2\|f\|_\infty\sup_{\delta\le\lvert t\rvert\le\pi}V_N$ 以下である（$\|f\|_\infty:=\sup\lvert f\rvert$）。lem-tp-kernel により後者は $N\to\infty$ で $0$ に近づくので、十分大きい $N$ ではすべての $x$ で $\lvert T_N(x)-f(x)\rvert< \varepsilon$ である。$\square$

$\varepsilon>0$ をとり、thm-tp-weierstrass により $\lvert\overline f-T\rvert< \varepsilon$ となる三角多項式 $T=\sum c_ne^{inx}$ をとる。仮定から $\int_{-\pi}^{\pi}fT\,dx=2\pi\sum_nc_n\hat f(-n)=0$ なので
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\lvert f\rvert^2dx=\int_{-\pi}^{\pi}f\,(\overline f-T)\,dx\le\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f\rvert\,\lvert\overline f-T\rvert\,dx\le2\pi\|f\|_\infty\,\varepsilon $$
である。$\varepsilon$ は任意なので $\int\lvert f\rvert^2=0$ であり、$\lvert f\rvert^2$ は連続で $0$ 以上なので $f=0$ である。後半は差に使えばよい。$\square$